附录 J 非坐标基

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底本：Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity，附录 J（印刷页 483–494；PDF 496–507）。公式编号沿用原书。已核对作者官方勘误表；其中没有列出本附录的勘误。

在研究流形之初，我们决定为切空间选取适应于坐标的基。现在，无论出于形式上的美感还是实际计算的需要，都值得重新考察联络与曲率的形式体系；这一次，我们在切空间里使用一组并非由任何坐标系导出的基向量。事实将表明，这种看似细微的侧重点变化会揭示理解联络和曲率的另一种视角，并使它们与粒子物理规范理论之间的关系清晰得多。这里要介绍的概念其实非常直接，但记号极其繁复，因而看起来比实际更困难。

到目前为止，我们一直在利用一个事实：点 $p$ 处切空间 $T_p$ 有一组自然基，即对该点坐标取偏导所得到的向量，${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$。类似地，余切空间 $T_p^{\ast }$ 的一组基由坐标函数的梯度给出，${\hat{\theta }}^{(\mu )}=\mathrm{d}{x}^{\mu }$。当然，没有任何条件阻止我们选取任意喜欢的基。于是设想：在流形的每一点，我们都引入一组基向量 ${\hat{e}}_{(a)}$。这里用 Latin 字母作指标，取代 Greek 字母，以提醒自己这些基向量不与任何坐标系相联系。我们将选择这些基向量，使它们按照当前流形的号差具有“正交归一”性质。也就是说，若把度规的标准形记为 ${\eta }_{ab}$，我们要求基向量的内积满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.1}\text{)}& g({\hat{e}}_{(a)},{\hat{e}}_{(b)})={\eta }_{ab},\end{array}$$

其中 $g(,)$ 是通常的度规张量。因此，在 Lorentz 时空中，${\eta }_{ab}$ 表示 Minkowski 度规；在具有正定度规的空间中，它则表示 Euclid 度规。组成一组正交归一基的向量集合有时称为四脚标架（tetrad，源自 Greek tetras，意为“一组四个”）或多脚标架（vielbein，源自 German，意为“许多条腿”）。在不同维数中，它偶尔分别称作 vierbein（四维）、dreibein（三维）、zweibein（二维），依此类推。正如一般无法找到覆盖整个流形的单张坐标图，我们也经常无法找到一组处处定义的光滑基向量场。仍可采用惯常办法处理这个问题：在不同的坐标片中工作，并保证各量在重叠区上行为良好。

引入基的要点，在于任意向量都能表示成基向量的线性组合。具体来说，我们可以用新基表示原来的基向量 ${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.2}\text{)}& {\hat{e}}_{(\mu )}=e_{\mu }{}^a{\hat{e}}_{(a)}.\end{array}$$

分量 $e_{\mu }{}^a$ 构成一个 $n\times n$ 可逆矩阵。（按照我们一贯淡化对象与其分量之间区别的做法，下面也把 $e_{\mu }{}^a$ 本身称为四脚标架或多脚标架，并且常用复数“多脚标架矩阵”。）交换指标的位置便得到其逆矩阵 $e^{\mu }{}_a$；它们满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.3}\text{)}& e^{\mu }{}_a{e}_{\nu }{}^a={\delta }^{\mu }{}_{\nu },e_{\mu }{}^a{e}^{\mu }{}_b={\delta }^a{}_b.\end{array}$$

这些逆矩阵给出基向量 ${\hat{e}}_{(a)}$ 在坐标基中的分量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.4}\text{)}& {\hat{e}}_{(a)}=e^{\mu }{}_a{\hat{e}}_{(\mu )}.\end{array}$$

用逆多脚标架矩阵表示时，式 (J.1) 变为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.5}\text{)}& g_{\mu \nu }{e}^{\mu }{}_a{e}^{\nu }{}_b={\eta }_{ab},\end{array}$$

等价地，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.6}\text{)}& g_{\mu \nu }=e_{\mu }{}^a{e}_{\nu }{}^b{\eta }_{ab}.\end{array}$$

