微分、向量与张量分量

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流形上的微分

流形在局部看起来像 ${\mathbf{R}}^n$，这一事实通过坐标图的构造体现出来，也使我们能够在流形上进行分析，包括微分和积分等运算。考虑维数分别为 $m$ 和 $n$ 的两个流形 $M$ 与 $N$，其中 $M$ 上有坐标图 $\varphi$，$N$ 上有坐标图 $\psi$。设有函数 $f:M\to N$：

图 2.14：坐标图把流形之间的映射转写成欧氏空间之间的映射。

如果只把 $M$ 和 $N$ 看成集合，我们无法轻率地对映射 $f$ 求导，因为此时还不知道这种运算意味着什么。但坐标图允许我们构造映射 $(\psi \circ f\circ {\varphi }^{-1}):{\mathbf{R}}^m\to {\mathbf{R}}^n$。（在这里以及后文所有适当之处，你都可以自行补上“在这些映射有定义的地方”这句话。）这已经是欧氏空间之间的映射，因此高等微积分中的全部概念都适用。例如，把 $f$ 看成 $M$ 上取值于 $N$ 的函数，就可以对它求导，得到 $\partial f/\partial x^{\mu }$，其中 $x^{\mu }$ 表示 ${\mathbf{R}}^m$ 上的坐标。关键在于，这种记法只是一种简写，实际进行的是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.7}\text{)}& \frac{\partial f}{{\partial }_{}{x}^{\mu }}\equiv \frac{\partial }{{\partial }_{}{x}^{\mu }}(\psi \circ f\circ {\varphi }^{-1})(x^{\mu }).\end{array}$$

如果每次都把坐标映射显式写出，表达式将繁琐得无法使用，更不用说还会显得过于迂腐。对大多数用途而言，左边的简写已经足够。

有了这些基础，我们现在可以开始在流形上引入各种结构。先从向量和切空间说起。在讨论狭义相对论时，我们有意含糊处理了向量的定义以及向量与时空之间的关系。当时特别强调了切空间这个概念，也就是时空中某一点处全部向量的集合。这样强调，是为了让你摆脱“向量从流形上的一个点延伸到另一个点”的印象，并把它理解为只与单个点相联系的对象。采用这种观点会暂时失去一种表述能力：像“这个向量指向 $x$ 方向”这样的话该怎样理解？如果切空间只是与每一点相联系的抽象向量空间，这句话的含义就很难确定。现在该解决这个问题了。

用方向导数构造切空间

经过一点的曲线

设想我们希望仅利用流形 $M$ 的内在对象来构造点 $p\in M$ 处的切空间，不借助向更高维空间的嵌入等外部结构。第一个猜想可能是利用我们的直观认识：存在一种称为“曲线的切向量”的对象，它们应当属于切空间。因此，可以考虑所有经过 $p$ 的参数化曲线，也就是所有像中含有 $p$ 的（非退化）映射 $\gamma :\mathbf{R}\to M$ 所组成的空间。人们很容易想把切空间直接定义为这些曲线在 $p$ 点的全部切向量所成的空间。但这样显然是在偷换概念：切空间 $T_p$ 本来就应定义为 $p$ 点处向量的空间；在它得到定义以前，我们还没有独立的方式说明“曲线的切向量”究竟是什么。在某个坐标系 $x^{\mu }$ 中，每条经过 $p$ 的曲线都由 $n$ 个实数 $d{x}^{\mu }/d\lambda$（$\lambda$ 是沿曲线的参数）确定 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个元素；然而这个映射显然依赖坐标，无法满足我们的要求。

尽管如此，我们的方向是对的，只需让构造摆脱坐标依赖。为此，定义 $\mathcal{F}$ 为 $M$ 上所有光滑函数的空间，也就是所有 $C^{\mathrm{\infty }}$ 映射 $f:M\to \mathbf{R}$ 的空间。随后注意到，每条经过 $p$ 的曲线都在这个函数空间上定义了一个算子，即方向导数；它把 $f$ 映为 $df/d\lambda$（在 $p$ 点取值）。我们提出如下论断：切空间 $T_p$ 可以与沿所有经过 $p$ 的曲线所定义的方向导数算子空间等同起来。 为确立这一想法，必须证明两点：第一，方向导数的空间是向量空间；第二，它确实是我们想要的那个向量空间——其维数与 $M$ 相同，能够自然表达沿某个方向的向量，等等。

方向导数构成向量空间

第一个论断，也就是方向导数构成向量空间，看起来十分直接。设有两个算子 $\frac{d}{d\lambda }$ 和 $\frac{d}{d\eta }$，分别表示沿两条经过 $p$ 的曲线求导。把它们相加并乘以实数完全没有问题，由此得到新算子 $a\frac{d}{d\lambda }+b\frac{d}{d\eta }$。然而，这个空间是否封闭并非立刻可见；换言之，所得算子本身是否仍为导数算子？一个合格的导数算子应当线性作用于函数，并对函数的乘积满足通常的 Leibniz（乘积）法则。新算子显然是线性的，所以只需验证它满足 Leibniz 法则。我们有

