第 2 章 流形

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底本：Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity，第 2 章（印刷页 48–92；PDF 61–105）。本章按原书逐页翻译；公式编号、图号和习题编号均沿用原书。正文中标出的“作者勘误”来自作者官网的勘误表。

2.1 作为几何的引力

引力很特殊。在广义相对论中，我们把这种特殊性归因于这样一个事实：产生引力的动力学场是描述时空自身曲率的度规张量，而非某个在时空中传播的附加场；这正是 Einstein 的深刻洞见。引导他形成这一想法的物理原则，是引力相互作用的普适性，其形式化表达就是等效原理。下面来看，这条物理原则如何把我们引向一种数学策略：把引力描述为弯曲流形的几何。

等效原理有多种形式。第一种是弱等效原理（Weak Equivalence Principle，WEP）。WEP 声称，任何物体的惯性质量与引力质量相等。要理解这句话的含义，可以先回想 Newton 力学。第二定律把施加在物体上的力与物体获得的加速度联系起来，二者成正比，比例常数就是惯性质量 $m_i$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.1}\text{)}& \mathbf{F}=m_i\mathbf{a}.\end{array}$$

惯性质量显然具有普适的性质，它对应于你推动物体时感到的阻力；无论施加的是哪一种力，它都取同一个值。我们还有 Newton 引力定律。它可以理解为：物体受到的引力与一个标量场 $\mathrm{\Phi }$ 的梯度成正比，这个标量场称为引力势。这里的比例常数称为引力质量 $m_g$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.2}\text{)}& {\mathbf{F}}_g=-m_g\mathbf{\nabla }\mathrm{\Phi }.\end{array}$$

乍看之下，$m_g$ 与 $m_i$ 的性质很不一样；它是引力所特有的量。也可以把 $m_g/m_i$ 看作物体的“引力荷”。尽管如此，Galileo 很早就表明了物质对引力的响应具有普适性——传说他是从 Pisa 斜塔上扔下重物，实际做法则是让球沿斜面滚下：在引力场中，每个物体都以同样的速率下落，与物体的组成无关。在 Newton 力学中，这一点就转化为 WEP，即

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.3}\text{)}& m_i=m_g\end{array}$$

对任意物体都成立。直接推论是，自由下落的测试粒子具有普适的运动行为，与其质量（或它可能具有的任何其他性质）无关；事实上，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.4}\text{)}& \mathbf{a}=-\mathbf{\nabla }\mathrm{\Phi }.\end{array}$$

实验上，重力加速度不依赖于下落物体组成这一点，已经由 Eötvös 实验及其现代后继实验以极高精度验证。

这提示了 WEP 的一种等价表述：时空中存在一类优先选出的轨迹，称为惯性轨迹（或“自由下落”轨迹），不受加速的粒子沿这些轨迹运动——这里的“不受加速”是指“只受引力作用”。对于电磁力等其他作用，这显然不成立。在电场中，带相反电荷的粒子会沿截然不同的轨迹运动；另一方面，每个粒子都具有相同的引力荷。

WEP 所蕴含的引力普适性还可以换一种更常见的方式来表述。设想一位物理学家待在密闭箱中，无法观察外部世界，并正在进行涉及测试粒子运动的实验，例如测量局域引力场。当然，如果箱子放在月球或 Jupiter 上，她得到的答案会与在地球上不同。然而，如果箱子以恒定速率加速，答案也会不同，因为这会改变自由下落粒子相对于箱子的加速度。WEP 意味着，只观察自由下落粒子的行为，无法把引力场的效应与处于均匀加速参考系中的效应区分开来。原因正是引力的普适性。相较之下，在电动力学中，通过观察带不同电荷粒子的行为，就能够分辨均匀加速和电磁场。对于引力，这种分辨不可能实现，因为“荷”必然与（惯性）质量成正比。

作者勘误

原版此处写作“以恒定速度加速”（accelerating at a constant velocity）；作者勘误将其改为“以恒定速率加速”（accelerating at a constant rate）。译文已采用改正后的表述。

严谨地说，我们关于“无法区分引力与均匀加速”的主张，应当限制在“足够小的时空区域”内。如果密闭箱足够大，引力场会随位置发生可观测的变化，而加速的效应始终指向同一方向。在火箭或电梯中，粒子总会竖直向下落；可是在引力场中的一个很大箱子里，粒子会朝地心运动，彼此相距很远的实验位置所对应的方向并不相同。因此，WEP 可以表述为：在足够小的时空区域内，自由下落粒子在引力场中的运动与它们在均匀加速参考系中的运动相同。 在更大的时空区域内，引力场会出现不均匀性，从而产生能够探测到的潮汐力。

狭义相对论问世之后，质量这一概念失去了一部分独特性，因为人们认识到质量只是能量

和动量的一种表现形式（如第 1 章所述）。因此，Einstein 很自然地想到，应把 WEP 推广为更具包容性的原则。他的想法很直接：不论箱中的物理学家做什么实验（而不只限于让测试粒子下落），她都不应有任何办法区分均匀加速与外部引力场。这个合理的外推形成了今天所说的Einstein 等效原理（Einstein Equivalence Principle，EEP）：在足够小的时空区域内，物理定律约化为狭义相对论的定律；通过局域实验不可能探测到引力场的存在。

事实上，很难想象一种遵守 WEP 却违背 EEP 的理论。考虑氢原子，即质子与电子的束缚态。它的质量实际上小于分别考虑的质子质量与电子质量之和，因为存在负的束缚能——要把质子和电子拆开，必须向原子输入能量。根据 WEP，氢原子的引力质量也小于其组成部分的质量之和：引力场必须以恰当的方式耦合到把原子束缚在一起的电磁相互作用，才能使引力质量得到正确结果。这意味着，引力不仅必须普适地耦合到静质量，还必须耦合到所有形式的能量和动量——这实际上就是 EEP 的主张。不过，我们仍可以构造反例。比如，设想一种引力理论，其中自由下落粒子穿过引力场时会开始旋转。它们仍可以沿与加速参考系中相同的路径下落（从而满足 WEP），但我们仍可探测到引力场的存在（从而违背 EEP）。这类理论看起来很刻意，却没有自然定律明令禁止它们。

有时人们会区分“有引力的物理定律”和“无引力的物理定律”，并把 EEP 定义为只适用于后者。随后，再定义强等效原理（Strong Equivalence Principle，SEP），使它涵盖所有物理定律，无论是否涉及引力。一种违背 SEP、但不违背 EEP 的理论，会让引力束缚能对物体惯性质量和引力质量的贡献不相同；例如，具有显著自引力的测试粒子（如果这种概念有意义）就可能沿着与较轻粒子不同的轨迹下落。

正是 EEP 蕴含了——或至少提示了——我们应当把引力的作用归因于时空的曲率。回想狭义相对论中，惯性参考系扮演着突出的角色：虽然无法把某一个参考系唯一挑选为“静止”系，却能挑出一族“不加速”的惯性系。因此，电磁场中带电粒子的加速度可相对于这些参考系唯一地定义。另一方面，EEP 意味着引力无处可逃——不存在可充当参照、用来测量重力加速度的“引力中性物体”。于是，重力加速度本身无法可靠定义，也就没有多少用处。

更合理的做法，是把“不加速”定义为“自由下落”；这正是我们将采用的定义。由此我们被引向一个观念：引力不再是一种“力”——力会导致加速，而我们对零加速度的定义是“在周围恰好存在的引力场中自由运动”。

这个看似无伤大雅的步骤，对时空的性质有深远影响。在狭义相对论中，我们有一套办法：从某一点出发，把刚性杆连接起来并在其上安装时钟，从而构造一个延伸到整个时空的惯性参考系。然而，由于引力场存在不均匀性，这件事已无法实现。如果我们从某个自由下落状态出发，用刚性杆搭建一座大型结构，那么在足够远处，自由下落物体相对于这个参考系就会显得正在加速，如图 2.1 所示。解决办法是保留惯性参考系的概念，同时放弃它们能够唯一延拓到全部空间和时间的愿望。我们可以定义局域惯性参考系：它们在足够小的时空区域内跟随单个自由下落粒子的运动。（每次说到“足够小的区域”时，追求严谨的读者都应当想象一个极限过程，把相应的时空体积趋于零。）这是我们能做到的最好结果，却迫使我们放弃不少东西。例如，我们无法再有把握地谈论遥远物体的相对速度，因为适合那些物体的惯性参考系与适合我们的惯性参考系完全不同。

物理学家的工作是建立世界的数学模型，然后把模型的预言同观测和实验比较。沿着引力普适性的推论走下去，我们已经放弃了把引力表达为一种在空间中传播的力的想法，

图 2.1　整体参考系的失效。 每个粒子都会感受到引力，因此我们把“不加速”定义为“自由下落”。结果，无法再用第 1 章所述的方法定义整体惯性坐标系，因为初始静止的粒子会开始相对于这种参考系运动。

并且也放弃了把整体参考系延伸到整个时空的想法。因此，我们需要一种能使物理理论与这些结论相容的数学框架。解决方案是设想时空具有弯曲几何，而引力就是这种曲率的表现。描述曲率的合适数学结构是可微流形：它本质上是一类局域看起来像平直空间、整体几何却可能非常不同的集合。（EEP 可以表述为“在小的时空区域内，物理定律约化为狭义相对论的定律”，这与“一个集合局域上类似平直空间”的数学概念十分吻合。）

我们无法证明引力必然应被看作时空的曲率；我们可以提出这一想法、推导其后果，再看结果能否合理地符合我们对世界的经验。下面就开始这样做。

考虑 EEP 的一个著名预言：引力红移。设想两枚相距 $z$ 的火箭，它们都在远离任何引力场的区域中以恒定加速度 $a$ 运动，如图 2.2。时刻 $t_0$，后面的火箭发射一个波长为 ${\lambda }_0$ 的光子。两枚火箭始终相距固定距离，所以在我们的背景参考系中，光子经过 $\mathrm{\Delta }t=z/c$ 后到达前面的火箭。（假设 $\mathrm{\Delta }v/c$ 很小，所以只保留一阶项。）在此期间，两枚火箭都获得额外速度 $\mathrm{\Delta }v=a\mathrm{\Delta }t=az/c$。因此，到达前方火箭的光子会因通常的 Doppler 效应而红移，红移量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.5}\text{)}& \frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{{\lambda }_0}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{c}=\frac{az}{c^2}.\end{array}$$

作者勘误

本页正文原版把图 2.2 中的两枚“火箭”数次误写为“箱子”。译文已统一采用作者勘误中的“火箭”。

图 2.2　Doppler 红移。 两枚相距 $z$、各自感受到加速度 $a$ 的火箭所测得的 Doppler 频移。

根据 EEP，同样的事情应当发生在均匀引力场中。因此，设想一座高度为 $z$、矗立在某颗行星表面的塔，$a_g$ 表示引力场强度（Newton 所说的“重力加速度”），如图 2.3。设想塔顶箱内的观察者能够探测从地面发出的光子，却无法向外看见自己正位于高塔上。

图 2.3　地球表面的引力红移。 位于不同高度的观察者测量从地面发出的光时，得到的引力红移。

换言之，他们无法把这一情形同正在加速的火箭区分开来。因此，EEP 使我们立即得出结论：从地面发出的、初始波长为 ${\lambda }_0$ 的光子会发生红移，红移量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.6}\text{)}& \frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{{\lambda }_0}=\frac{a_{g}z}{c^2}.\end{array}$$

这就是著名的引力红移。请注意，它是 EEP 的直接推论；这里并不需要广义相对论的具体细节。

红移公式更常用 Newton 势 $\mathrm{\Phi }$ 来表述，其中 ${\mathbf{a}}_g=\mathbf{\nabla }\mathrm{\Phi }$。（这里的符号与通常约定相反，因为我们把 ${\mathbf{a}}_g$ 看作参考系的加速度，而非粒子相对于该参考系的加速度。）$\mathrm{\Phi }$ 的非恒定梯度就像随时间变化的加速度，等效的净速度可以通过对光子从发射到吸收之间的时间积分得到。于是

其中 $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$ 是引力势的总变化，而我们再次令 $c=1$。这个简单的引力红移公式在更一般的情形下仍然成立。当然，只要使用 Newton 势，我们就已把适用范围限制在弱引力场。