最后这个方程有时让人把多脚标架矩阵称作度规的“平方根”。

同样可以在 $T_p^{\ast }$ 中建立一组正交归一的一形式基，记为 ${\hat{\theta }}^{(a)}$。可以选择它们与基向量相容，使得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.7}\text{)}& {\hat{\theta }}^{(a)}({\hat{e}}_{(b)})={\delta }^a{}_b.\end{array}$$

一个直接推论是，正交归一的一形式与其坐标基版本 ${\hat{\theta }}^{(\mu )}=\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 之间有关系

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.8}\text{)}& {\hat{\theta }}^{(\mu )}=e^{\mu }{}_a{\hat{\theta }}^{(a)},\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.9}\text{)}& {\hat{\theta }}^{(a)}=e_{\mu }{}^a{\hat{\theta }}^{(\mu )}.\end{array}$$

因此，$e_{\mu }{}^a$ 身兼两职：既是坐标基向量用正交归一基向量展开时的分量，也是正交归一基一形式用坐标基一形式展开时的分量。相应地，逆多脚标架矩阵既是正交归一基向量用坐标基展开时的分量，也是坐标基一形式用正交归一基展开时的分量。

任何其他向量也都可以用它在正交归一基中的分量表示。若向量 $V$ 在坐标基中写成 $V^{\mu }{\hat{e}}_{(\mu )}$，在正交归一基中写成 $V^a{\hat{e}}_{(a)}$，两组分量的关系为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.10}\text{)}& V^a=e_{\mu }{}^a{V}^{\mu }.\end{array}$$

所以，多脚标架矩阵使我们能够“在 Latin 指标与 Greek 指标之间来回切换”。张量记号在这里尤其有用：通常只要看指标的位置，合理的运算方式便是唯一的。我们可以继续在任一种基中表示具有多个指标的张量，甚至使用混合分量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.11}\text{)}& V^a{}_b=e_{\mu }{}^a{V}^{\mu }{}_b=e^{\nu }{}_b{V}^a{}_{\nu }=e_{\mu }{}^a{e}^{\nu }{}_b{V}^{\mu }{}_{\nu }.\end{array}$$

回看式 (J.5)，可以看到度规张量在正交归一基中的分量正是平直度规 ${\eta }_{ab}$。（出于这个原因，Greek 指标有时称为“弯曲”指标，Latin 指标则称为“平直”指标。）事实上，可以直接用平直度规及其逆矩阵 ${\eta }^{ab}$ 升降 Latin 指标。你可以自行检验一切都相容，例如，先用度规降低指标再改变正交归一基与坐标基，所得结果与颠倒操作顺序相同。特别是，我们对逆多脚标架矩阵的定义与通常的指标升降约定一致：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.12}\text{)}& e^{\mu }{}_a=g^{\mu \nu }{\eta }_{ab}{e}_{\nu }{}^b.\end{array}$$

我们把 $e_{\nu }{}^a$ 引入为一组基向量在另一组基中求得的分量。等价地，也可以把它看成一个 $(1,1)$ 张量的分量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.13}\text{)}& e=e_{\nu }{}^a\mathrm{d}{x}^{\nu }\otimes {\hat{e}}_{(a)}.\end{array}$$

其实，这正是我们早已熟悉的张量：恒等映射。让这个张量作用在任一向量上，只会在另一组基中得到同一个向量；这正是式 (J.10) 的内容。同样，根据式 (J.3)，若用逆多脚标架矩阵 $e^{\mu }{}_a$ 把 $e_{\nu }{}^a$ 上的 Latin 指标转换为 Greek 指标，就得到 Kronecker delta ${\delta }^{\mu }{}_{\nu }$；它当然是向量（或一形式）空间上的恒等映射。值得强调这一点，因为也可以选择把 $e_{\nu }{}^a$ 解释为一组向量分量——有些参考文献确实如此处理——那样一来，它在坐标变换下的表现会不同。

引入一套新的基向量和基一形式，迫使我们回到最喜爱的主题：变换性质。我们始终谨慎地强调，张量变换律只是坐标变换的间接结果；真正发生的是基的改变。如今有了非坐标基，基的改变便可独立于坐标进行。唯一限制是必须保持式 (J.1) 的正交归一性质。我们知道哪些变换会保持平直度规：在 Euclid 号差的度规中，它们是正交变换；