正如我们所希望的那样，乘积法则成立，因此方向导数的集合确实是一个向量空间。

坐标基

它是否就是我们希望等同于切空间的向量空间？最容易令人信服的办法是为这个空间找出一组基。再次考虑一个坐标为 $x^{\mu }$ 的坐标图。在 $p$ 点有一组显然的 $n$ 个方向导数，也就是 $p$ 点的偏导数 ${\partial }_{\mu }$。

图 2.15：坐标方向上的偏导数在一点处给出切空间的一组自然基。

下面要论证，$p$ 点的偏导算子 $\{{\partial }_{\mu }\}$ 构成切空间 $T_p$ 的一组基。（于是立刻可以推出 $T_p$ 是 $n$ 维的，因为基向量恰有 $n$ 个。）为此，我们将证明任意方向导数都能分解为若干实数乘偏导数之和。这其实就是熟悉的切向量分量表达式，不过通过这一整套形式化机制再看一遍仍很有益。考虑一个 $n$ 维流形 $M$、坐标图 $\varphi :M\to {\mathbf{R}}^n$、曲线 $\gamma :\mathbf{R}\to M$ 和函数 $f:M\to \mathbf{R}$。它们形成如下这一团映射：

图 2.16：借助坐标图，把沿流形上曲线的求导化为实数空间中的链式求导。

若 $\lambda$ 是沿 $\gamma$ 的参数，我们希望用偏导数 ${\partial }_{\mu }$ 展开向量或算子 $\frac{d}{d\lambda }$。利用链式法则 (2.2)，有

第一行只是把左边的非正式表达式改写成函数 $(f\circ \gamma ):\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ 的严格导数。第二行直接来自逆映射 ${\varphi }^{-1}$ 的定义（以及复合运算的结合律）。第三行使用正式的链式法则 (2.2)，最后一行则回到了开头的非正式记法。由于函数 $f$ 是任意的，我们有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.10}\text{)}& \frac{d}{d\lambda }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\partial }_{\mu }.\end{array}$$

因此，偏导数 $\{{\partial }_{\mu }\}$ 的确构成方向导数向量空间的一组良好基，我们也就可以放心地把这个空间等同于切空间。

当然，$\frac{d}{d\lambda }$ 所表示的向量早已为我们所熟知：它就是参数为 $\lambda$ 的曲线的切向量。因此，可以把 (2.10) 看成 (1.24) 的另一种表述；在那里，我们声称切向量的分量就是 $d{x}^{\mu }/d\lambda$。这里唯一的区别是，我们正在任意流形上工作，并且把基向量明确选为 ${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$。

这组特殊的基（${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$）称为 $T_p$ 的坐标基（coordinate basis）；它把“令基向量沿坐标轴方向指向”这一想法形式化了。考虑切向量时，我们并不受限于坐标基；例如，采用某种正交归一基有时会更方便。不过坐标基极为简单自然，本课程几乎始终使用它。

向量与坐标变换

我们对向量采取的这一较为抽象的观点有一个优点：变换定律可以立即得到。由于基向量为 ${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$，根据链式法则 (2.3)，新坐标系 $x^{{\mu }^{\prime }}$ 中的基向量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.11}\text{)}& {\partial }_{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial }_{\mu }.\end{array}$$

得到向量分量变换定律的方法，与平直空间中使用的技巧相同：要求向量 $V=V^{\mu }{\partial }_{\mu }$ 在基底变换下保持不变。于是

从而（因为矩阵 $\partial x^{{\mu }^{\prime }}/\partial x^{\mu }$ 是矩阵 $\partial x^{\mu }/\partial x^{{\mu }^{\prime }}$ 的逆）

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.13}\text{)}& V^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}{V}^{\mu }.\end{array}$$

由于基向量通常不显式写出，分量的变换规则 (2.13) 就是我们所说的“向量变换定律”。可以看到，它与狭义相对论中洛伦兹变换下的向量分量变换 $V^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\mu }{V}^{\mu }$ 相容，因为洛伦兹变换是坐标变换的一种特殊情形，其中 $x^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\mu }{x}^{\mu }$。但 (2.13) 更加一般，它包含任意坐标变换（因而包含任意相应的基底变换）下向量的行为，不只适用于线性变换。和以往一样，我们希望强调一个略显微妙的本体论区别：张量分量不会单凭坐标名称的改变而改变；它们会在切空间的基底改变时改变，而我们已经选择用坐标来定义基底。因此，坐标变换会诱导基底变换：