我们已经由 EEP 论证了引力红移。现在还可以利用这一现象进一步支持把时空视为弯曲的想法。考虑与刚才相同的实验装置，现在把它画成图 2.4 中的时空图。地面上的物理学家从高度 $z_0$ 发出波长为 ${\lambda }_0$ 的光束，光束传播到塔顶高度 $z_1$。单个波长的前沿开始发射到同一波长的后沿发射完毕之间，时间为 $\mathrm{\Delta }{t}_0={\lambda }_0/c$；吸收时对应的时间间隔为 $\mathrm{\Delta }{t}_1={\lambda }_1/c$。这里的时间分别由放置在两个高度的时钟测量。因为我们设想引力场是静态的，所以同一列波的前沿和后沿在时空中走过的路径必定完全全等。（图中只画成一般的弯曲路径，因为我们没有假装知道它们的具体形状。）简单几何似乎意味着 $\mathrm{\Delta }{t}_0$ 与 $\mathrm{\Delta }{t}_1$ 必须相等，但它们当然并不相等：引力红移意味着高处的实验者每秒观测到的波长数更少，所以 。粗略地说，这可以解释为“塔顶的钟显得走得更快”。哪里出了问题？出问题的是简单几何——光子穿过的时空是弯曲的。

图 2.4　引力红移实验的时空图。 这是图 2.3 所示实验的时空表示。在不同时刻出发的时空路径彼此全等，但地面和塔顶测得的时间间隔不同，表明 Euclid 几何失效。

因此，我们希望把时空描述为一种数学结构：局域上像 Minkowski 空间，在较大区域内却可能具有非平凡曲率。涵盖这一观念的对象就是流形。本章将专注于理解流形概念以及可以定义在流形上的各种结构；曲率的精确定义留到下一章。

2.2 什么是流形？

流形（或可微流形）是数学和物理中最基本的概念之一。我们都熟悉 $n$ 维 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的性质；它是 $n$ 元组 $(x^1,\dots ,x^n)$ 的集合，通常配有分量为 ${\delta }_{ij}$ 的平直正定度规。数学家多年来建立了 ${\mathbb{R}}^n$ 上的分析理论——微分、积分、函数性质等等。但显然还有其他空间，例如球面，我们直觉上把它们看作“弯曲”或拓扑结构复杂的空间，也希望在其上进行类似的运算。

为了解决这个问题，我们引入流形概念。流形对应于一种可能弯曲、拓扑可能复杂，却在局域区域内与 ${\mathbb{R}}^n$ 一模一样的空间。这里的“像”并非指度规相同，只表示函数、坐标等更原始的概念以类似方式工作。整个流形由这些局域区域平滑地缝合而成。一个关键点是：所使用的 Euclid 空间的维数 $n$ 在流形的每个坐标片中都必须相同；于是我们说

该流形的维数是 $n$。采用这种方法，我们可以把流形上的函数（局域地）转换为 Euclid 空间中的函数，从而进行分析。流形的例子包括：

• ${\mathbb{R}}^n$ 本身，包括直线 $\mathbb{R}$、平面 ${\mathbb{R}}^2$，等等。这显然成立，因为 ${\mathbb{R}}^n$ 不仅局域上、而且整体上都像 ${\mathbb{R}}^n$。

• $n$ 维球面 $S^n$。它可以定义为 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中所有与原点保持某个固定距离的点的轨迹。圆当然是 $S^1$，二维球面 $S^2$ 则是最有用的流形例子之一。细想可知，零维球面 $S^0$ 由两个点组成；我们说 $S^0$ 是一个不连通的零维流形。需要强调的是，通过嵌入 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 来定义 $S^n$ 只是一种方便的捷径；我们要讨论的所有流形都可以独立定义，无需求助于更高维平直空间。

• $n$ 维环面 $T^n$：取一个 $n$ 维立方体，把相对的面等同起来即可得到。二维环面 $T^2$ 是把正方形的相对边等同起来，如图 2.5；甜甜圈的表面是一个熟悉的例子。

• 亏格为 $g$ 的 Riemann 曲面，本质上就是具有 $g$ 个孔、而非只有一个孔的二维环面，如图 2.6。$S^2$ 可以看作亏格为零的 Riemann 曲面。用技术术语说（与我们眼下的讨论并无太大关系），

图 2.5　环面 $T^2$。 把一个正方形的相对边等同起来，便构造出环面。

图 2.6　不同亏格的 Riemann 曲面。 图中依次展示亏格 0、1、2；“genera”是“genus”的复数形式。

每个“紧致、可定向且无边界”的二维流形，都是某个亏格的 Riemann 曲面。

• 更抽象地说，${\mathbb{R}}^n$ 中的一组连续变换（例如旋转）会形成一个流形。Lie 群就是同时带有群结构的流形。例如，$\mathrm{SO}(2)$，即二维旋转的集合，与 $S^1$ 是同一个流形（一般的群流形当然可能比球面复杂得多）。

• 两个流形的直积仍是流形。具体地，给定维数分别为 $n$ 和 $n^{\prime }$ 的流形 $M$ 与 $M^{\prime }$，可以构造维数为 $n+n^{\prime }$ 的流形 $M\times M^{\prime }$，它由有序对 $(p,p^{\prime })$ 组成，其中 $p\in M$、$p^{\prime }\in M^{\prime }$。

看过这么多例子以后，流形概念可能显得空泛：究竟什么不是流形？很多东西都不是，因为它们在某处局域上不像 ${\mathbb{R}}^n$。例子包括一条一维直线终止于一个二维平面，以及两个圆锥在顶点处粘在一起，如图 2.7。图 2.8 展示了更微妙的例子。考虑一个单独的二维圆锥。圆锥显然在某种意义上局域地像 ${\mathbb{R}}^2$；同时，圆锥顶点也显然具有奇异之处。这里需要谨慎区分流形的光滑结构与其嵌入所诱导的度规：圆锥本身可以赋予光滑图册，但从 Euclid 空间嵌入继承来的度规在顶点处不光滑。更严重的奇异性则会使某些空间完全无法视为流形，无论光滑与否。另一个例子是包含端点的线段。由于端点的存在，它不符合我们即将给出的无边界流形定义；不过，可以把定义推广为“带边界流形”，线段正是其中的典型例子。附录 D 简要讨论带边界流形。

作者勘误

原书误称单圆锥“是流形但不光滑”。作者后来说明：圆锥可以通过投影到平面而获得光滑图册；真正不光滑的是从 Euclid 空间嵌入继承到顶点的度规。译文已按勘误重写相关论述。图 2.8 的原题也包含这一旧说，所以下方图题同时给出修正。

图 2.7　并非流形的空间。 左图是一条直线终止于一个平面；右图是两个圆锥在各自顶点处相交。两种情形都存在某一点，其局域邻域不像任何固定维数的 Euclid 空间。

图 2.8　两个微妙例子（按作者勘误修正）。 单圆锥本身可以赋予光滑流形结构，但由图示嵌入继承的度规在顶点处不光滑。线段不属于这里定义的无边界流形，却可由更一般的“带边界流形”概念描述。

这些微妙情形应当使你相信严谨定义的必要性。下面开始构造这个定义；我们的讨论沿用 Wald（1984）的处理。非正式地说，流形是由局域看起来像 ${\mathbb{R}}^n$、并且平滑缝合在一起的坐标片组成的空间。因此需要把“局域看起来像 ${\mathbb{R}}^n$”和“平滑缝合”形式化。为求完整，我们先给出若干预备定义，其中大部分相当直观。最基本的概念是两个集合之间的映射。（假定你知道集合是什么，或至少自以为知道；这里不必过分精确。）给定两个集合 $M$ 与 $N$，映射 $\varphi :M\to N$ 是一种关系，它把 $M$ 的每个元素恰好对应到 $N$ 的一个元素。因此，映射只是函数概念的简单推广。给定两个映射 $\varphi :A\to B$ 与 $\psi :B\to C$，定义复合映射 $\psi \circ \varphi :A\to C$ 为 $(\psi \circ \varphi )(a)=\psi (\varphi (a))$，如图 2.9。因此，$a\in A$、$\varphi (a)\in B$，进而 $(\psi \circ \varphi )(a)\in C$。映射的书写顺序是合理的，因为右边的映射先作用。

如果 $N$ 的每个元素至多有一个 $M$ 中的元素映射到它，映射 $\varphi$ 就称为一一映射（one-to-one，或单射）；如果 $N$ 的每个元素至少有一个 $M$ 中的元素映射到它，就称为到上映射（onto，或满射）。（细想之下，“一一”更贴切的名字也许是“一自一”，甚至“二自二”。）考虑函数 $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$：$\varphi (x)=e^x$ 是单射但不是满射；$\varphi (x)=x^3-x$ 是满射但不是单射；$\varphi (x)=x^3$ 两者都是；$\varphi (x)=x^2$ 两者都不是，如图 2.10。

图 2.9　映射的复合。 将 $\varphi :A\to B$ 与 $\psi :B\to C$ 复合，得到 $\psi \circ \varphi :A\to C$。

图 2.10　映射的类型。 从左到右分别是：单射而非满射、满射而非单射、既单射又满射、两者都不是。

集合 $M$ 称为映射 $\varphi$ 的定义域，而 $N$ 中由 $M$ 映入的点集称为 $\varphi$ 的像。对于任意子集 $U\subset N$，$M$ 中被映到 $U$ 的元素集合称为 $U$ 在 $\varphi$ 下的原像，记作 ${\varphi }^{-1}(U)$。既单射又满射的映射称为可逆映射（或双射）。这时可以定义逆映射 ${\varphi }^{-1}:N\to M$，使得 $({\varphi }^{-1}\circ \varphi )(a)=a$，如图 2.11。注意，原像与逆映射都使用同一符号 ${\varphi }^{-1}$，但前者总有定义，后者只在某些特殊情形下才有定义。

图 2.11　一个映射及其逆映射。 $\varphi$ 把 $M$ 映到 $N$，${\varphi }^{-1}$ 把 $N$ 映回 $M$。

映射的连续性实际上是一个很微妙的概念，其精确表述我们并不需要。这里假定你理解普通函数，也就是映射 $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的连续性和可微性。接下来把这些概念推广到更一般的 Euclid 空间之间的映射 $\varphi :{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$。从 ${\mathbb{R}}^m$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的映射把一个 $m$ 元组 $(x^1,x^2,\dots ,x^m)$ 送到一个 $n$ 元组 $(y^1,y^2,\dots ,y^n)$，因此可以把它看作 $n$ 个、各自含 $m$ 个变量的函数 ${\varphi }^i$ 的集合：

若其中任一函数的 $p$ 阶导数存在且连续，我们便称它为 $C^p$；若映射 $\varphi :{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 的每个分量函数至少都是 $C^p$，就称整个映射为 $C^p$。因此，$C^0$ 映射连续但未必可微，而 $C^{\mathrm{\infty }}$ 映射连续且可以任意多次微分。例如考虑单变量函数 $\varphi (x)=|x^3|$。它除 $x=0$ 外处处无限可微；在 $x=0$ 处可微两次，却不能微分三次，因此我们说它是 $C^2$。$C^{\mathrm{\infty }}$ 映射有时也称为光滑映射。

若存在一个 $C^{\mathrm{\infty }}$ 映射 $\varphi :M\to N$，其逆映射 ${\varphi }^{-1}:N\to M$ 也是 $C^{\mathrm{\infty }}$，我们就称两个集合 $M$ 与 $N$ 微分同胚；此时 $\varphi$ 称为一个微分同胚。这是把两个空间视为“同一个”流形时最合适的概念。例如，前面说 $\mathrm{SO}(2)$ 与 $S^1$ 是同一个流形，意思正是它们微分同胚。更多讨论见附录 B。

这些基本定义你或许已经熟悉，即使记忆有些模糊。现在要把它们用于流形的严格定义。不幸的是，要形式化这个相当直观的概念，需要一道略显繁复的程序。我们必须先定义可放置坐标系的开集，再以合适方式把开集缝合起来。

先从开球开始。开球是 ${\mathbb{R}}^n$ 中满足 的所有点 $x$ 的集合，其中固定 $y\in {\mathbb{R}}^n$、$r\in \mathbb{R}$，并且

$$|x-y|={[\sum _i(x^i-y^i{)}^2]}^{1/2}.$$

注意这里是不等号严格成立；开球就是以 $y$ 为中心、半径为 $r$ 的 $n$ 维球内部，如图 2.12。${\mathbb{R}}^n$ 中的开集是任意个（可能无限多个）开球的并。换言之，$V\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集，当且仅当对每个 $y\in V$，都存在一个以 $y$ 为中心且完全落在 $V$ 内的开球。粗略地说，开集是某个 $(n-1)$ 维闭曲面围成的内部（或若干这种内部的并）。

图 2.12　${\mathbb{R}}^n$ 中定义的开球。 图中以 $y$ 为中心、半径为 $r$ 的虚线圆内区域即为开球。

一个坐标图由集合 $M$ 的子集 $U$ 和一一映射 $\varphi :U\to {\mathbb{R}}^n$ 构成，并要求像 $\varphi (U)$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中是开集，如图 2.13。（任何映射对于自身的像都是满射，因此只要 $\varphi :U\to \varphi (U)$ 是单射，它就是可逆的。）于是我们可以称 $U$ 是 $M$ 中的开集。一个 $C^{\mathrm{\infty }}$ 图册是一族带指标的坐标图 $\{(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })\}$，满足两个条件：