在 Lorentz 号差的度规中，它们是 Lorentz 变换。因此，我们考虑如下形式的换基：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.14}\text{)}& {\hat{e}}_{(a)}⟶{\hat{e}}_{(a^{\prime })}={\mathrm{\Lambda }}^a{}_{a^{\prime }}(x){\hat{e}}_{(a)},\end{array}$$

其中矩阵 ${\mathrm{\Lambda }}^a{}_{a^{\prime }}(x)$ 表示依赖位置的变换，并且在每一点都保持度规的标准形不变：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.15}\text{)}& {\mathrm{\Lambda }}^a{}_{a^{\prime }}{\mathrm{\Lambda }}^b{}_{b^{\prime }}{\eta }_{ab}={\eta }_{a^{\prime }{b}^{\prime }}.\end{array}$$

这些矩阵正对应于我们在平直空间中所说的逆 Lorentz 变换，它们作用在基向量上；与从前一样，还有作用在基一形式上的普通 Lorentz 变换 ${\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_a$。就分量而言，仍然用 ${\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_a$ 变换上指标，用 ${\mathrm{\Lambda }}^a{}_{a^{\prime }}$ 变换下指标。

因此，我们可以在空间的每一点自由施行 Lorentz 变换（或者依号差施行普通 Euclid 转动）。这些变换称为局域 Lorentz 变换（local Lorentz transformations，LLT）。我们仍保有通常的坐标变换自由，它们称为一般坐标变换（general coordinate transformations，GCT）。两者可以同时发生，从而得到混合的张量变换律：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.16}\text{)}& T^{a^{\prime }{\mu }^{\prime }}{}_{b^{\prime }{\nu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_a\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}{\mathrm{\Lambda }}^b{}_{b^{\prime }}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}{T}^{a\mu }{}_{b\nu }.\end{array}$$

把我们关于张量的知识转写到非坐标基中，大体上只需把多脚标架矩阵放在正确位置。关键例外出现在开始求导时。在通常的形式体系中，张量的协变导数等于它的偏导数加上修正项；每个指标对应一个修正项，其中包含该张量和联络系数。在非坐标基中，同样的程序仍然成立，但要把普通联络系数 ${\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ 换成自旋联络 ${\omega }_{\mu }{}^a{}_b$。每个 Latin 指标都按通常方式得到一个自旋联络因子：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.17}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}^a{}_b={\partial }_{\mu }{X}^a{}_b+{\omega }_{\mu }{}^a{}_c{X}^c{}_b-{\omega }_{\mu }{}^c{}_b{X}^a{}_c.\end{array}$$

（“自旋联络”这个名字源于它可以用来对旋量取协变导数，而传统的联络系数实际上无法完成这一操作。）当 Latin 与 Greek 指标混合出现时，两类修正项都会出现。

张量必须与其写法无关，这一惯常要求让我们能够推导自旋联络、多脚标架矩阵与 ${\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \lambda }$ 之间的关系。先在纯坐标基中考察向量 $X$ 的协变导数：

现在，在混合基中求出同一个对象，再把它转换到坐标基：

与式 (J.18) 比较可知

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.20}\text{)}& {\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \lambda }=e^{\nu }{}_a{\partial }_{\mu }{e}_{\lambda }{}^a+e^{\nu }{}_a{e}_{\lambda }{}^b{\omega }_{\mu }{}^a{}_b,\end{array}$$

等价地，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.21}\text{)}& {\omega }_{\mu }{}^a{}_b=e_{\nu }{}^a{e}^{\lambda }{}_b{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \lambda }-e^{\lambda }{}_b{\partial }_{\mu }{e}_{\lambda }{}^a.\end{array}$$

稍作整理，还可以把这个关系写成多脚标架矩阵的协变导数为零：

这个关系有时称为“四脚标架公设”。注意，它恒成立；推导中不需要对联络作任何假设。具体而言，我们既没有假设联络与度规相容，也没有假设它无挠。推导中确实隐含地把 $e_{\nu }{}^a$ 当作式 (J.13) 中的 $(1,1)$ 张量；由于这个张量是恒等映射，它的协变导数为零并不令人意外。（并非所有参考文献都采用这种观点，阅读时应当留心。）