图 2.17：改变坐标会诱导每一点切空间中坐标基的改变。

对偶向量与余切空间

考察完向量以后，我们继续沿着平直空间中的步骤前进，接着讨论对偶向量，也就是一形式。余切空间 $T_p^{\ast }$ 仍然是所有线性映射 $\omega :T_p\to \mathbf{R}$ 的集合。一形式的标准例子是函数 $f$ 的梯度，记作 $\mathrm{d}f$。它作用在向量 $\frac{d}{d\lambda }$ 上，恰好得到该函数的方向导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.14}\text{)}& \mathrm{d}f\left(\frac{d}{d\lambda }\right)=\frac{df}{d\lambda }.\end{array}$$

人们很容易产生这样的想法：“为什么不能把函数 $f$ 本身看成一形式，再把 $df/d\lambda$ 看成它的作用结果？”关键在于，一形式和向量一样，只存在于其定义所在的点，并不依赖 $M$ 上其他点的信息。知道一个函数在某点邻域中的取值，就可以求它的导数；只知道它在该点的值则做不到。另一方面，梯度恰好编码了沿所有经过 $p$ 的曲线求方向导数所需的信息，因此能够履行对偶向量的职责。

正如沿坐标轴的偏导数为切空间提供自然基，坐标函数 $x^{\mu }$ 的梯度也为余切空间提供自然基。回想一下，在平直空间中，我们通过要求 ${\hat{\theta }}^{(\mu )}({\hat{e}}_{(\nu )})={\delta }_{\nu }^{\mu }$ 构造了 $T_p^{\ast }$ 的一组基。把同样的思想延续到任意流形上，由 (2.14) 可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.15}\text{)}& \mathrm{d}{x}^{\mu }({\partial }_{\nu })=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}={\delta }_{\nu }^{\mu }.\end{array}$$

所以，梯度 $\{\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$ 是一组合适的基一形式；任意一形式都可以按分量展开为 $\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$。

基对偶向量及其分量的变换性质，也可以通过如今已经熟悉的步骤得到。对基一形式，有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.16}\text{)}& \mathrm{d}{x}^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}\mathrm{d}{x}^{\mu },\end{array}$$

对分量则有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.17}\text{)}& {\omega }_{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\omega }_{\mu }.\end{array}$$

谈到一形式 $\omega$ 时，我们通常会写出它的分量 ${\omega }_{\mu }$。

一般张量的变换定律

一般张量的变换定律遵循同样的模式：把平直空间中使用的洛伦兹变换矩阵，换成表示更一般坐标变换的矩阵。一个 $(k,l)$ 型张量 $T$ 可以展开为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.18}\text{)}& T=T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}{\partial }_{{\mu }_1}\otimes \cdots \otimes {\partial }_{{\mu }_k}\otimes \mathrm{d}{x}^{{\nu }_1}\otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{x}^{{\nu }_l},\end{array}$$

在坐标变换下，其分量按照下式改变：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.19}\text{)}& T^{{\mu }_1^{\prime }\cdots {\mu }_k^{\prime }}{}_{{\nu }_1^{\prime }\cdots {\nu }_l^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }_1^{\prime }}}{\partial x^{{\mu }_1}}\cdots \frac{\partial x^{{\mu }_k^{\prime }}}{\partial x^{{\mu }_k}}\frac{\partial x^{{\nu }_1}}{\partial x^{{\nu }_1^{\prime }}}\cdots \frac{\partial x^{{\nu }_l}}{\partial x^{{\nu }_l^{\prime }}}{T}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}.\end{array}$$

这一张量变换定律很容易记忆，因为一旦指标的位置确定，实际上也没有别的可能形式。不过，要变换一个张量，通常还有一种更简便的方法：直接把基向量与偏导数、基一形式与梯度的等同关系当真，然后代入坐标变换。

二维对称张量的例子

作为例子，考虑二维流形上的一个对称 $(0,2)$ 型张量 $S$。在坐标系 $(x^1=x,x^2=y)$ 中，它的分量为

等价地，可以写成

最后一行中为了简洁省略了张量积符号。现在考虑新坐标

由此直接得到

只需把这些表达式直接代入 (2.21)，就可以得到下式（要记住张量积不满足交换律，所以 $\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }\ne \mathrm{d}{y}^{\prime }\mathrm{d}{x}^{\prime }$）：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.24}\text{)}& S=9(x^{\prime }{)}^4[1+(x^{\prime }{)}^3](\mathrm{d}{x}^{\prime }{)}^2-3\frac{(x^{\prime }{)}^2}{y^{\prime }}(\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }+\mathrm{d}{y}^{\prime }\mathrm{d}{x}^{\prime })+\frac{1}{(y^{\prime }{)}^2}(\mathrm{d}{y}^{\prime }{)}^2,\end{array}$$

或者

注意，它仍然是对称的。这里没有直接使用变换定律 (2.19)，但你可以核对：直接使用该定律也会得到同样的结果。

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