弯曲时空与牛顿极限

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自由粒子的测地线运动

以上种种应当已经为我们的主张提供了绰绰有余的动机：存在引力时，应把时空看作弯曲流形。现在就让我们接受这一点，并开始建立物理学在弯曲时空中的工作方式。等效原理告诉我们，在足够小的时空区域内，物理定律看起来与狭义相对论中的定律相同。用流形的语言来解释，这句话的意思是：若采用以某一点 $p$ 为基点的黎曼正规坐标 $x^{\mu }$ 来书写这些定律，描述它们的方程就会取与平直空间中相同的形式。最简单的例子是自由下落（无加速）粒子。在平直空间中，这类粒子沿直线运动；用方程来表示，就是参数化路径 $x^{\mu }(\lambda )$ 的二阶导数为零：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.8}\text{)}& \frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\lambda }^2}=0.\end{array}$$

按照 EEP，只要坐标 $x^{\mu }$ 是黎曼正规坐标，这个方程在弯曲空间中就应当原封不动地成立。那么，换用其他坐标系会怎样？就目前的写法而言，(4.8) 并不是张量之间的方程。不过，存在唯一一个张量方程，会在克里斯托费尔符号消失时约化为 (4.8)，它就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.9}\text{)}& \frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\lambda }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\mu }\frac{d{x}^{\rho }}{d\lambda }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\lambda }=0.\end{array}$$

当然，这正是测地线方程。因此，在广义相对论中，自由粒子沿测地线运动；我们此前提到过这一点，而现在你已经知道它为何成立了。

牛顿极限的三个条件

就自由粒子而言，我们已经论证了时空曲率是描述引力所必需的；但尚未说明它是否足够。为此，我们可以展示牛顿引力理论中熟悉的结果如何纳入这一图景。我们用三个条件来定义“牛顿极限”：粒子运动得很慢（相对于光速而言），引力场很弱（可以看作平直空间的微扰），而且引力场是静态的（不随时间变化）。让我们以固有时 $\tau$ 为仿射参数，看看这些假设会怎样影响测地线方程。“运动得很慢”意味着

所以测地线方程变成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.11}\text{)}& \frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\mu }{\left(\frac{dt}{d\tau }\right)}^2=0.\end{array}$$

由于引力场是静态的，相关的克里斯托费尔符号 ${\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\mu }$ 可以简化为

最后，由于引力场很弱，我们可以把度规分解成闵可夫斯基形式加上一个小微扰：

（我们采用笛卡尔坐标，所以 ${\eta }_{\mu \nu }$ 是度规的标准形式。在其他坐标中，对度规微扰 $h_{\mu \nu }$ 所施加的这个“小量条件”其实没有明确意义。）根据逆度规的定义 $g^{\mu \nu }{g}_{\nu \sigma }={\delta }_{\sigma }^{\mu }$，可以发现精确到 $h$ 的一阶时，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.14}\text{)}& g^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \nu }-h^{\mu \nu },\end{array}$$

其中 $h^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }{h}_{\rho \sigma }$。事实上，对任意一个在 $h$ 中具有确定阶数的对象，我们都可以用闵可夫斯基度规来升降指标，因为修正项只会在更高阶才有贡献。

从测地线方程恢复牛顿引力

把以上结果合在一起，我们得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.15}\text{)}& {\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\mu }=-\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \lambda }{\partial }_{\lambda }{h}_{00}.\end{array}$$

因此，测地线方程 (4.11) 为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.16}\text{)}& \frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}=\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \lambda }{\partial }_{\lambda }{h}_{00}{\left(\frac{dt}{d\tau }\right)}^2.\end{array}$$

利用 ${\partial }_0{h}_{00}=0$，它的 $\mu =0$ 分量就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.17}\text{)}& \frac{d^{2}t}{d{\tau }^2}=0.\end{array}$$

也就是说，$\frac{dt}{d\tau }$ 是常数。为了考察 (4.16) 的类空分量，请回想 ${\eta }^{\mu \nu }$ 的类空分量正好就是一个 $3\times 3$ 单位矩阵的各分量。因此有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.18}\text{)}& \frac{d^2{x}^i}{d{\tau }^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{dt}{d\tau }\right)}^2{\partial }_i{h}_{00}.\end{array}$$

方程两边同除以 ${\left(\frac{dt}{d\tau }\right)}^2$，其效果是把左边的微分变量从 $\tau$ 换成 $t$，于是得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.19}\text{)}& \frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}=\frac{1}{2}{\partial }_i{h}_{00}.\end{array}$$

这已经开始非常像牛顿引力理论了。事实上，把这个方程与 (4.4) 比较，就会发现只要作如下认定，二者便完全相同：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.20}\text{)}& h_{00}=-2\mathrm{\Phi },\end{array}$$

换句话说，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.21}\text{)}& g_{00}=-(1+2\mathrm{\Phi }).\end{array}$$

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