1. 所有 $U_{\alpha }$ 的并等于 $M$；也就是说，$U_{\alpha }$ 覆盖 $M$。
2. 各坐标图平滑地缝合在一起。更精确地，如果两个坐标图有重叠，$U_{\alpha }\cap U_{\beta }\ne \varnothing$，那么映射 ${\varphi }_{\alpha }\circ {\varphi }_{\beta }^{-1}$ 把 ${\varphi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\subset {\mathbb{R}}^n$ 映满开集 ${\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\subset {\mathbb{R}}^n$，并且所有这些映射在其定义域内都必须是 $C^{\mathrm{\infty }}$。图 2.14（改编自 Wald，1984）会让这一点更清楚。

因此，坐标图就是我们通常所说的某个开集上的坐标系，而图册则是一套在重叠部分彼此平滑相关的坐标图。

终于可以给出定义：一个 $C^{\mathrm{\infty }}$ 的 $n$ 维流形（简称 $n$-流形），就是集合 $M$ 连同一个极大图册；极大图册包含每一个可能的

图 2.13　覆盖 $M$ 的开子集 $U$ 的坐标图。 映射 $\varphi$ 把 $U$ 映到 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集 $\varphi (U)$。

图 2.14　相互重叠的坐标图。 $U_{\alpha }$ 与 $U_{\beta }$ 的重叠区分别经 ${\varphi }_{\alpha }$、${\varphi }_{\beta }$ 映入两个 ${\mathbb{R}}^n$；过渡映射 ${\varphi }_{\alpha }\circ {\varphi }_{\beta }^{-1}$ 与 ${\varphi }_{\beta }\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}$ 只在阴影区域有定义，并须在此处光滑。

相容坐标图。上述所有定义也可以把 $C^{\mathrm{\infty }}$ 换成 $C^p$。对我们的目的而言，流形究竟可微到什么程度并不关键；我们总是假定任何流形都具有当前应用所需的可微性。要求图册极大的原因，是避免把配有不同图册的两个等价空间算成不同流形。这个定义以形式化语言精确表达了“一个集合局域上像 ${\mathbb{R}}^n$”的观念。当然，我们很少需要动用该定义的全部威力，但精确性本身自有价值。

这个定义的一个优点，是它不依赖把流形嵌入某个更高维 Euclid 空间。事实上，任何 $n$ 维流形都能嵌入 ${\mathbb{R}}^{2n}$（Whitney 嵌入定理）；有时我们会利用这一事实，例如前面对球面的定义。（Klein 瓶是一个无法嵌入 ${\mathbb{R}}^3$ 的二维流形，不过可以嵌入 ${\mathbb{R}}^4$。）但重要的是要认识到，流形独立于任何嵌入而存在。例如，没有必要相信四维时空被塞进某个更大的空间。另一方面，它也可能确实如此；我们并不知道。弦理论的近期进展曾提示，可见宇宙实际上可能是高维空间中的一张“膜”（brane，是 membrane 的推广）。不过，对经典广义相对论而言，四维视角完全够用。

为什么要如此仔细地处理坐标图及其重叠，而不直接用单个坐标图覆盖每个流形？因为大多数流形无法由一张图覆盖。考虑最简单的例子 $S^1$。有一个常规坐标系 $\theta :S^1\to \mathbb{R}$，令圆顶端为 $\theta =0$，绕一圈到 $2\pi$。然而，我们要求坐标图的像 $\theta (S^1)$ 在 $\mathbb{R}$ 中是开集。若包含 $\theta =0$ 或 $\theta =2\pi$ 中任一点，得到的是闭区间而非开区间；若两点都排除，

就无法覆盖整个圆。因此至少需要两张坐标图，如图 2.15。

图 2.15　共同覆盖 $S^1$ 的两张坐标图。 两个开集 $U_1$ 与 $U_2$ 各自略去圆上的不同点，合起来覆盖整个圆。

$S^2$ 提供了一个略微复杂的例子：同样没有单张坐标图能覆盖整个流形。传统世界地图采用的 Mercator 投影会漏掉南北两极（还会遇到国际日期变更线；这与我们在 $S^1$ 上看到的 $\theta$ 问题相同）。令 $S^2$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中满足 $(x^1{)}^2+(x^2{)}^2+(x^3{)}^2=1$ 的点集。可以从开集 $U_1$（球面去掉北极）通过图 2.16 所示的球极投影构造坐标图：从北极向平面 $x^3=-1$ 画直线，把直线与 $S^2$ 相交的点，赋予它在平面上相应点的 Cartesian 坐标 $(y^1,y^2)$。明确写出，映射为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.9}\text{)}& {\varphi }_1(x^1,x^2,x^3)=(y^1,y^2)=(\frac{2x^1}{1-x^3},\frac{2x^2}{1-x^3}).\end{array}$$

你可以自行检验。另一张坐标图 $(U_2,{\varphi }_2)$ 从南极投影到平面 $x^3=+1$ 得到。所得坐标覆盖去掉南极后的球面，具体为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.10}\text{)}& {\varphi }_2(x^1,x^2,x^3)=(z^1,z^2)=(\frac{2x^1}{1+x^3},\frac{2x^2}{1+x^3}).\end{array}$$

两张坐标图合起来覆盖整个流形，并在区域 内重叠。你还可以检验，复合映射 ${\varphi }_2\circ {\varphi }_1^{-1}$ 为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.11}\text{)}& z^i=\frac{4y^i}{(y^1{)}^2+(y^2{)}^2},\end{array}$$

图 2.16　在 $S^2$ 上定义球极坐标图。 从北极向下投影到与南极相切的平面；这张坐标图覆盖球面上除北极自身以外的全部点。

它在重叠区域中是 $C^{\mathrm{\infty }}$。只要把注意力限制在这个区域，式 (2.11) 就是通常意义上的坐标变换。

由此可以看到坐标图与图册的必要性：许多流形无法由单个坐标系覆盖。尽管如此，只使用一张坐标图、同时记住未被包含的点集，通常仍很方便。

稍后会用到的一项普通微积分知识是链式法则。设有映射 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 与 $g:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^l$，因而有复合映射 $(g\circ f):{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^l$，如图 2.17。可以用分量标记每个空间中的点：${\mathbb{R}}^m$ 上用 $x^a$，${\mathbb{R}}^n$ 上用 $y^b$，${\mathbb{R}}^l$ 上用 $z^c$，各指标取相应范围。链式法则把复合映射的偏导数同单个映射的偏导数联系起来：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.12}\text{)}& \frac{\partial }{\partial x^a}(g\circ f{)}^c=\sum _b\frac{\partial f^b}{\partial x^a}\frac{\partial g^c}{\partial y^b}.\end{array}$$

它通常缩写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.13}\text{)}& \frac{\partial }{\partial x^a}=\sum _b\frac{\partial y^b}{\partial x^a}\frac{\partial }{\partial y^b}.\end{array}$$

使用这种链式法则的简写形式既不违法，也无关道德；但你应当能够想象支撑这一构造的各个映射。回想当 $m=n$ 时，矩阵 $\partial y^b/\partial x^a$ 的行列式称为该映射的 Jacobian；只要 Jacobian 非零，映射就是可逆的。

图 2.17　链式法则。 它把复合映射 $g\circ f$ 的偏导数同 $g$ 和 $f$ 各自的偏导数联系起来。

2.3 再论向量

打好这些基础后，我们可以开始在流形上引入各种结构。先从向量与切空间开始。在狭义相对论的讨论中，我们有意把向量的定义以及向量与时空的关系说得有些含糊。我们强调过切空间的概念——某一个时空点处全部向量的集合。这样做是为了让你摆脱“向量从流形上的一个点延伸到另一个点”的想法；向量只是与单个点关联的对象。暂时丢失的是对“向量指向 $x$ 方向”之类说法的理解：如果切空间只是与每个点关联的抽象向量空间，就很难知道这句话是什么意思。现在该来修补这个问题了。

设想只利用 $M$ 的内禀对象（不借助任何更高维空间中的嵌入），在流形 $M$ 的一点 $p$ 处构造切空间。第一个猜想也许是利用我们的直观认识：存在“曲线的切向量”这种对象，并且它们属于切空间。因此可以考虑所有经过 $p$ 的参数化曲线的集合——也就是所有非退化映射 $\gamma :\mathbb{R}\to M$ 的空间，并要求 $p$ 位于 $\gamma$ 的像中。于是很容易想把切空间定义为所有这些曲线在 $p$ 处切向量的空间。但这显然是在作弊：切空间 $T_p$ 应当是 $p$ 点处向量的空间，在它定义以前，我们并没有独立的概念来说明“曲线的切向量”是什么。在某个坐标系 $x^{\mu }$ 中，任意经过 $p$ 的曲线都会定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中一个元素，由 $n$ 个实数 $\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}\lambda$ 指定（$\lambda$ 是沿曲线的参数）；然而，这一映射明显依赖坐标，并非我们想要的对象。

尽管如此，方向是对的，只需让构造独立于坐标。为此，定义 $\mathcal{F}$ 为 $M$ 上全部光滑函数的空间，即所有 $C^{\mathrm{\infty }}$ 映射 $f:M\to \mathbb{R}$。随后注意到，每条经过 $p$ 的曲线都会在这个空间上定义一个算符——方向导数，它把 $f$ 映到 $p$ 处的 $\mathrm{d}f/\mathrm{d}\lambda$。我们提出如下主张：切空间 $T_p$ 可以与沿经过 $p$ 的曲线取方向导数的算符空间等同。 为确立这一点，需要证明两件事：第一，方向导数的空间是一个向量空间；第二，它正是我们所需的向量空间——与 $M$ 具有相同维数，并自然体现“沿某个方向指向”的向量概念，等等。

第一个主张，即方向导数构成向量空间，看起来相当直接。设两个算符 $\mathrm{d}/\mathrm{d}\lambda$ 与 $\mathrm{d}/\mathrm{d}\eta$，分别代表沿两条经过 $p$ 的曲线 $x^{\mu }(\lambda )$ 与 $x^{\mu }(\eta )$ 的导数。把它们相加并用实数缩放没有问题，可以得到新算符 $a(\mathrm{d}/\mathrm{d}\lambda )+b(\mathrm{d}/\mathrm{d}\eta )$。然而，这个空间是否闭合并非立刻显然；换句话说，所得算符本身是否仍是导数算符？一个合格的导数算符应当对函数线性作用，并对函数乘积遵守通常的 Leibniz（乘积）法则。新算符显然线性，因此只需

检验它遵守 Leibniz 法则。计算得

正如所希望的，乘积法则成立，所以方向导数的集合确实是一个向量空间。

它是否就是我们想与切空间等同的向量空间？最容易令人信服的办法是为它找出一组基。再次考虑坐标为 $x^{\mu }$ 的坐标图。$p$ 点处有一组显然的 $n$ 个方向导数，即 $p$ 处的偏导数 ${\partial }_{\mu }$，如图 2.18。注意，这实际上就是相对于 $x^{\mu }$ 的偏导数定义：沿一条由所有 $\nu \ne \mu$ 的 $x^{\nu }$ 保持常数而定义、并以 $x^{\mu }$ 自身参数化的曲线取方向导数。我们现在主张，$p$ 处的偏导算符集合 $\{{\partial }_{\mu }\}$ 构成切空间 $T_p$ 的一组基。（直接推论是 $T_p$ 为 $n$ 维，因为基向量的数目就是 $n$。）为证明这一点，需要说明任何方向导数都能分解为若干实数乘以偏导数的和。这将给出熟悉的切向量分量表达式，不过从这套“大机器”出发把它推导出来仍很有益。考虑 $n$ 维流形 $M$、坐标图 $\varphi :M\to {\mathbb{R}}^n$、曲线 $\gamma :\mathbb{R}\to M$ 与函数 $f:M\to \mathbb{R}$。由此得到图 2.19 所示的一团映射。若 $\lambda$ 是沿 $\gamma$ 的参数，我们希望把向量／算符 $\mathrm{d}/\mathrm{d}\lambda$ 用偏导数 ${\partial }_{\mu }$ 表示。利用链式法则 (2.12)，有

图 2.18　偏导数与方向导数。 偏导数定义沿保持所有其他坐标不变的曲线所取的方向导数。

第一行只是把左侧的非正式表达式改写为函数 $(f\circ \gamma ):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的真正导数。第二行来自逆映射 ${\varphi }^{-1}$ 的定义以及复合运算的结合律。第三行是形式化的链式法则 (2.12)，最后一行则回到最初的非正式记号。由于函数 $f$ 是任意的，所以

