Penrose 过程、不可约质量与黑洞热力学

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从旋转黑洞提取能量

尽管如此，这一认识引出了一种从旋转黑洞中提取能量的方法；它称为 Penrose 过程。想法很简单：你从能层外出发，随身带着一块大石头，朝黑洞纵身跃去。把（你 + 石头）系统的四动量记作 $p^{(0)\mu }$，那么能量 $E^{(0)}=-{\zeta }_{\mu }{p}^{(0)\mu }$ 显然为正，并且在你沿测地线运动时守恒。一旦进入能层，你便以全部力气、用一种非常特定的方式把石头掷出去。把你的动量记作 $p^{(1)\mu }$，石头的动量记作 $p^{(2)\mu }$；就在你掷出石头的瞬间，动量像在狭义相对论中一样守恒：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.139}\text{)}& p^{(0)\mu }=p^{(1)\mu }+p^{(2)\mu }.\end{array}$$

与 Killing 矢量 ${\zeta }_{\mu }$ 缩并，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.140}\text{)}& E^{(0)}=E^{(1)}+E^{(2)}.\end{array}$$

但是，如果设想你拥有任意强大的力量（而且投掷得任意精准），就可以按照 (7.158) 安排这次投掷，使 。

图 7.35：在能层内把石块逆着黑洞旋转方向掷入，可使逃逸者带走更多能量。

此外，Penrose 还证明，可以这样安排初始轨迹与投掷方式：投掷之后，你沿一条测地线轨迹越过 Killing 视界返回外部宇宙。由于你的能量沿途守恒，最后将有

因此，你出来时拥有的能量多于进去时。

天下没有免费的午餐；你获得的能量必定有其来源，而这个来源就是黑洞。事实上，Penrose 过程通过减小旋转黑洞的角动量来提取能量；要让这套办法奏效，就必须逆着黑洞的旋转方向投掷石头。为更精确地看清这一点，定义一个新的 Killing 矢量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.142}\text{)}& {\chi }^{\mu }={\zeta }^{\mu }+{\mathrm{\Omega }}_H{\eta }^{\mu }.\end{array}$$

在外视界上，${\chi }^{\mu }$ 是零性的，并与视界相切。（由 ${\zeta }^{\mu }={\partial }_t$、${\eta }^{\mu }={\partial }_{\varphi }$ 以及 ${\mathrm{\Omega }}_H$ 的定义 (7.134) 可以看出这一点。）动量为 $p^{(2)\mu }$ 的粒子“沿时间向前”穿过事件视界这一陈述，就是

代入 $E$ 与 $L$ 的定义，可见该条件等价于

我们已经安排 $E^{(2)}$ 为负，而 ${\mathrm{\Omega }}_H$ 为正，所以这个粒子必须具有负角动量——它逆着黑洞的旋转方向运动。当你逃出能层、石头落入事件视界之后，黑洞的质量和角动量，就分别等于原有数值加上石头带来的负贡献：

这里引入记号 $J$ 表示黑洞的角动量；它由下式给出：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.146}\text{)}& J=Ma.\end{array}$$

我们不会证明这一点，不过可以在 Wald 的书中找到解释。于是，(7.144) 化为角动量所能减小程度的一个限制：

当我们恰好达到这个极限时，掷入的石头越来越接近零性，便得到“理想”过程，其中 $\delta J=\delta M/{\mathrm{\Omega }}_H$。

事件视界面积与不可约质量

现在利用这些想法证明一个有力的结论：尽管可以用 Penrose 过程从黑洞提取能量，却永远无法减小事件视界的面积。对于 Kerr 度规，可以作一番直接计算（投影度规与体积元等），得到事件视界的面积：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.148}\text{)}& A=4\pi (r_{+}^2+a^2).\end{array}$$

为了证明它不会减小，改用黑洞的不可约质量最为方便；其定义为

经过一点运算，对它求微分可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.150}\text{)}& \delta M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}=\frac{a}{4G\sqrt{G^2{M}^2-a^2}{M}_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}({\mathrm{\Omega }}_H^{-1}\delta M-\delta J).\end{array}$$

（我想我把 $G$ 的各个因子都写对了，不过检查一下也无妨。）于是，限制 (7.147) 变成

不可约质量永远无法减小；它的名字正由此而来。随之可知，在把黑洞的旋转减缓至零以前，能够从中提取的最大能量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.152}\text{)}& M-M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}=M-\frac{1}{\sqrt{2}}{(M^2+\sqrt{M^4-(J/G{)}^2})}^{1/2}.\end{array}$$

完成全部提取后，得到的是一个质量为 $M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}$ 的施瓦西黑洞。事实证明，最佳方案是从一个极端 Kerr 黑洞开始；这样大约可以取出其总能量的 $29\mathrm{\%}$。

$M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}$ 的不可约性立即意味着面积 $A$ 永远不会减小。由 (7.149) 与 (7.150) 有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.153}\text{)}& \delta A=8\pi G\frac{a}{{\mathrm{\Omega }}_H\sqrt{G^2{M}^2-a^2}}(\delta M-{\mathrm{\Omega }}_H{\delta }_J),\end{array}$$

它可以改写为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.154}\text{)}& \delta M=\frac{\kappa }{8\pi G}\delta A+{\mathrm{\Omega }}_H\delta J,\end{array}$$

这里引入了

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.155}\text{)}& \kappa =\frac{\sqrt{G^2{M}^2-a^2}}{2GM(GM+\sqrt{G^2{M}^2-a^2})}.\end{array}$$

量 $\kappa$ 称为黑洞的表面引力。

黑洞热力学四定律

正是像 (7.154) 这样的方程，最初促使人们思考黑洞与热力学之间的关系。考虑热力学第一定律

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.156}\text{)}& dU=TdS+\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}.\end{array}$$

很自然，可以把 ${\mathrm{\Omega }}_H\delta J$ 项理解为我们把石头扔进黑洞时对它所做的“功”。如果进一步考虑把面积 $A$ 认作熵 $S$，并把表面引力 $\kappa$ 认作 $8\pi G$ 乘以温度 $T$，热力学类比便开始成形。事实上，在经典广义相对论的语境中，这一类比几乎完美。热力学“第零”定律指出，在热平衡中，温度在整个系统内保持恒定；黑洞的对应陈述是，平稳黑洞在整个视界上的表面引力恒定（这是真的）。正如已经看到的，第一定律 (7.156) 等价于 (7.154)。第二定律说熵永不减小，对应的正是视界面积永不减小。最后，第三定律指出，通过任何物理过程都无法达到 $T=0$；这应当意味着，通过任何物理过程都无法达到 $\kappa =0$。事实证明，$\kappa =0$ 对应极端黑洞（Kerr 或 Reissner–Nordstrøm 情形皆然）——裸奇点正会在那里出现。因此，第三定律以某种方式与宇宙监督相关。

缺失的一环在于，真实的热力学物体不会只是待在那里；它们会发出黑体辐射，其谱依赖自身温度。在 Hawking 发现 Hawking 辐射以前，人们以为黑洞不会这样做，因为它们确实是黑的。从历史上看，是 Bekenstein 提出了黑洞应当成为名副其实的黑体、并在适当温度下发出辐射的想法。这使 Hawking 颇为恼火，于是他着手证明 Bekenstein 错了，结果却证明黑洞终究会发出辐射。因此，热力学类比竟比我们有任何理由期待的还要贴切——尽管可以放心地说，没有人真正知道这是为什么。

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