联络可以看成一种必须引入的结构，用来修正协变导数的变换律；因此，自旋联络本身不服从张量变换律也在意料之中。实际上，在 GCT 下，它的那个 Greek 下指标确实像一形式那样正确变换；但在 LLT 下，自旋联络的变换是非齐次的：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.23}\text{)}& {\omega }_{\mu }{}^{a^{\prime }}{}_{b^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_a{\mathrm{\Lambda }}^b{}_{b^{\prime }}{\omega }_{\mu }{}^a{}_b-{\mathrm{\Lambda }}^c{}_{b^{\prime }}{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_c.\end{array}$$

建议你自行验证，这个变换律会让协变导数得到正确的变换。

到这里为止，我们所做的还只是形式上的转写：把早已知道的内容换成新记号。不过，这番工作带来两项收获。第一项前面已经提过：可以描述时空上的旋量场，并对它们取协变导数；这里不再深入讨论。第二项是视角的变化，使我们能把各种张量看成张量值微分形式。例如，考虑 $X_{\mu }{}^a$ 这样的对象；我们

可以把它看成用混合指标写成的 $(1,1)$ 张量，也可以看成“向量值一形式”：它有一个 Greek 下指标，所以按一形式看待；但对于下指标的每个取值，它又是一个向量。类似地，张量 $A_{\mu \nu }{}^a{}_b$ 对 $\mu$ 与 $\nu$ 反对称，可以看作“$(1,1)$ 张量值二形式”。因此，任何带若干个反对称 Greek 下指标和若干个 Latin 指标的张量，都可看成取值于张量丛的微分形式。（普通微分形式就是标量值形式。）考虑外微分时，这种视角便显示出用途。若把 $X_{\mu }{}^a$ 看作向量值一形式，自然会想取它的外微分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.24}\text{)}& (\mathrm{d}X{)}_{\mu \nu }{}^a={\partial }_{\mu }{X}_{\nu }{}^a-{\partial }_{\nu }{X}_{\mu }{}^a.\end{array}$$

很容易检验，这个对象在 GCT 下像二形式那样变换，也就是服从 $(0,2)$ 张量的变换律；然而，它在 LLT 下不按向量变换，因为 Lorentz 变换依赖位置，从而会在变换律中引入一个非齐次项。适当利用自旋联络可以修正这个问题。自旋联络可以看成一形式，但由于它具有式 (J.23) 的非张量变换律，不能看成张量值一形式。因此，对象

正如你可以验证的，它会像正常的张量那样变换。

这套形式体系可以立即用于挠率与曲率的表达式；这两个张量刻画任意给定的联络。挠率有两个反对称下指标，可以看成向量值二形式 $T_{\mu \nu }{}^a$。曲率的最后两个指标总是反对称的，因此它是 $(1,1)$ 张量值二形式 $R^a{}_{b\mu \nu }$。利用在微分形式中省略指标的自由，可以用基一形式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.26}\text{)}& e^a=e_{\mu }{}^a\mathrm{d}{x}^{\mu }\end{array}$$

以及自旋联络一形式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.27}\text{)}& {\omega }^a{}_b={\omega }_{\mu }{}^a{}_b\mathrm{d}{x}^{\mu }\end{array}$$

来表示它们。注意，我们已经更换记号，定义 $e^a\equiv {\hat{\theta }}^{(a)}$；这是相当常见而且更简洁的约定。挠率与曲率的定义关系于是分别为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.28}\text{)}& T^a=\mathrm{d}{e}^a+{\omega }^a{}_b\wedge e^b\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.29}\text{)}& R^a{}_b=\mathrm{d}{\omega }^a{}_b+{\omega }^a{}_c\wedge {\omega }^c{}_b.\end{array}$$

请记住，$R^a{}_b$ 表示完整的 Riemann 张量，只是 Greek 指标被省略了；不要把它与 Ricci 张量混淆。这两式称为 Cartan 结构方程。它们与通常的定义等价。下面通过挠率验证这一点，曲率的情形则留给你自行检验。由定义有