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.16}\text{)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }{\partial }_{\mu }.\end{array}$$

因此，$\{{\partial }_{\mu }\}$ 确实是方向导数向量空间的一组良好基，我们可以放心地把这个空间与切空间等同。

当然，$\mathrm{d}/\mathrm{d}\lambda$ 所代表的向量我们早已认识：它就是参数为 $\lambda$ 的曲线的切向量。因此，式 (2.16) 可看作式 (1.38) 的重新表述；在那里，我们曾断言切向量的分量就是 $\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}\lambda$。唯一差别是现在工作在任意流形上，并且已明确指定基向量为 ${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$。

这组特殊的基（${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$）称为 $T_p$ 的坐标基；它把“让基向量沿坐标轴指向”这一观念形式化。考虑切向量时，没有理由把自己局限于坐标基。例如，坐标基向量通常既未归一化为单位长度，也不彼此正交，这一点很快就会看到。

图 2.19　曲线切向量的分解。 把曲线 $\gamma :\mathbb{R}\to M$ 的切向量按 $M$ 上坐标的偏导数分解；图中同时显示 $\gamma$、$f$、$\varphi$、${\varphi }^{-1}$ 及其复合映射。

这类情况无法靠定义消除：在弯曲流形上，只要某点附近曲率不为零，坐标基就不可能在该点的整个邻域内始终正交归一。当然，可以定义非坐标的正交归一基，例如给出它们在坐标基中的分量；这种技巧有时很有用。然而，坐标基简单而自然，本书几乎将始终使用坐标基。正交归一基见附录 J。（在三维 Euclid 空间的向量分析中，通常选择正交归一基而非坐标基；因此，把广义相对论教材中的公式应用于平直空间的非 Cartesian 坐标时必须小心。）

我们对向量采用这种较抽象视角的一个优点，是坐标变换下的变换律立刻可得。由于基向量为 ${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$，新坐标系 $x^{{\mu }^{\prime }}$ 中的基向量由链式法则 (2.13) 给出：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.17}\text{)}& {\partial }_{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial }_{\mu }.\end{array}$$

向量分量的变换律可以用平直空间中相同的技巧得到：要求向量 $V=V^{\mu }{\partial }_{\mu }$ 在换基后保持不变。于是

而矩阵 $\partial x^{{\mu }^{\prime }}/\partial x^{\mu }$ 是矩阵 $\partial x^{\mu }/\partial x^{{\mu }^{\prime }}$ 的逆，所以

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.19}\text{)}& V^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}{V}^{\mu }.\end{array}$$

基向量通常不显式写出，因此变换分量的规则 (2.19) 就是我们所说的“向量变换律”。它与狭义相对论中 Lorentz 变换下的向量分量变换 $V^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\mu }{V}^{\mu }$ 相容，因为 Lorentz 变换是坐标变换的一种特殊情形，满足 $x^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\mu }{x}^{\mu }$。不过，式 (2.19) 要一般得多：它涵盖任意坐标变换以及由此诱导的任意换基，而不只限于线性变换。

一如往常，我们试图强调一个稍微微妙的本体论区别：原则上，换坐标时张量分量不必变化；分量是在切空间换基时变化，而我们选择用坐标来定义基。因此，坐标变换会诱导换基，如图 2.20。

由于一点处的向量可看作沿经过该点的路径取方向导数的算符，所以向量场显然定义了一个从光滑函数到整个流形上光滑函数的映射：在每一点取一个

导数。给定两个向量场 $X$ 与 $Y$，可以通过它们对函数 $f(x^{\mu })$ 的作用定义交换子 $[X,Y]$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.20}\text{)}& [X,Y](f)\equiv X(Y(f))-Y(X(f)).\end{array}$$

抽象观点的优点在这里很明显：这个算符显然与坐标无关。事实上，两个向量场的交换子本身仍是向量场。若 $f,g$ 是函数，$a,b$ 是实数，交换子是线性的：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.21}\text{)}& [X,Y](af+bg)=a[X,Y](f)+b[X,Y](g),\end{array}$$

并且遵守 Leibniz 法则：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.22}\text{)}& [X,Y](fg)=f[X,Y](g)+g[X,Y](f).\end{array}$$

两条性质都很容易验证，是值得完成的练习。另一个同样有趣的练习，是推导向量场 $[X,Y{]}^{\mu }$ 的显式分量表达式；结果为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.23}\text{)}& [X,Y{]}^{\mu }=X^{\lambda }{\partial }_{\lambda }{Y}^{\mu }-Y^{\lambda }{\partial }_{\lambda }{X}^{\mu }.\end{array}$$

按构造，这是一项定义良好的张量；但偏导数的出现应当让你略感不安，因为向量的偏导数并不是定义良好的张量（下一节会讨论）。又一个很有启发性的练习，是对式 (2.23) 显式执行坐标变换，验证所有可能的非张量项都相互抵消，结果确实按向量场变换。交换子是 Lie 导数的一种特殊情形，见附录 B；它有时也称为 Lie 括号。注意，因为偏导数彼此对易，由坐标函数的偏导数给出的向量场 $\{{\partial }_{\mu }\}$ 的交换子总是为零。

图 2.20　坐标变换诱导换基。 坐标从 $x^{\mu }$ 变为 $x^{{\mu }^{\prime }}$，切空间中的基也随之改变。

2.4 再论张量

探索过向量的世界以后，我们继续重走平直空间中的步骤，现在考虑对偶向量（一形式）。余切空间 $T_p^{\ast }$ 仍可看作所有线性映射 $\omega :T_p\to \mathbb{R}$ 的集合。一形式的典范例子是函数 $f$ 的梯度，记作 $\mathrm{d}f$，如式 (1.52)。它作用在向量 $\mathrm{d}/\mathrm{d}\lambda$ 上，恰好给出函数的方向导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.24}\text{)}& \mathrm{d}f\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }\right)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\lambda }.\end{array}$$

人们很容易问：“为什么不把函数 $f$ 本身看作一形式，把 $\mathrm{d}f/\mathrm{d}\lambda$ 看作它的作用？”关键在于，一形式与向量一样，只存在于它所定义的那一点，不依赖 $M$ 上其他点的信息。若知道某一点邻域内的函数，就能求导；只知道它在该点的值则不行。相较之下，梯度恰好编码了沿任意经过 $p$ 的曲线取方向导数所需的信息，因此能够履行对偶向量的角色。

你可能已经注意到，我们利用流形的内禀结构（沿曲线的方向导数）定义向量，又以对偶向量空间定义一形式。这或许会给人留下向量更加基本的印象；实际上，也完全可以先给出一形式的内禀定义，再把向量定义为其对偶空间。粗略地说，$p$ 点的一形式空间等价于所有在 $p$ 点为零、且具有相同二阶偏导数的函数所构成的空间。事实上，从这个角度出发甚至更为基本，因为可以为所有 $q$-形式（具有 $q$ 个下指标的完全反对称张量）给出内禀定义；我们将在第 2.9 节讨论它们，虽然不会深入这些内禀定义的细节。

正如沿坐标轴的偏导数为切空间提供自然基，坐标函数 $x^{\mu }$ 的梯度也为余切空间提供自然基。回想在平直空间中，我们通过要求 ${\hat{\theta }}^{(\mu )}({\hat{e}}_{(\nu )})={\delta }_{\nu }^{\mu }$ 构造 $T_p^{\ast }$ 的一组基。把同样的思想用于任意流形，式 (2.24) 给出

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.25}\text{)}& \mathrm{d}{x}^{\mu }({\partial }_{\nu })=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}={\delta }_{\nu }^{\mu }.\end{array}$$

因此，梯度集合 $\{\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$ 是一组合适的基一形式；任意一形式可展开为 $\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$。

基对偶向量和分量的变换性质按已经熟悉的程序得到。对于基一形式，有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.26}\text{)}& \mathrm{d}{x}^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}\mathrm{d}{x}^{\mu },\end{array}$$

而对于分量，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.27}\text{)}& {\omega }_{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\omega }_{\mu }.\end{array}$$

谈到一形式 $\omega$ 时，我们通常直接写它的分量 ${\omega }_{\mu }$。

与平直空间一样，一个 $(k,l)$ 张量是从 $k$ 个对偶向量与 $l$ 个向量的集合到 $\mathbb{R}$ 的多重线性映射。它在坐标基中的分量，可通过让张量作用在基一形式与基向量上得到：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.28}\text{)}& T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}=T(\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1},\dots ,\mathrm{d}{x}^{{\mu }_k},{\partial }_{{\nu }_1},\dots ,{\partial }_{{\nu }_l}).\end{array}$$

这等价于展开式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.29}\text{)}& T=T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}{\partial }_{{\mu }_1}\otimes \cdots \otimes {\partial }_{{\mu }_k}\otimes \mathrm{d}{x}^{{\nu }_1}\otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{x}^{{\nu }_l}.\end{array}$$

一般张量的变换律遵循同样模式：把平直空间中使用的 Lorentz 变换矩阵，替换成表示更一般坐标变换的矩阵：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.30}\text{)}& T^{{\mu }_1^{\prime }\cdots {\mu }_k^{\prime }}{}_{{\nu }_1^{\prime }\cdots {\nu }_l^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }_1^{\prime }}}{\partial x^{{\mu }_1}}\cdots \frac{\partial x^{{\mu }_k^{\prime }}}{\partial x^{{\mu }_k}}\frac{\partial x^{{\nu }_1}}{\partial x^{{\nu }_1^{\prime }}}\cdots \frac{\partial x^{{\nu }_l}}{\partial x^{{\nu }_l^{\prime }}}{T}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}.\end{array}$$

给定指标的位置后，这条张量变换律其实没有别的可能，因此很容易记忆。

不过，实际变换张量时，通常还有更简单的办法：认真使用基向量就是偏导数、基一形式就是梯度这一事实，直接代入坐标变换。例如，考虑二维流形上的对称 $(0,2)$ 张量 $S$，它在坐标系 $(x^1=x,x^2=y)$ 中的分量为

它等价地写成

最后一行为了简洁省略了张量积符号（此后我们也会形成这个习惯）。现在考虑新坐标

例如在 时有效。它们立刻可以反解为

不必直接使用张量变换律，只需利用熟悉的求导法则，把 $\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 用 $\mathrm{d}{x}^{{\mu }^{\prime }}$ 表示：

把这些表达式直接代入式 (2.32) 即得（要记住张量积不对易，所以 $\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }\ne \mathrm{d}{y}^{\prime }\mathrm{d}{x}^{\prime }$）：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.36}\text{)}& S=(y^{\prime }{)}^2(\mathrm{d}{x}^{\prime }{)}^2+x^{\prime }{y}^{\prime }(\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }+\mathrm{d}{y}^{\prime }\mathrm{d}{x}^{\prime })+[(x^{\prime }{)}^2+4(x^{\prime }{y}^{\prime }{)}^2](\mathrm{d}{y}^{\prime }{)}^2,\end{array}$$

或者

注意它仍然对称。我们没有直接使用变换律 (2.30)，但你可以检验，那样做会得到同一结果。

平直空间中定义的各种张量运算，在更一般的情形中大多保持不变：缩并、对称化等等。三个重要例外是偏导数、度规和 Levi–Civita 张量。先来看偏导数。

遗憾的是，张量的偏导数一般并不是一个新张量。梯度，即标量的偏导数，确实是一个真正的 $(0,1)$ 张量；但高阶张量的偏导数不具有张量性。考虑一形式的偏导数 ${\partial }_{\mu }{W}_{\nu }$，并变换到新坐标系：

若 ${\partial }_{\mu }{W}_{\nu }$ 要按 $(0,2)$ 张量变换，最后一行的第二项就不应出现。可以看到，它的出现是因为坐标变换矩阵的导数不为零；在平直空间的 Lorentz 变换中，这个导数为零。

微分显然是物理学的重要工具，因此我们必须发明新的张量运算来替代偏导数。事实上将引入好几种：外微分、协变导数和 Lie 导数。

2.5 度规

度规张量在弯曲空间中如此重要，以至于我们为它采用一个新符号 $g_{\mu \nu }$（${\eta }_{\mu \nu }$ 专门保留给 Minkowski 度规）。除了必须是一个对称的 $(0,2)$ 张量之外，$g_{\mu \nu }$ 的分量几乎不受限制。通常——但并非总是——还假定它非退化，即行列式 $g=|g_{\mu \nu }|$ 不为零。这样便可通过

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.39}\text{)}& g^{\mu \nu }{g}_{\nu \sigma }=g_{\lambda \sigma }{g}^{\lambda \mu }={\delta }_{\sigma }^{\mu }\end{array}$$

