07｜电磁场张量：四条方程如何变成两条

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本篇采用以下约定：

$$x^{\mu }=(ct,x,y,z),{\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1),$$$$A^{\mu }=(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}),J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{J}).$$

不同教材可能选择相反的度规号差或不同的 $F_{\mu \nu }$ 定义，矩阵中的若干负号会随之变化。只要从头到尾使用同一套约定，最终的三维麦克斯韦方程相同。

1. 从四维势构造电磁场张量

四维导数为：

$${\partial }_{\mu }=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla }).$$

升指标后：

$${\partial }^{\mu }={\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\mathrm{\nabla }).$$

定义电磁场张量：

$$\boxed{F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }}.$$

交换指标：

$$F^{\nu \mu }={\partial }^{\nu }{A}^{\mu }-{\partial }^{\mu }{A}^{\nu }=-F^{\mu \nu },$$

所以它自动是反对称张量。这就像你站在网格上的两个点之间，从 A 看 B 和从 B 看 A 的坡度刚好相反一样。这种反对称性是电磁场张量的核心灵魂，意味着时间和空间在相互交织时有着严格的“方向性”。

时间—空间分量给出电场

令 $i=1,2,3$：

因为：

$$E_i=-\frac{\partial \varphi }{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial t}.$$

因此：

$$\boxed{F^{0i}=-\frac{E_i}{c},F^{i0}=\frac{E_i}{c}}.$$

空间—空间分量给出磁场

例如：

同理：

$$F^{23}=-B_x,F^{31}=-B_y.$$

所以：

三个 $F^{0i}$ 放入电场，三个独立的 $F^{ij}$ 放入磁场。

2. 有源方程的协变形式

有源的两条麦克斯韦方程可以写成：

$$\boxed{{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }}.$$

自由指标 $\nu$ 有四个取值，所以这一行包含四个分量方程。

取 $\nu =0$：电场高斯定律

展开左边：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu 0}={\partial }_0{F}^{00}+{\partial }_1{F}^{10}+{\partial }_2{F}^{20}+{\partial }_3{F}^{30}.$$

反对称性给出 $F^{00}=0$，而：

$$F^{i0}=\frac{E_i}{c}.$$

因此：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu 0}=\frac{1}{c}(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z})=\frac{1}{c}\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}.$$

右边为：

$${\mu }_0{J}^0={\mu }_{0}c\rho .$$

所以：

$$\frac{1}{c}\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}={\mu }_{0}c\rho .$$

两边乘以 $c$，再使用 ${\mu }_0{c}^2=1/{\epsilon }_0$：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}}.$$

取 $\nu =1$：安培—麦克斯韦定律的 $x$ 分量

展开：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu 1}={\partial }_0{F}^{01}+{\partial }_2{F}^{21}+{\partial }_3{F}^{31}.$$

代入矩阵分量：

$$F^{01}=-\frac{E_x}{c},F^{21}=B_z,F^{31}=-B_y.$$

于是：

右边是 ${\mu }_0{J}_x$，所以：

$${(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B})}_x-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial t}={\mu }_0{J}_x.$$

取 $\nu =2,3$ 会得到 $y,z$ 分量。三者合并：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}={\mu }_0\mathbf{J}}.$$

移项后就是熟悉的安培—麦克斯韦定律。你可以把它想象成风向标和水流的互动：空间里打转的磁场旋涡，一部分是被真实流动的电流源头激发的，另一部分则是被正在不断变化的电场这种“隐形水流”硬生生带动起来的。把四维的方程拆解开，我们又看到了那幅熟悉的动态物理图景。

3. 对偶张量

定义四维列维-奇维塔符号，并选择：

$${\epsilon }^{0123}=+1.$$

电磁场张量的对偶定义为：

$$\boxed{{\tilde{F}}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }}.$$

在本篇约定下：

对偶运算交换了电场和磁场在矩阵中的角色，并带入相应的符号与 $c$。

4. 无源方程的协变形式

另外两条麦克斯韦方程可以写成：

$$\boxed{{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0}.$$

取 $\nu =0$：磁场高斯定律

所以：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0}.$$

取 $\nu =1$：法拉第定律的 $x$ 分量

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu 1}={\partial }_0{\tilde{F}}^{01}+{\partial }_2{\tilde{F}}^{21}+{\partial }_3{\tilde{F}}^{31}.$$