这正是先前给出的原始定义。这里使用了式 (J.20)，即用多脚标架矩阵与自旋联络表示 ${\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ 的公式。这些张量所满足的恒等式也可写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.31}\text{)}& \mathrm{d}{T}^a+{\omega }^a{}_b\wedge T^b=R^a{}_b\wedge e^b\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.32}\text{)}& \mathrm{d}{R}^a{}_b+{\omega }^a{}_c\wedge R^c{}_b-R^a{}_c\wedge {\omega }^c{}_b=0.\end{array}$$

第一式是 $R^{\rho }{}_{[\sigma \mu \nu ]}=0$ 的推广，第二式则是 Bianchi 恒等式 ${\mathrm{\nabla }}_{[\lambda }{R}^{\rho }{}_{|\sigma |\mu \nu ]}=0$。（有时两式都称为 Bianchi 恒等式。）

这些表达式的形式几乎让人无法抗拒去定义一种“协变外微分”：它作用在张量值形式上时，先取普通外微分，再为每个 Latin 指标加入适当的自旋联络项。虽然这里不正式作出这个定义，但顺着这种想法并无问题；事实上，式 (J.28) 的右边以及式 (J.31)、(J.32) 的左边，都可以看成这样的协变外微分。不过务必小心，式 (J.29) 不能这样理解；自旋联络不属于张量，因而不能对它取任何形式的协变导数。

目前为止，我们的方程对一般联络都成立。下面看看 Christoffel 联络会带来什么。无挠条件就是要求式 (J.28) 为零；这不会立即给出关于自旋联络系数的简单陈述。度规相容性表现为度规协变导数为零，即 $\mathrm{\nabla }g=0$。在正交归一基中，度规分量就是 ${\eta }_{ab}$；把度规写在这组基中，可以看出这一条件意味着什么：

令它等于零，便得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.34}\text{)}& {\omega }_{\mu ab}=-{\omega }_{\mu ba}.\end{array}$$

因此，度规相容性等价于自旋联络对两个 Latin 指标反对称。（与先前一样，只有两个指标同时都是上指标或同时都是下指标时，这类陈述才有意义。）无挠和度规相容这两个条件合在一起，使我们能够用多脚标架矩阵表示自旋联络。存在一个给出解的显式公式，但实际计算时，通常更容易直接求解无挠条件

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.35}\text{)}& {\omega }^a{}_b\wedge e^b=-\mathrm{d}{e}^a,\end{array}$$

再利用自旋联络的反对称性找出各个分量。

研究非坐标基的一个重要理由，是它们在某些问题中确实能大幅简化计算，其中包括曲率张量的计算。下面用一个简单例子说明这一点。考虑空间平直的膨胀宇宙，其度规为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.36}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+a^2(t){\delta }_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j.\end{array}$$

我们将使用式 (J.26) 与 (J.27) 的微分形式记号；这类计算很好地表明，这套语言不但优雅，在实践中也很有用。对任意几何，度规都可写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.37}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2={\eta }_{ab}{e}^a\otimes e^b.\end{array}$$

现在需要选择基一形式 $e^a$，使它与度规 (J.36) 相符。选择有很多种，它们通过局域 Lorentz 变换彼此联系；一个显然的选择是

接下来用式 (J.35) 求解自旋联络。好消息是，我们基本上可以靠猜测完成。先用 ${\eta }^{ab}$ 与 ${\eta }_{ab}$ 适当升降指标，从 ${\omega }_{ab}$ 的反对称性推得

然后计算式 (J.35) 的右边：

再计算左边：

代入式 (J.35)，得到

我们希望由这些方程求出 ${\omega }^a{}_b$。很容易想先猜 ${\omega }^0{}_j=0$；但这样一来，为了求解第二式，就必须令 ${\omega }^i{}_j=-\dot{a}{\delta }^i{}_j\mathrm{d}t$，这与式 (J.39) 中的 ${\omega }^j{}_i=-{\omega }^i{}_j$ 不相容。不过，可以令 ${\omega }^0{}_j$ 与 $\mathrm{d}{x}^j$ 成正比，从而利用楔积的反对称性解出第一式。事实上，若选择