定义逆度规 $g^{\mu \nu }$。$g_{\mu \nu }$ 的对称性意味着 $g^{\mu \nu }$ 也对称。与狭义相对论一样，度规及其逆可用于升降张量指标。

你可能熟悉拓扑学中使用的“度量”概念，其中还要求度量正定（没有负特征值）。广义相对论所用的度规无法用来定义拓扑，但它会有其他用途。

要充分领略度规的全部作用还需要一些时间；为了先获得直观印象，沿用 Sachs 与 Wu（1977）的概括，可以列出 $g_{\mu \nu }$ 的各种用途：（1）度规提供“过去”和“未来”的概念；（2）度规允许计算路径长度与固有时；（3）度规决定两点之间的“最短距离”，因而决定测试粒子的运动；（4）度规取代 Newton 引力场 $\varphi$；（5）度规提供局域惯性参考系的概念，从而给出“无旋转”的意义；（6）度规通过定义光速——任何信号都不能超过它——来决定因果性；（7）度规取代 Newton 力学中传统的三维 Euclid 点积。显然，这些观念并非完全彼此独立，但足以让我们感受到这个张量的重要性。

讨论狭义相对论中的路径长度时，我们曾以略显随意的方式引入线元 $\mathrm{d}{s}^2={\eta }_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }$，并用它求路径长度。既然现在知道 $\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 实际上是基对偶向量，把“度规”和“线元”互换使用、并写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.40}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=g_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }\end{array}$$

就很自然。为完全一致，我们应把它写作“$g$”，有时也确实如此；但 $g$ 更常用于行列式 $|g_{\mu \nu }|$。例如，三维 Euclid 空间在 Cartesian 坐标下的线元是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.41}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2+(\mathrm{d}z{)}^2.\end{array}$$

现在可以换到任意坐标系。例如，在球坐标中，

它直接给出

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.43}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.\end{array}$$

度规分量看起来显然不同于 Cartesian 坐标中的分量，但空间的全部性质都没有改变。

大多数文献不会细致地区分非正式意义上作为无穷小位移的“$dx$”，与严格意义上作为坐标函数梯度所给出的基一形式“$\mathrm{d}x$”。它们也常忽略张量积不对易这一事实，把 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ 写成 $2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$；上下文通常会说明含义。实际上，我们的符号“$\mathrm{d}{s}^2$”并非任何量的微分，也并非任何量的平方；它只是度规张量的惯用简写，而度规是从两个向量到实数的多重线性映射。因此，两个向量 $V^{\mu }$ 与 $W^{\nu }$ 的内积有一组等价写法：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.44}\text{)}& g_{\mu \nu }{V}^{\mu }{W}^{\nu }=g(V,W)=\mathrm{d}{s}^2(V,W).\end{array}$$

与此同时，“$(\mathrm{d}x{)}^2$”特指真正的 $(0,2)$ 张量 $\mathrm{d}x\otimes \mathrm{d}x$。

二维球面是非 Euclid 流形的良好例子。它可以看作 ${\mathbb{R}}^3$ 中距原点为 1 的点的轨迹。在 $(\theta ,\varphi )$ 坐标系中，把式 (2.43) 中的 $r=1$、$\mathrm{d}r=0$，即可得到度规：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.45}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.\end{array}$$

这与把 $\mathrm{d}s$ 解释成无穷小长度完全相容，如图 2.21。认真思考的读者此时应当问：“把 $\mathrm{d}r=0$ 到底是什么意思？我们知道 $\mathrm{d}r$ 是定义良好、并不为零的一形式场。”正如偶尔会发生的那样，我们正用不够严谨的语言来启发一个实际上完全合法的步骤；关于子流形如何从嵌入它的空间继承度规，见附录 A。

我们将会看到，度规张量包含描述流形曲率所需的全部信息（至少在所谓 Riemann 几何中如此；下一章会讨论一些细微之处）。在 Minkowski 空间中，可以选择使度规分量为常数的坐标；然而，曲率的存在比“度规是否依赖坐标”微妙得多，因为上面的例子已经说明，在平直 Euclid 空间的球坐标中，度规也依赖 $r$ 和 $\theta$。以后会看到，度规分量为常数足以保证空间平直；而且，任何

平直空间中都存在一个使度规为常数的坐标系。但我们可能不想使用这种坐标系，甚至不知道如何找到它。因此，还需要更精确地刻画曲率，稍后会引入这一刻画。

图 2.21　二维球面上的线元。 无穷小边长分别为 $\mathrm{d}\theta$ 与 $\sin \theta \mathrm{d}\varphi$，合成线元 $\mathrm{d}s$。

把 $g_{\mu \nu }$ 化为其标准形，可以得到度规的一个有用刻画。在标准形中，度规分量变为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.46}\text{)}& g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(-1,-1,\dots ,-1,+1,+1,\dots ,+1,0,0,\dots ,0),\end{array}$$

其中“diag”表示以给定元素为对角元的对角矩阵。度规的号差由正、负特征值的数目给出；例如，我们说 Minkowski 空间的度规号差为“负、正、正、正”。若任一特征值为零，度规就是“退化”的，逆度规也不存在；若度规连续且非退化，它在每一点的号差都相同。本书始终处理连续、非退化的度规。若所有符号都为正，度规称为 Euclid 度规或 Riemann 度规（也就是正定度规）；若只有一个负号，则称为 Lorentz 度规或伪 Riemann 度规；任何同时包含若干 $+1$ 与若干 $-1$ 的度规都称为不定度规。（所以“Euclid”一词有时表示空间平直，有时并不表示平直，但它总表示标准形严格为正；这套术语虽不理想，却是标准用法。）广义相对论感兴趣的时空具有 Lorentz 度规。

我们尚未证明度规总能化为标准形。事实上，在某一点 $p\in M$ 总可以做到，但一般只能在该单点做到，不能在 $p$ 的整个邻域中做到。还能稍微做得更好：在任意点 $p$，都存在坐标系 $x^{\hat{\mu }}$，使 $g_{\hat{\mu }\hat{\nu }}$ 取标准形，并且所有一阶导数 ${\partial }_{\hat{\sigma }}{g}_{\hat{\mu }\hat{\nu }}$ 都为零；但二阶导数 ${\partial }_{\hat{\rho }}{\partial }_{\hat{\sigma }}{g}_{\hat{\mu }\hat{\nu }}$ 无法全部消去：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.47}\text{)}& g_{\hat{\mu }\hat{\nu }}(p)={\eta }_{\hat{\mu }\hat{\nu }},{\partial }_{\hat{\sigma }}{g}_{\hat{\mu }\hat{\nu }}(p)=0.\end{array}$$

这种坐标称为局域惯性坐标，相应的基向量构成局域 Lorentz 标架；处在这些特殊坐标中时，我们常在指标上加帽。注意，在局域惯性坐标中，$p$ 点的度规在一阶近似上与平直空间的度规相同。这正是“足够小的时空区域看起来像平直的 Minkowski 空间”这一观念的严格表述。还要注意，在 $M$ 的每一点同时构造一组基向量，使度规取标准形，并没有困难；问题在于，这样的基一般不会来自某个坐标系，因而不是坐标基。此类基在附录 J 中讨论。

我们把如何构造局域惯性坐标的讨论推迟到第 3 章。不过，对于四维 Lorentz 度规这一特例，简略考察其存在性的证明很有用。思路是考虑度规的变换律

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.48}\text{)}& g_{\hat{\mu }\hat{\nu }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\hat{\mu }}}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\hat{\nu }}}{g}_{\mu \nu },\end{array}$$

然后把两边都按所求坐标 $x^{\hat{\mu }}$ 展开为 Taylor 级数。旧坐标 $x^{\mu }$ 的展开式为

其他量也按同样方式展开。（为简单起见，我们令 $x^{\mu }(p)=x^{\hat{\mu }}(p)=0$。）随后，用一种极度示意性的记号，式 (2.48) 到二阶的展开为

可以把两边 $\hat{x}$ 同阶的项逐项相等。因此，$g_{\hat{\mu }\hat{\nu }}(p)$ 的分量共有 10 个数（描述一个对称二指标张量），由矩阵 $(\partial x^{\mu }/\partial x^{\hat{\mu }}{)}_p$ 决定。这是一个 $4\times 4$ 的

作者勘误

原书本页把“to sketch a proof”误排成“to see a sketch a proof”。译文已采用勘误后的含义“简略考察其证明”。

无约束矩阵，所以我们可以自由选择 16 个数。从自由度计数看，这显然足以把 $g_{\hat{\mu }\hat{\nu }}(p)$ 的 10 个数化为标准形。（实际上仍有一些限制；若仔细完成这道程序，会发现例如不能改变号差。）剩余的 6 个自由度恰好可以解释为 Lorentz 群的 6 个参数；已知这些参数不改变标准形。

在一阶，有导数 ${\partial }_{\hat{\sigma }}{g}_{\hat{\mu }\hat{\nu }}(p)$，即 10 个分量各有 4 个导数，共 40 个数。观察式 (2.50) 右边，可以看到现在还可自由选择 $({\partial }^2{x}^{\mu }/\partial x^{{\hat{\mu }}_1}\partial x^{{\hat{\mu }}_2}{)}_p$。在这组数中，下指标 ${\hat{\mu }}_1$ 与 ${\hat{\mu }}_2$ 有 10 种独立选择（因偏导数对易而对称），上指标 $\mu$ 有 4 种选择，总共正好 40 个自由度。这恰是确定度规全部一阶导数所需的数目，因此可以把它们全设为零。

然而，在二阶，我们面对的是 ${\partial }_{\hat{\rho }}{\partial }_{\hat{\sigma }}{g}_{\hat{\mu }\hat{\nu }}(p)$；它对 $\hat{\rho },\hat{\sigma }$ 对称，也对 $\hat{\mu },\hat{\nu }$ 对称，共有 $10\times 10=100$ 个数。进一步选择坐标的能力包含在 $({\partial }^3{x}^{\mu }/\partial x^{{\hat{\mu }}_1}\partial x^{{\hat{\mu }}_2}\partial x^{{\hat{\mu }}_3}{)}_p$ 中。它对三个下指标对称，给出 20 种可能，再乘上指标的 4 种选择，共 80 个自由度——比让度规二阶导数全部为零所需的数目少 20。因此，二阶导数确实无法全部消去；偏离平直性的程度必由代表度规张量场二阶导数的 20 个自由度来衡量。以后用 Riemann 张量刻画曲率时，会看到这一点如何实现；Riemann 张量在四维中恰有 20 个独立分量。

局域惯性坐标极其有用。最妙的是，通常无须真正动手构造它们（下一章会给出构造方法），只要知道它们存在即可。常用技巧是：提出一个物理问题，在局域惯性坐标中回答，再把答案写成与坐标无关的形式。举一个非常简单的例子：观察者的四速度为 $U^{\hat{\mu }}$，一枚火箭以四速度 $V^{\hat{\mu }}$ 从旁飞过。观察者测得火箭的普通三速度是多少？在狭义相对论中，答案很直接。选取惯性坐标（这里是整体而非仅局域），令观察者静止、火箭沿 $x$ 轴运动。于是观察者的四速度为 $U^{\hat{\mu }}=(1,0,0,0)$，火箭的四速度为 $V^{\hat{\mu }}=(\gamma ,v\gamma ,0,0)$，其中 $v$ 是三速度，$\gamma =1/\sqrt{1-v^2}$，所以 $v=\sqrt{1-{\gamma }^{-2}}$。因为眼下处在平直时空，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.51}\text{)}& \gamma =-{\eta }_{\hat{\mu }\hat{\nu }}{U}^{\hat{\mu }}{V}^{\hat{\nu }}=-U_{\hat{\mu }}{V}^{\hat{\mu }},\end{array}$$

这里用了 ${\eta }_{00}=-1$。因此，平直时空中的答案是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.52}\text{)}& v=\sqrt{1-{\left(U_{\hat{\mu }}{V}^{\hat{\mu }}\right)}^{-2}}.\end{array}$$

现在回到度规不再平直的弯曲时空。在进行测量的点上，可以自由使用局域惯性坐标；在该坐标系中，$g_{\hat{\mu }\hat{\nu }}$ 的分量恰好就是 ${\eta }_{\hat{\mu }\hat{\nu }}$ 的分量。所以，在这个特定坐标系中，式 (2.52) 在弯曲时空里仍然成立。但式 (2.52) 是完全张量性的方程，不在乎使用哪种坐标系；因此，它在完全一般的情形下都成立。这套方法今后会一次又一次显示其价值。

2.6 膨胀的宇宙

一个非平凡 Lorentz 几何的简单例子，是具有如下度规的四维宇宙学时空：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.53}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+a^2(t)[\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2].\end{array}$$