代入：

$${\tilde{F}}^{01}=-B_x,{\tilde{F}}^{21}=-\frac{E_z}{c},{\tilde{F}}^{31}=\frac{E_y}{c}.$$

得到：

令它为零：

$${(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})}_x=-\frac{\partial B_x}{\partial t}.$$

其余空间分量同理，于是：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}}.$$

5. 无源方程也可以从势直接推出

由定义：

$$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }.$$

计算循环和：

$${\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu }.$$

逐项展开：

偏导数的顺序可以随意交换，这就好像在四维网格上先向东走再向北爬坡，和先向北爬坡再向东走，你测量到的总体落差是一样的。当把这三项循环相加时，所有的项都会像玩跷跷板一样两两互相抵消，最终什么都不剩，因此：

$$\boxed{{\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu }=0}.$$

这叫 Bianchi 恒等式，它与：

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$$

等价。无源方程因此内置在 $F$ 由势 $A$ 构造的方式中。

6. 电荷守恒怎样藏在有源方程里

对有源方程再取 ${\partial }_{\nu }$：

$${\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{\partial }_{\nu }{J}^{\nu }.$$

令左边为 $X$。交换哑指标 $\mu ,\nu$：

所以 $X=0$。因此：

$$\boxed{{\partial }_{\nu }{J}^{\nu }=0}.$$

这就是四维形式的电荷连续性方程。它其实在讲一个非常直白的道理：池塘里的水不可能凭空消失，水位的下降必然伴随着水流向外涌出。“对称的二阶偏导”就像一个不管方向的无偏见测绘员，而“反对称的场张量”却非要分出个正反，这两者一碰头，结果自然就变成了零。正是这种严密的网格运算结构，强有力地保障了电荷在整个宇宙中始终守恒。

7. 为什么这种写法是洛伦兹协变的

洛伦兹变换下：

$$F^{\prime \mu \nu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }{\mathrm{\Lambda }}^{\nu }{}_{\beta }{F}^{\alpha \beta },$$$$J^{\prime \nu }={\mathrm{\Lambda }}^{\nu }{}_{\beta }{J}^{\beta }.$$

导数按协向量方式变换。缩并掉 $\mu$ 后，${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }$ 只剩自由指标 $\nu$，整体按四维向量变换，恰好与 $J^{\nu }$ 的变换方式相同。因此：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$$

在所有惯性系中保持同一形式。无论你是静止在地面，还是坐在一列高速飞驰的动车上，只要大家都用同一套四维网格的坐标语言来记录，这套电磁规律的样貌在不同人眼中看起来就是一模一样的。

8. 两个场不变量

张量完全缩并后得到洛伦兹标量。直接代入矩阵可以算出：

$$\boxed{F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }=2(B^2-\frac{E^2}{c^2})},$$$$\boxed{F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=-\frac{4}{c}\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}}.$$

因为左边是洛伦兹标量，右边对应的组合在不同惯性系中保持不变。这与上一篇得到的两个场不变量一致。

9. 四条怎样变成两条

最终结果是：

第一条在 $\nu =0$ 时给出电场高斯定律，在 $\nu =1,2,3$ 时给出安培—麦克斯韦定律。

第二条在 $\nu =0$ 时给出磁场高斯定律，在 $\nu =1,2,3$ 时给出法拉第定律。

这所谓的“两条”方程，其实是两条带有自由维度的张量宣言，每一条都像折叠伞一样，内部撑开了四个独立的分量关系。它就像把四张散乱的说明书，用时间和空间这套坚固的骨架重新装订成两本精装手册。表面的数量虽然被压缩了，但电磁场怎样像源泉般喷发、又怎样在虚空中相互激荡起伏的全部故事，一点也没有丢失。

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