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.43}\text{)}& {\omega }^0{}_j=\dot{a}\mathrm{d}{x}^j,{\omega }^i{}_0=\dot{a}\mathrm{d}{x}^i,\end{array}$$

就会发现，只要再令

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.44}\text{)}& {\omega }^i{}_j=0,\end{array}$$

式 (J.42) 的两个方程便都得到满足。

既然已经知道自旋联络，就可以由下式轻松求出曲率：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.45}\text{)}& R^a{}_b=\mathrm{d}{\omega }^a{}_b+{\omega }^a{}_c\wedge {\omega }^c{}_b.\end{array}$$

先计算自旋联络形式的外微分：

再计算楔积：

于是得到曲率二形式

为了比较，可以用多脚标架矩阵把 $R^a{}_{b\mu \nu }$ 转换成惯用表达式 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.49}\text{)}& R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=e^{\rho }{}_a{e}_{\sigma }{}^b{R}^a{}_{b\mu \nu }.\end{array}$$

式 (J.38) 的多脚标架矩阵及其逆矩阵，用分量形式写成

还需要求出基形式楔积的分量；这也很直接：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.51}\text{)}& {(\mathrm{d}{x}^{\alpha }\wedge \mathrm{d}{x}^{\beta })}_{\mu \nu }={\delta }^{\alpha }{}_{\mu }{\delta }^{\beta }{}_{\nu }-{\delta }^{\alpha }{}_{\nu }{\delta }^{\beta }{}_{\mu }.\end{array}$$

把所有结果合起来，得到 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$ 的分量

以及由最后两个指标的反对称性得到的其他分量。作缩并便得到 Ricci 张量 $R_{\sigma \nu }=R^{\rho }{}_{\sigma \rho \nu }$ 的分量：

你可以检验，这与第 8 章所得结果一致。即使在这个简单例子中，四脚标架方法在计算上也比坐标基方法更简便；对更加复杂的度规，它的相对优势还会继续增大。

用非坐标基的语言，可以把 Riemann 几何中的联络和曲率形式体系，与粒子物理规范理论的相应形式体系作比较。在两种情形中，所关注的场都存在于分配给时空每一点的向量空间中。在 Riemann 几何里，这些向量空间包括切空间、余切空间，以及由它们构造出的高阶张量空间；规范理论关注的则是“内部”向量空间。二者的区别在于，切空间及其相关空间与流形自身紧密联系，并在建立流形时就自然定义好了。例如，切空间可以看成某一点所有方向导数组成的空间。相比之下，一个内部向量

空间可以具有任意想要的维数，并且必须作为独立结构附加到流形上。用数学术语说，底流形与定义在每一点的内部向量空间合在一起构成一个纤维丛；向量空间的每一个副本称为“纤维”（这与我们对切丛的定义一致）。

除了底流形——对我们来说就是时空——和纤维之外，定义纤维丛的另一项重要成分是“结构群”。它是作用于纤维的 Lie 群，用来描述不同重叠坐标片上的纤维如何缝合。这里不展开细节；四维时空切丛的结构群一般是 $\mathrm{GL}(4,\mathbb{R})$，即所有实可逆 $4\times 4$ 矩阵组成的群；若有 Lorentz 度规，则可以把它约化为 Lorentz 群 $\mathrm{SO}(3,1)$。现在设想引入一个三维内部向量空间，并用普通转动把这些纤维缝合起来；新纤维丛的结构群就是 $\mathrm{SO}(3)$。生活在这个丛中的一个场可以记作 ${\varphi }^A(x^{\mu })$，其中 $A$ 从 1 取到 3；对流形上的每一点，它都是一个三维向量——这个向量属于内部空间，与时空无关。我们可以任意选择纤维中的基；这意味着“物理量”应当在如下局域 $\mathrm{SO}(3)$ 变换下保持不变：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.54}\text{)}& {\varphi }^A(x^{\mu })⟶{\varphi }^{A^{\prime }}(x^{\mu })=O^{A^{\prime }}{}_A(x^{\mu }){\varphi }^A(x^{\mu }),\end{array}$$