它描述一个这样的宇宙：“固定时刻的空间”是平直三维 Euclid 空间，并随时间膨胀。空间坐标 $x^i$ 保持不变的世界线称为共动世界线；类似地，边界由固定空间坐标定义、随空间一起膨胀的区域称为“共动体积”。由于度规描述的是距离的平方，该时空中共动点之间的相对距离按 $a(t)$ 增长；函数 $a$ 称为尺度因子。这是 Robertson–Walker 度规的一个特例，其中空间切片在几何上平直；还存在空间切片弯曲的情形，第 8 章会讨论。不过，我们眼下关心的并非这一度规从何而来，而是把它当作演示已发展概念的练习场。

尺度因子的典型解是幂律：

实际上还有各种各样的解，不过这些解尤其简单并且具有现实意义。物质主导的平直宇宙满足 $q=2/3$，辐射主导的平直宇宙满足 $q=1/2$。显然，当 $t\to 0$ 时，尺度因子趋于零，度规的空间分量也随之趋于零。这一说法依赖坐标；原则上也许存在另一个坐标系，使一切看起来都是有限的。然而，在这个例子中，$t=0$ 代表几何的真正奇点（“大爆炸”），应当从流形中排除。因此，$t$ 坐标的取值范围为

我们的时空在 $t=0$ 处终止。

这个弯曲几何中的光锥由类光路径定义，即满足 $\mathrm{d}{s}^2=0$ 的路径。为了画出时空图，可以考虑让

$y$ 和 $z$ 保持常数的类光路径；于是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.56}\text{)}& 0=-\mathrm{d}{t}^2+t^{2q}\mathrm{d}{x}^2,\end{array}$$

从而

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.57}\text{)}& \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\pm t^{-q}.\end{array}$$

你也许会担心：前面花了那么大力气强调 $\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 是基一形式、并非微分，我们现在却从式 (2.56) 到式 (2.57) 随意地“除以 $\mathrm{d}{t}^2$”。真实做法要体面得多。式 (2.56) 定义了一个 $(0,2)$ 张量，它以两个向量为输入并返回实数；我们让它作用在向量 $V=(\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}\lambda ){\partial }_{\mu }$ 的两个副本上，这个向量是曲线 $x^{\mu }(\lambda )$ 的切向量。先只看 $\mathrm{d}{t}^2$ 这一项作用在 $V$ 上：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.58}\text{)}& \mathrm{d}{t}^2(V,V)\equiv (\mathrm{d}t\otimes \mathrm{d}t)(V,V)=\mathrm{d}t(V)\cdot \mathrm{d}t(V),\end{array}$$

其中 $\mathrm{d}t(V)$ 表示一个实数，计算为

第三行使用了式 (2.25)。对 $\mathrm{d}{x}^2$ 做同样处理，式 (2.56) 就意味着

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.60}\text{)}& 0=-{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda }\right)}^2+t^{2q}{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\lambda }\right)}^2,\end{array}$$

再由一维链式法则

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.61}\text{)}& \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\lambda }\frac{\mathrm{d}\lambda }{\mathrm{d}t}\end{array}$$

便得到式 (2.57)。

教训应当很清楚：式 (2.56) 之类表达式描述的是定义良好的张量；然而，把基一形式当作普通“微分”来运算，也确实会给出正确答案。（至少多数时候如此；最好仍把更形式化的定义记在心里。）

解式 (2.57) 得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.62}\text{)}& t=(1-q{)}^{1/(1-q)}(\pm x-x_0{)}^{1/(1-q)},\end{array}$$

其中 $x_0$ 是积分常数。这些曲线定义了膨胀宇宙中的光锥，如图 2.22。由于我们假定 ，光锥在 $t=0$ 处与奇点相切。这个几何的关键特征是，两点的光锥在过去未必相交；这与 Minkowski 空间形成对比，在后者中任意两点的光锥在过去和未来总会相交。我们说每个事件都定义一个“视界”，视界外存在某些世界线，它们不可能对该事件发生的事情产生过任何影响。原因在于，没有任何东西能比光传播得更快，所以每一点只能受到位于其过去光锥上或内部事件的影响（事实上，我们把过去光锥连同其内部简称为一个事件的“过去”）。处在彼此视界之外的两个事件，称为“脱离因果联系”。下一节以及第 4、8 章将更仔细地研究这些概念。

图 2.22　平直 Robertson–Walker 宇宙的时空图。 尺度因子 $a(t)\propto t^q$，其中 。图底部的虚线表示 $t=0$ 处的奇点。由于光锥与奇点相切，两点的过去可能互不重叠。

2.7 因果性

许多物理问题可以表述为初值问题：已知系统在某一时刻的状态，它在稍后时刻会是什么状态？这类问题具有确定答案，是因为因果性成立；也就是未来事件可以理解为初始条件与物理定律共同作用的结果。初值问题在广义相对论中，与在 Newton 物理或狭义相对论中一样常见；不过，时空背景本身具有动力学性质，这为初值表述失效引入了新的方式。这里非常简要地介绍一些用于理解广义相对论中因果性如何工作的概念。

我们考察固定背景时空上物质场的演化，而不考察度规本身的演化。指导原则是信号不能比光速更快；所以信息只沿类时或类光轨迹流动（这些轨迹不一定是测地线）。有时需要区分纯粹类时的路径与仅仅非类空的路径，因此定义因果曲线为处处类时或类光的曲线。于是，给定流形 $M$ 的任意子集 $S$，定义 $S$ 的因果未来 $J^{+}(S)$ 为从 $S$ 出发、沿未来指向的因果曲线能够到达的点集；时序未来 $I^{+}(S)$ 则是从 $S$ 出发、沿未来指向的类时曲线能够到达的点集。注意，长度为零的曲线是因果的，却不是时序的；因此，点 $p$ 总在自身的因果未来 $J^{+}(p)$ 中，却不一定在自身的时序未来 $I^{+}(p)$ 中（尽管也可能在，后面会提到）。因果过去 $J^{-}$ 与时序过去 $I^{-}$ 的定义与此类似。

作者勘误

原书把“长度为零的曲线是因果的，却不是时序的”恰好写反，并漏了“点不一定在自身时序未来中”的介词。译文已采用作者勘误。

如果子集 $S\subset M$ 中任意两点都没有类时曲线相连，就称 $S$ 是非时序集。例如，Minkowski 时空中任何无边的类空超曲面都是非时序的。给定闭的非时序集 $S$，定义它的未来依赖域 $D^{+}(S)$ 为所有满足如下条件的点 $p$：每一条经过 $p$、向过去运动且不可延拓的因果曲线都必须与 $S$ 相交。（“不可延拓”只表示曲线永远继续下去，不会在某个有限点终止；“闭”表示该集合的补集是开集。）$S$ 自身的元素也属于 $D^{+}(S)$。把“未来”换成“过去”即可定义过去依赖域 $D^{-}(S)$。一般来说，$M$ 中有些点位于某个依赖域内，有些点位于其外；定义 $D^{+}(S)$ 的边界为未来 Cauchy 视界 $H^{+}(S)$，类似地，$D^{-}(S)$ 的边界为过去 Cauchy 视界 $H^{-}(S)$。可以自行验证，两者都是类光曲面。依赖域和 Cauchy 视界如图 2.23 所示，其中 $S$ 取为非时序曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的一个连通子集。

图 2.23　依赖域与 Cauchy 视界。 $S$ 是类空曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的一个连通子集。$D^{\pm }(S)$ 表示 $S$ 的未来／过去依赖域，$H^{\pm }(S)$ 表示未来／过去 Cauchy 视界。

这些定义的用处应当很明显：若没有任何东西快于光，信号就无法传播到任意点 $p$ 的光锥以外。因此，如果每条始终留在该光锥内的曲线都必须与 $S$ 相交，那么在 $S$ 上指定的信息就应足以预言 $p$ 点的情形；也就是说，$S$ 上给出的物质场初始数据可以用来求得 $p$ 点的场值。仅凭 $S$ 上发生的事情便可预言其上发生什么的所有点，构成并集 $D(S)=D^{+}(S)\cup D^{-}(S)$，简称依赖域。如果闭的非时序曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的依赖域 $D(\mathrm{\Sigma })$ 是整个流形，就称 $\mathrm{\Sigma }$ 为 Cauchy 曲面；由 Cauchy 曲面上的信息，可以预言整个时空中发生的一切。若时空拥有 Cauchy 曲面（它也可能没有），就称该时空整体双曲。

任何闭合、非时序且无边的集合 $\mathrm{\Sigma }$，称为部分 Cauchy 曲面。部分 Cauchy 曲面未能成为真正的 Cauchy 曲面，可能是它自身的问题，也可能是时空的问题。一种可能性是我们恰好选了一个“不好”的超曲面（不过很难给出判断超曲面何时在此意义上不好的普遍规则）。考虑 Minkowski 空间，以及一个无边的类空超曲面 $\mathrm{\Sigma }$，它始终位于某一点的光锥过去，如图 2.24。此时 $\mathrm{\Sigma }$ 是非时序曲面，但显然 $D^{+}(\mathrm{\Sigma })$ 在该光锥处终止，因而无法利用 $\mathrm{\Sigma }$ 上的信息预言整个 Minkowski 空间中发生的事情。当然，我们本可以选择其他依赖域覆盖整个流形的曲面，因此这并不太令人担忧。

作者勘误

图 2.24 原图中，从 $D^{+}(\mathrm{\Sigma })$ 引出的标线应继续伸入过去光锥内部。下方图题按作者勘误解释正确区域。

图 2.24　并非 Cauchy 曲面的类空曲面。 曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 处处类空，却位于点 $p$ 的过去光锥的过去；它的依赖域并不覆盖整个时空。图中 $D^{+}(\mathrm{\Sigma })$ 是位于过去光锥内部、在 $p$ 处结束的区域。

Cauchy 视界还可以通过一种更非平凡的方式出现：闭合类时曲线。在 Newton 物理中，绝对时间不可阻挡地向前推进，由此保证因果性。在狭义相对论中限制更严格：不仅必须向时间的前方运动，光速还限制了你穿过空间的速度（必须留在未来光锥内）。在广义相对论中，仍然必须留在未来光锥内；然而，这严格说来只是局域概念，因为在整体上，时空曲率可能使光锥从一处到另一处逐渐“倾斜”。原则上，光锥可能扭曲到这种程度：观察者可以沿一条处处类时、处处未来指向的路径运动，却在其“过去”的某一点同自身相交——这就是闭合类时曲线。

举一个简单例子，考虑坐标为 $\{t,x\}$ 的二维几何，并把坐标为 $(t,x)$ 与 $(t,x+1)$ 的点等同起来。其拓扑因此为 $\mathbb{R}\times S^1$。取度规

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.63}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=-\cos \left(\lambda \right)\mathrm{d}{t}^2-\sin \left(\lambda \right)[\mathrm{d}t\mathrm{d}x+\mathrm{d}x\mathrm{d}t]+\cos \left(\lambda \right)\mathrm{d}{x}^2,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.64}\text{)}& \lambda ={\cot }^{-1}t,\end{array}$$

它从 $\lambda (t=-\mathrm{\infty })=0$ 变化到 $\lambda (t=\mathrm{\infty })=\pi$。这个度规并不代表广义相对论中任何著名的特殊解；它只是人为构造出来，用作闭合类时曲线的有趣例子。不过，确实有一个著名例子称为 Misner 空间，性质与它相似。在式 (2.63) 定义的时空中，随着时间向前，光锥逐渐倾斜，如图 2.25。 时，光锥指向前方，因果性得以维持；但一旦 ，$x$ 便成为类时坐标，可以沿一条绕过 $S^1$ 后返回自身的类时轨迹运动，这就是闭合类时曲线。若在这一时刻之前指定曲面 $\mathrm{\Sigma }$，那么包含闭合类时曲线的区域中，没有任何点属于 $\mathrm{\Sigma }$ 的依赖域，因为这些闭合类时曲线本身不与 $\mathrm{\Sigma }$ 相交。因此，在曲面 $t=0$ 处必然存在 Cauchy 视界。这显然比前一个问题严重得多，因为在此时空中似乎根本不存在定义良好的初值问题。

图 2.25　含闭合类时曲线的柱状时空。 光锥逐渐倾斜，使曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的依赖域填满时空下部，却在闭合类时曲线开始出现时终止；柱体左右边缘彼此等同。

最后一个例子来自奇点：它们并不属于流形，却能沿测地线在有限距离内到达。典型情形是某处曲率变成无穷大；一旦发生，该点就不能再被视为时空的一部分。这会产生 Cauchy 视界，如图 2.26：若点 $p$ 位于奇点的未来，它就不可能属于奇点过去某个超曲面的依赖域，因为从 $p$ 出发会有曲线直接终止于奇点。

