多局胜制中强者胜率随局数增加而上升

这份笔记整理一个概率论问题：

在 2k+1 局 k+1 胜制中，如果强者单局获胜概率为 p > 1/2，那么随着 k 增大，强者赢下整场比赛的概率是否会增加？

答案是：会。更准确地说，若用 P(k) 表示强者在 2k+1 局 k+1 胜制中的最终胜率，则：

所以 P(k) 关于 k 严格递增。

设定

设：

• 强者单局获胜概率为 p。
• 弱者单局获胜概率为 q = 1 - p。
• 因为强者更强，所以 p > q，也就是 2p - 1 > 0。

P(k) 表示强者在 2k+1 局 k+1 胜制中获胜的概率。

打满全场的等价原理

很多计算会先用一个简化：

2k+1 局 k+1 胜制虽然现实中会提前结束，但在计算胜者概率时，可以等价地假设比赛一定打满 2k+1 局。

原因不是近似，而是逐路径等价。

把一场比赛看成长度为 2k+1 的完整序列，例如：

A B A A B ...

其中 A 表示强者赢一局，B 表示弱者赢一局。

在同一条完整序列上定义两种规则：

• 提前结束规则：谁先累计到 k+1 胜，谁赢。
• 打满规则：数完整 2k+1 局中谁胜局更多，谁赢。

对任意一条长度为 2k+1 的序列，由于总局数为奇数，一定且仅有一方至少赢 k+1 局。

如果强者在完整序列中至少赢 k+1 局，那么从左往右读这条序列时，强者必然会在某一局首次达到第 k+1 胜。此时弱者最多只有 k 胜，因此提前结束规则也判定强者获胜。

弱者过半时同理。

所以：

$$\{\text{提前结束下强者获胜}\}=\{\text{打满全场下强者获胜}\}$$

它们是同一个样本空间里的同一个事件，因此概率完全相同。

这个证明甚至不依赖每局独立同分布；只要两种规则读取的是同一条完整比赛路径，胜者判定就一致。

直接作差法

用打满全场的等价原理，P(k) 可以写成二项分布尾和：

$$P(k)=\sum _{i=k+1}^{2k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{i})p^i{q}^{2k+1-i}$$

要证明 P(k+1) > P(k)，可以比较 2k+3 局 k+2 胜制和 2k+1 局 k+1 胜制。

把 2k+3 局看成：

1. 先打前 2k+1 局。
2. 再看最后两局如何改变结果。

设强者在前 2k+1 局中赢了 X 局。

• 若 X >= k+2，强者已经足够赢下新赛制。
• 若 X = k+1，强者还差一局，最后两局至少赢一局即可。
• 若 X = k，强者还差两局，最后两局必须全赢。
• 若 X <= k-1，最后两局全赢也不够。

于是：

而：

$$P(k)=\sum _{i=k+2}^{2k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{i})p^i{q}^{2k+1-i}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{k+1})p^{k+1}{q}^k$$

两式相减，尾部求和项完全抵消。又因为：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{k+1})$$

得到：

因为每个因子都大于 0，所以：

这就证明了赛制越长，强者整体胜率越高。

停时视角：对偶翻盘证明

更有直觉的一种想法，是不假设打满，而是尊重真实比赛规则：谁先到 k+1 胜，比赛就停止。

在 2k+1 局 k+1 胜制下，比赛结束时的比分一定是：

胜者 k+1 : t 负者

其中 0 <= t <= k。

如果把赛制延长为 2k+3 局 k+2 胜制，那么原本已经结束的 k+1:t 局面还可以继续打。

此时领跑者只差 1 局获胜；落后者要翻盘，则必须赢下剩余所有局数。剩余最多局数为：

$$k+2-t$$

因此：

• 在 [强者 k+1 : t 弱者] 中，弱者翻盘概率是 q^{k+2-t}。
• 在 [弱者 k+1 : t 强者] 中，强者翻盘概率是 p^{k+2-t}。

由于 p > q，强者落后时的翻盘概率永远大于弱者落后时的翻盘概率。这就是“更长赛制更偏向强者”的动态直觉。

对偶状态的精确计算

在 2k+1 局 k+1 胜制中，以 k+1:t 结束，意味着最后一局由胜者拿下，前 k+t 局中胜者赢 k 局，负者赢 t 局。

所以：

$$P(\text{强者以 }k+1:t\text{ 赢})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+t}{k})p^{k+1}{q}^t$$$$P(\text{弱者以 }k+1:t\text{ 赢})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+t}{k})q^{k+1}{p}^t$$

从 P(k) 到 P(k+1)，强者胜率的变化等于：

弱者原本赢了但被强者翻盘的概率
-
强者原本赢了但被弱者翻盘的概率

也就是：

$$P(k+1)-P(k)=\sum _{t=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+t}{k})q^{k+1}{p}^t\cdot p^{k+2-t}-\sum _{t=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+t}{k})p^{k+1}{q}^t\cdot q^{k+2-t}$$

关键消去发生在指数上：

$$p^t\cdot p^{k+2-t}=p^{k+2}$$$$q^t\cdot q^{k+2-t}=q^{k+2}$$

因此：

再用曲棍球棒恒等式：

$$\sum _{t=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+t}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{k})$$

得到同一个结果：

$$P(k+1)-P(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{k})[p(1-p){]}^{k+1}(2p-1)$$

这个想法的美感

这个停时对偶证明的核心不是硬算，而是把延长赛看成“原胜负结果是否会被翻盘”。

最漂亮的地方在于：

• 如果比分悬殊，比如 k+1:0，落后者翻盘需要连赢很多局，翻盘概率很低。
• 如果比分接近，比如 k+1:k，落后者只需要连赢两局，翻盘概率较高。
• 但比分接近本身也更难发生，比分悬殊本身也有不同的路径概率。

发生概率与翻盘概率相乘后，t 在指数上刚好消失。

这解释了为什么看起来复杂的停时求和，最后会收束成一个非常简洁的差值公式。

小结

证明“赛制越长越有利于强者”至少有三种层次：

• 打满等价：提前结束和打满全场在每条样本路径上胜者一致。
• 直接作差：比较 P(k+1) 和 P(k)，尾部求和项抵消。
• 停时对偶：比较 [强者 k+1:t 弱者] 与 [弱者 k+1:t 强者] 两类状态下的翻盘概率。

其中停时对偶证明最能解释直觉：

延长赛给了落后者翻盘机会，但强者落后时的翻盘能力比弱者落后时更强；把所有对偶比分状态加总后，这个优势严格为正。