其中 $O^{A^{\prime }}{}_A(x^{\mu })$ 是依赖时空位置的 $\mathrm{SO}(3)$ 矩阵。这类变换称为规范变换，在它们之下保持不变的理论称为“规范理论”。

在大多数情况下，让物理量在规范变换下保持不变并不困难。唯一的麻烦出现在考虑偏导数 ${\partial }_{\mu }{\varphi }^A$ 时。由于矩阵 $O^{A^{\prime }}{}_A(x^{\mu })$ 依赖时空位置，它会给偏导数的变换带来一个不希望出现的项。此时解法应当已经不难猜到：引入联络，修正变换律中的非齐次项。因此，在纤维丛上定义联络 $A_{\mu }{}^A{}_B$，它有两个“群指标”和一个时空指标。在 GCT 下，它像一形式那样变换；在规范变换下，其变换律为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.55}\text{)}& A_{\mu }{}^{A^{\prime }}{}_{B^{\prime }}=O^{A^{\prime }}{}_A{O}^B{}_{B^{\prime }}{A}_{\mu }{}^A{}_B-O^C{}_{B^{\prime }}{\partial }_{\mu }{O}^{A^{\prime }}{}_C.\end{array}$$

（注意：这里的约定与粒子物理文献中的约定不同。）有了这个变换律，“规范协变导数”

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.56}\text{)}& D_{\mu }{\varphi }^A={\partial }_{\mu }{\varphi }^A+A_{\mu }{}^A{}_B{\varphi }^B\end{array}$$

便会在规范变换下按“张量方式”变换；欢迎你自行检验。（在普通电磁学中，联络就是惯用的向量势。这里不需要任何指标，因为结构群 $\mathrm{U}(1)$ 是一维的。）

很明显，内部纤维丛上的联络概念与切丛上的联络关系非常密切，在我们一直讨论的正交归一标架图景中尤其如此。例如，式 (J.55) 的变换律与自旋联络的变换律 (J.23) 完全相同。还可以定义一个曲率张量，也就是“场强”张量；它是二形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{J.57}\text{)}& F^A{}_B=\mathrm{d}{A}^A{}_B+A^A{}_C\wedge A^C{}_B,\end{array}$$

这与式 (J.29) 精确对应。可以沿路径平行移动对象，也有类似于平行传播子的构造：把向量沿闭合曲线平行移动所得矩阵取迹，便得到所谓的 Wilson 环。

还可以继续发展切丛与内部向量丛之间的关系，不过那将需要另写一本书。这里以强调两种构造之间的重要差别作为结束。差别源于切丛与底流形密切相关，其他纤维丛则是在事后附加上去的。说切空间中位于 $p$ 的向量“沿一条路径指向”经过 $p$，是有意义的；对内部向量丛却不能这样说。因此，内部空间中没有坐标基的对应物——沿曲线取偏导与内部向量无关。随之也不会有类似多脚标架矩阵、把正交归一基与坐标基联系起来的结构。特别地，挠率张量只对切丛上的联络有定义，对任何规范理论联络都没有定义；它可以看作多脚标架矩阵的协变外微分，而内部丛上并不存在这种构造。我们应当理解“联络”概念不同用法之间的关系，同时不要把这种类比推得过远。

J.1 习题

1. 在式 (J.37) 中，我们提到正交归一基中的度规可以写成

   $$\begin{array}{}\text{(}\text{J.58}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2={\eta }_{ab}{e}^a\otimes e^b.\end{array}$$

   这怎么可能？如果度规的分量处处都是 ${\eta }_{ab}$，我们又如何知道几何究竟是什么？

2. 计算 Mixmaster 宇宙的联络一形式、曲率二形式，并由此求出 Riemann 张量的分量。度规为

   $$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}t\otimes \mathrm{d}t+{\alpha }^2{\sigma }^1\otimes {\sigma }^1+{\beta }^2{\sigma }^2\otimes {\sigma }^2+{\gamma }^2{\sigma }^3\otimes {\sigma }^3.$$

   这里 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 只是 $t$ 的函数，一形式 ${\sigma }^i$ 定义为

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