图 2.26　奇点造成依赖域缺失。 $p$ 处的奇点会把位于其未来的所有点排除在过去曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的依赖域之外；图中 $H^{+}(\mathrm{\Sigma })$ 是相应的未来 Cauchy 视界。

当我们试图从初始数据演化度规本身时，这些障碍也会出现在广义相对论的初值问题中。不过，它们造成麻烦的程度不同。选择一个“不好”的初始超曲面并不常见，尤其因为多数解是整体求出的（在整个时空中解 Einstein 方程）。真正需要小心的场合，是数值求解 Einstein 方程；此时，不好的超曲面选择即便在原则上存在完备解，也可能造成数值困难。

闭合类时曲线似乎是广义相对论努力回避的东西——确有包含它们的解，但从一般初始数据演化通常不会产生它们。另一方面，奇点几乎不可避免。引力总是吸引的这一简单事实倾向于把物质拉到一起，增大曲率，并普遍导致某种奇点。看来我们必须学会与此共处；尽管如此，仍有希望由一套定义良好的量子引力理论消除经典广义相对论的奇点，或至少教会我们如何处理它们。

2.8 张量密度

张量拥有令人信服的美与简洁，但有时考虑非张量对象很有用。回想第 1 章引入的完全反对称 Levi–Civita 符号，其定义为

按定义，Levi–Civita 符号在任何坐标系中都取上述分量（至少在任意右手坐标系中如此；改变手性会使 ${\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$ 的所有分量整体乘以负号）。它之所以称为“符号”，正是因为它不是张量：我们规定它在坐标变换下不变。只有在平直时空的惯性坐标中，才能把它当作张量处理，因为 Lorentz 变换本来就会使这些分量保持不变。

它的行为可以与普通张量联系起来。首先注意，对任意 $n\times n$ 矩阵 $M^{\mu }{}_{{\mu }^{\prime }}$，其行列式 $|M|$ 满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.66}\text{)}& {\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1^{\prime }{\mu }_2^{\prime }\cdots {\mu }_n^{\prime }}|M|={\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}{M}^{{\mu }_1}{}_{{\mu }_1^{\prime }}{M}^{{\mu }_2}{}_{{\mu }_2^{\prime }}\cdots M^{{\mu }_n}{}_{{\mu }_n^{\prime }}.\end{array}$$

这只是任意矩阵行列式的一种精简写法，与通常用余子式矩阵表达的公式完全等价。（可对 $2\times 2$ 或 $3\times 3$ 矩阵自行检验。）令 $M^{\mu }{}_{{\mu }^{\prime }}=\partial x^{\mu }/\partial x^{{\mu }^{\prime }}$，便有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.67}\text{)}& {\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1^{\prime }{\mu }_2^{\prime }\cdots {\mu }_n^{\prime }}=\left|\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}\right|{\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}\frac{\partial x^{{\mu }_1}}{\partial x^{{\mu }_1^{\prime }}}\frac{\partial x^{{\mu }_2}}{\partial x^{{\mu }_2^{\prime }}}\cdots \frac{\partial x^{{\mu }_n}}{\partial x^{{\mu }_n^{\prime }}}.\end{array}$$

这里还用了矩阵 $\partial x^{{\mu }^{\prime }}/\partial x^{\mu }$ 是 $\partial x^{\mu }/\partial x^{{\mu }^{\prime }}$ 的逆，以及逆矩阵行列式是原行列式的倒数，即 $|M^{-1}|=|M{|}^{-1}$。因此，Levi–Civita 符号的变换方式很接近张量变换律，只是前面多出一个行列式。按这种方式变换的对象称为张量密度。另一个例子是度规的行列式 $g=|g_{\mu \nu }|$。对式 (2.48) 两边取行列式，很容易检验坐标变换下

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.68}\text{)}& g(x^{{\mu }^{\prime }})={\left|\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}\right|}^{-2}g(x^{\mu }).\end{array}$$

因此，$g$ 也不是张量；它的变换与 Levi–Civita 符号相似，只是 Jacobian 被提升到 $-2$ 次方。Jacobian 的幂次称为张量密度的权重：Levi–Civita 符号是权重 1 的密度，而 $g$ 是权重 $-2$ 的（标量）密度。

不过，我们不像喜欢张量那样喜欢张量密度。有一个简单办法能把密度变成真正的张量：乘以 $|g{|}^{w/2}$，其中 $w$ 是密度的权重（绝对值号的存在，是因为 Lorentz 度规有 ）。结果会按张量变换律变换。例如，可以定义 Levi–Civita 张量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.69}\text{)}& {ϵ}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}=\sqrt{|g|}{\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}.\end{array}$$

因为这是真正的张量，可以升指标，等等。有时人们定义上指标的 Levi–Civita 符号 ${\widetilde{ϵ}}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$，其分量在数值上等于 $\mathrm{sgn}(g){\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$，其中 $\mathrm{sgn}(g)$ 是度规行列式的符号。它是权重 $-1$ 的密度，与升指标所得的上指标张量通过下式联系：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.70}\text{)}& {ϵ}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\widetilde{ϵ}}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}.\end{array}$$

一种常见运算，是把 ${ϵ}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$ 的 $p$ 个指标与 ${ϵ}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$ 缩并；结果可写成 Kronecker delta 的反对称化乘积：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.71}\text{)}& {ϵ}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_p{\alpha }_1\cdots {\alpha }_{n-p}}{ϵ}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_p{\beta }_1\cdots {\beta }_{n-p}}=(-1{)}^{s}p!(n-p)!{\delta }_{{\beta }_1}^{[{\alpha }_1}\cdots {\delta }_{{\beta }_{n-p}}^{{\alpha }_{n-p}]},\end{array}$$

其中 $s$ 是度规负特征值的数目（按本书约定的 Lorentz 号差，$s=1$）。最常见的例子是 $p=n-1$，

此时

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.72}\text{)}& {ϵ}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_{n-1}\alpha }{ϵ}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_{n-1}\beta }=(-1{)}^s(n-1)!{\delta }_{\beta }^{\alpha }.\end{array}$$

2.9 微分形式

现在引入一类特殊张量，称为微分形式（简称形式）。微分 $p$-形式就是一个完全反对称的 $(0,p)$ 张量。因此，标量自动是 0-形式，对偶向量自动是一形式，这也解释了前面的术语。我们还有四形式 ${ϵ}_{\mu \nu \rho \sigma }$。所有 $p$-形式的空间记为 ${\mathrm{\Lambda }}^p$，流形 $M$ 上所有 $p$-形式场的空间记为 ${\mathrm{\Lambda }}^p(M)$。一个不太困难的组合计数练习表明，$n$ 维向量空间上线性独立的 $p$-形式数目为 $n!/[p!(n-p)!]$。所以，在四维时空的一点，有一个线性独立的 0-形式、四个一形式、六个二形式、四个三形式和一个四形式。 时不存在 $p$-形式，因为反对称性会使所有分量自动为零。

为什么要关心微分形式？在做进一步工作以前，这个问题很难回答；基本思想是，无须任何附加几何结构的帮助，形式既可以微分也可以积分。我们将简要浏览这两种运算。

给定 $p$-形式 $A$ 与 $q$-形式 $B$，取反对称化张量积，可以构造称为楔积 $A\wedge B$ 的 $(p+q)$-形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.73}\text{)}& (A\wedge B{)}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{p+q}}=\frac{(p+q)!}{p!q!}{A}_{[{\mu }_1\cdots {\mu }_p}{B}_{{\mu }_{p+1}\cdots {\mu }_{p+q}]}.\end{array}$$

例如，两个一形式的楔积为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.74}\text{)}& (A\wedge B{)}_{\mu \nu }=2A_{[\mu }{B}_{\nu ]}=A_{\mu }{B}_{\nu }-A_{\nu }{B}_{\mu }.\end{array}$$

注意

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.75}\text{)}& A\wedge B=(-1{)}^{pq}B\wedge A,\end{array}$$

所以，只要仔细处理符号，就可以交换楔积的顺序。使用形式时可以自由省略指标，因为我们知道全部指标都在下方，且张量完全反对称。

外微分 $\mathrm{d}$ 使我们能把 $p$-形式场微分为 $(p+1)$-形式场。它定义为经过适当归一化的反对称偏导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.76}\text{)}& (\mathrm{d}A{)}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{p+1}}=(p+1){\partial }_{[{\mu }_1}{A}_{{\mu }_2\cdots {\mu }_{p+1}]}.\end{array}$$

最简单的例子是梯度，即 0-形式的外微分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.77}\text{)}& (\mathrm{d}\varphi {)}_{\mu }={\partial }_{\mu }\varphi .\end{array}$$

作者勘误

原书本页第一段出现一次重复的“the”；译文已自然删去。

外微分作用在一个 $p$-形式 $\omega$ 与一个 $q$-形式 $\eta$ 的乘积上时，遵守修正后的 Leibniz 法则：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.78}\text{)}& \mathrm{d}(\omega \wedge \eta )=(\mathrm{d}\omega )\wedge \eta +(-1{)}^p\omega \wedge (\mathrm{d}\eta ).\end{array}$$

建议你自行证明。

外微分值得特别关注，是因为即使在弯曲时空中，它也是一个张量，不像它的近亲偏导数。对 $p=1$，可以从一形式偏导数的变换律 (2.38) 看出这一点；其中造成问题的非张量项可写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.79}\text{)}& W_{\nu }\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}=W_{\nu }\frac{{\partial }^2{x}^{\nu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}\partial x^{{\nu }^{\prime }}}.\end{array}$$

由于偏导数对易，该表达式关于 ${\mu }^{\prime }$ 与 ${\nu }^{\prime }$ 对称；而外微分定义为反对称化的偏导数，所以这一项消失（对称表达式的反对称部分为零）。于是只剩下正确的张量变换律；推广到任意 $p$ 很直接。因此，外微分是合法的张量算符。不过，它不足以完全取代偏导数，因为只在形式上有定义。下一章将定义协变导数，它更接近把偏导数推广到任意流形的概念。

关于外微分还有一个有趣事实：对任意形式 $A$，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.80}\text{)}& \mathrm{d}(\mathrm{d}A)=0,\end{array}$$

常写成 ${\mathrm{d}}^2=0$。这个恒等式来自 $\mathrm{d}$ 的定义以及偏导数对易这一事实，即 ${\partial }_{\alpha }{\partial }_{\beta }={\partial }_{\beta }{\partial }_{\alpha }$（作用于任意对象）。由此引出下面这段纯属趣味的数学插曲。若 $p$-形式 $A$ 满足 $\mathrm{d}A=0$，称它是闭形式；若存在某个 $(p-1)$-形式 $B$ 使 $A=\mathrm{d}B$，称它是恰当形式。显然，所有恰当形式都是闭形式，反过来却未必成立。在流形 $M$ 上，闭 $p$-形式构成向量空间 $Z^p(M)$，恰当形式构成向量空间 $B^p(M)$。定义一个新向量空间，其元素称为上同调类，也就是闭形式对恰当形式取商：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.81}\text{)}& H^p(M)=\frac{Z^p(M)}{B^p(M)}.\end{array}$$

也就是说，若两个闭形式（$Z^p(M)$ 的元素）相差一个恰当形式（$B^p(M)$ 的元素），它们就定义同一个上同调类（$H^p(M)$ 的元素）。神奇的是，上同调空间 $H^p(M)$ 的维数只依赖流形 $M$ 的拓扑。Minkowski 空间在拓扑上等价于 ${\mathbb{R}}^4$，没有什么复杂之处，所以 时所有 $H^p(M)$ 都为零；对于 $p=0$，有 $H^0(M)=\mathbb{R}$。因此，在 Minkowski 空间中，除零形式外的所有闭形式都是恰当的；零形式不可能恰当，因为不存在供它作为外微分的 $-1$-

形式。以这种方式从微分方程的解中提取拓扑信息，十分引人注目。

最后要介绍的微分形式运算是 Hodge 对偶。在 $n$ 维流形上，定义 Hodge 星算符为从 $p$-形式到 $(n-p)$-形式的映射：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.82}\text{)}& (\ast A{)}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{n-p}}=\frac{1}{p!}{ϵ}^{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}{}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{n-p}}{A}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p},\end{array}$$

它把 $A$ 映到“$A$ 的对偶”。与我们对形式进行的其他运算不同，Hodge 对偶确实依赖流形的度规；这一点应当很明显，因为为了定义式 (2.82)，必须先把 Levi–Civita 张量的某些指标升上去。Hodge 星连续作用两次，会返回原形式或其负值：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.83}\text{)}& \ast \ast A=(-1{)}^{s+p(n-p)}A,\end{array}$$

其中 $s$ 是度规特征值中负号的数目。

关于 Hodge 对偶有两点值得说明。第一，Hodge 意义下的“对偶性”不同于向量与对偶向量之间的关系。“对偶性”的一般观念，是从一个空间到另一个空间的变换，且连续做两次变换会回到原空间。向量与一形式之间的对偶性、以及 $p$-形式与 $(n-p)$-形式之间的 Hodge 对偶性都满足这一点。向量空间之间构成对偶关系的一项要求，是原空间与变换后空间的维数相同；$p$-形式空间与 $(n-p)$-形式空间确实如此。

第二点涉及三维 Euclid 空间中的微分形式。两个一形式的楔积取 Hodge 对偶，会得到另一个一形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.84}\text{)}& \ast (U\wedge V{)}_i={ϵ}_i{}^{jk}{U}_j{V}_k.\end{array}$$

（所有前因子都相互抵消。）Euclid 空间中的一形式与向量无异，因此这里得到一个从两个向量到一个向量的映射。你应当说服自己，这正是通常的叉积；Levi–Civita 张量的出现也解释了为什么叉积在宇称变换（交换两个坐标，等价地说，交换两个基向量）下改变符号。这也说明叉积为什么只存在于三维：只有在三维中，才有从两个对偶向量到第三个对偶向量的有趣映射。

电动力学为微分形式的用法提供了一个格外有说服力的例子。由外微分的定义可知，式 (1.97) 可以简洁地写成二形式 $F_{\mu \nu }$ 为闭形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.85}\text{)}& \mathrm{d}F=0.\end{array}$$

这是否意味着 $F$ 也恰当？是的；如前所述，Minkowski 空间拓扑平凡，所以所有闭形式都恰当。因此必定存在一个一

作者勘误

原书把这里对应的 Maxwell 方程引用为 (1.89)，正确编号是 (1.97)。本页与下一页的引用均已改正。

形式 $A_{\mu }$，使得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.86}\text{)}& F=\mathrm{d}A.\end{array}$$

这一形式就是熟悉的电磁矢势；其第 0 分量由标势给出，即 $A_0=\mathrm{\Phi }$，如第 1 章所述。规范不变性表现在：理论在变换 $A\to A+\mathrm{d}\lambda$ 下保持不变，其中 $\lambda$ 是某个标量（零形式）；这一点也可由式 (2.86) 立即看出。Maxwell 方程中的另一个方程 (1.96) 可以写成两个三形式之间的方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.87}\text{)}& \mathrm{d}(\ast F)=\ast J,\end{array}$$

其中电流一形式 $J$ 就是把电流四向量的指标降下去。把细节补齐留作练习，它可以很好地训练你在微分形式记号与普通指标记号之间转换。

作者勘误

原书在式 (2.86) 后把标势写作小写 $\varphi$，作者要求按第 1 章统一为大写 $\mathrm{\Phi }$。原书还漏掉了“可写成两个三形式之间的方程”这一短语，并把方程号误引为 (1.88)；译文已全部修正。

Hodge 对偶与某些场论的一项迷人性质密切相关：强耦合与弱耦合之间的对偶。很难不注意到方程 (2.85) 和 (2.87) 看起来非常相似。事实上，若令 $J_{\mu }=0$，这些方程在下列“对偶变换”下不变：

因此，我们说真空 Maxwell 方程具有对偶不变性；电荷存在时，这种不变性被破坏。可以设想自然界除电单极子外还存在磁单极子；那么可以在式 (2.85) 右边加入磁流项 $\ast J_M$，方程组就会在对偶变换连同替换 $J\leftrightarrow J_M$ 下一起保持不变。（当然，式 (2.85) 的右边非零与 $F=\mathrm{d}A$ 不相容，所以只有 $A_{\mu }$ 不是基本变量时，这一想法才有效。）Dirac 曾考察磁单极子的想法，并证明其存在的必要条件是：基本单极磁荷与基本电荷成反比。

现在，基本电荷是一个小数；电动力学处于弱耦合，这正是微扰论在量子电动力学（QED）中如此成功的原因。但 Dirac 对磁荷的条件意味着，对偶变换会把弱耦合电荷理论变为强耦合磁单极子理论，反之亦然。遗憾的是，单极子很难纳入普通电磁学，所以这些想法不能直接应用；不过，某些理论（例如超对称非 Abel 规范理论）中可能存在某种对偶对称性。如果确实存在，就可以通过考察弱耦合的对偶版本，分析表面上强耦合、因而难以求解的理论；某些理论中正是如此。人们希望这些技巧能让我们探索强耦合量子场论中已知存在的各种现象，例如强子中的夸克禁闭。

2.10 积分

张量密度和微分形式都会在流形积分中扮演重要角色。你大概已经知道，在 ${\mathbb{R}}^n$ 的普通微积分里，体积元 ${\mathrm{d}}^{n}x$ 在坐标变换下会获得一个 Jacobian 因子：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.89}\text{)}& {\mathrm{d}}^n{x}^{\prime }=\left|\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}\right|{\mathrm{d}}^{n}x.\end{array}$$

从微分形式的观点看，这个公式有一个漂亮的解释，源于如下事实：在 $n$ 维流形 $M$ 上，被积函数应恰当地理解为 $n$-形式。 换言之，在 $n$ 维区域 $\mathrm{\Sigma }\subset M$ 上的积分，是从 $n$-形式场 $\omega$ 到实数的映射：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.90}\text{)}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}:\omega ⟶\mathbb{R}.\end{array}$$

这种说法或许显得奇怪，但在线积分的语境中很熟悉。一维中，任何一形式都可写成 $\omega =\omega (x)\mathrm{d}x$；前一个 $\omega$ 是一形式，$\omega (x)$ 表示其唯一的分量函数。我们也确实把一维积分写成 $\int \omega (x)\mathrm{d}x$。你可能习惯把符号 $\mathrm{d}x$ 看作无穷小距离；更准确地说，它是微分形式。

为了使这一点更清楚，考虑多于一维的情形。如果声称被积函数是 $n$-形式，就需要解释它在什么意义上反对称，以及它为什么首先是 $(0,n)$ 张量，也就是从 $n$ 个向量到 $\mathbb{R}$ 的线性映射。我们都同意积分可写为 $\int f(x)\mathrm{d}\mu$，其中 $f(x)$ 是流形上的标量函数，$\mathrm{d}\mu$ 是体积元或测度。体积元的作用，是给每个（无穷小）区域分配一个（无穷小）实数，即该区域的体积。与有限区域相比，无穷小区域的一个好处是可以视为长方平行六面体——存在曲率时，我们并不清楚“长方平行六面体”究竟应是什么意思，但在无穷小区域中可以忽略曲率效应。显然，这里并不严谨；眼下的目的只是提供动机。

如图 2.27 所示（为了画图，取流形为三维），一个平行六面体由定义其各条边的 $n$ 个向量指定。因此，体积元应当是从 $n$ 个向量到实数的映射：$\mathrm{d}\mu (U,V,W)\in \mathbb{R}$。（严格说，它应把无穷小向量映到无穷小数，但这样的映射也会把有限向量映到有限数。）它显然还应能按实数线性缩放：若改变任意定义向量的长度，体积也随之改变，即 $\mathrm{d}\mu (aU,bV,cW)=abc\mathrm{d}\mu (U,V,W)$。对于向量相加的线性性不那么明显，不过可以画图说服自己。

图 2.27　无穷小 $n$ 维区域。 它表示成平行六面体，由一组有序的 $n$ 个向量定义；图中画出的三个向量为 $U,V,W$。

所以，体积元是一个真正的 $(0,n)$ 张量。为什么要反对称？因为我们定义的是带定向的元素；若交换其中两个向量，应得到大小相同而符号相反的体积。（如果这不明显，至少应当说服自己：两个向量共线时，体积应为零。）因此，在非常真实的意义上，$n$ 维中的体积元就是 $n$-形式。

为了实际计算，需要把这些观念具体化；这很直接。核心洞见是：把朴素体积元 ${\mathrm{d}}^{n}x$ 认作由楔积构造的反对称张量密度：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.91}\text{)}& {\mathrm{d}}^{n}x=\mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1}.\end{array}$$

右边的表达式可能有误导性，因为它看起来像张量（实际上是 $n$-形式），但真正的对象却是密度。若 $M$ 上有两个函数 $f$ 与 $g$，那么 $\mathrm{d}f$、$\mathrm{d}g$ 是一形式，$\mathrm{d}f\wedge \mathrm{d}g$ 是二形式，这当然没有问题。但式 (2.91) 中出现的函数就是坐标函数本身，所以换坐标时要用新的一组 $\mathrm{d}{x}^{{\mu }^{\prime }}$ 替换一形式 $\mathrm{d}{x}^{\mu }$。这里有一个微妙之处：通常坐标变换改变的是分量，而不改变一形式本身。式 (2.91) 右边是依赖坐标的对象，准确地说是张量密度；在 $x^{\mu }$ 坐标系中，它的作用像 $\mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1}$。来看它如何工作。

首先，由楔积的定义，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.92}\text{)}& \mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1}=\frac{1}{n!}{\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_n},\end{array}$$

因为楔积和 Levi–Civita 符号都完全反对称。（因子 $1/n!$ 消除了对指标置换求和造成的重复计数。）坐标变换下，${\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}$ 保持不变，而一形式按照式 (2.26) 变换，于是

两边乘以 Jacobian，再用式 (2.91)、(2.92)，就恢复式 (2.89)。

朴素体积元 ${\mathrm{d}}^{n}x$ 显然按密度而非张量变换；但乘以 $\sqrt{|g|}$，即可直接构造不变体积元：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.94}\text{)}& \sqrt{|g^{\prime }|}\mathrm{d}{x}^{0^{\prime }}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{(n-1{)}^{\prime }}=\sqrt{|g|}\mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1},\end{array}$$

它当然就是 $(n!{)}^{-1}{ϵ}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_n}$。为简便起见，通常把体积元写成 $\sqrt{|g|}{\mathrm{d}}^{n}x$，而不写出显式的

楔积：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.95}\text{)}& \sqrt{|g|}{\mathrm{d}}^{n}x\equiv \sqrt{|g|}\mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1};\end{array}$$

只需记住它应当是一个 $n$-形式。事实上，体积元正是 Levi–Civita 张量 ${ϵ}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}$；恢复显式基一形式，有

注意，epsilon 张量引入的组合因子恰好抵消了从张量积切换到楔积产生的因子；只有因为 epsilon 张量自动执行反对称化，才允许这样做。

结论很简单：标量函数 $\varphi$ 在 $n$ 维流形上的积分 $I$ 写作

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.97}\text{)}& I=\int \varphi (x)\sqrt{|g|}{\mathrm{d}}^{n}x.\end{array}$$

给定 $\varphi (x)$ 与 $\sqrt{|g|}$ 的显式形式，这种积分可以用多变量微积分的通常方法直接计算。度规行列式会自动保证正确的变换性质。有时还会看到更抽象的记号

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.98}\text{)}& I=\int \varphi (x)ϵ;\end{array}$$

由式 (2.96) 可知，这两个版本表达相同内容。

2.11 习题

1. 流形的拓扑非平凡，并不必然意味着它无法由单张坐标图覆盖。与圆 $S^1$ 不同，请显式构造映射，证明无限圆柱 $\mathbb{R}\times S^1$ 可以只用一张坐标图覆盖。

2. 通过巧妙选择坐标图，能否让 ${\mathbb{R}}^2$ 看起来像一维流形？能否让 ${\mathbb{R}}^1$ 看起来像二维流形？如果可以，请显式构造合适的图册；如果不可以，请说明原因。本题旨在促使你深入思考流形究竟是什么；若不进一步讨论拓扑空间，就无法严格作答。尤其是，你或许需要暂时忘掉自己已经知道的、原本 ${\mathbb{R}}^2$ 或 ${\mathbb{R}}^1$ 中“开集”的定义，改为把开集定义成：从它们被映入的 ${\mathbb{R}}^1$ 或 ${\mathbb{R}}^2$ 中适当地继承而来。

3. 通过显式构造一套合适的图册（显然不必是极大图册），证明二维环面 $T^2$ 是流形。

4. 验证第 2.3 节末尾关于两个向量场交换子的各项断言：线性性、Leibniz 法则、分量公式，以及它按向量场变换的性质。

5. 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中给出两个线性独立、处处不为零且交换子不为零的向量场。注意，这些场在每一点都给出切空间的一组基；但由于交换子不为零，它不可能是坐标基。

6. 把 ${\mathbb{R}}^3$ 看作带平直 Euclid 度规、坐标为 $\{x,y,z\}$ 的流形。引入球极坐标 $\{r,\theta ,\varphi \}$，它与 $\{x,y,z\}$ 的关系为

从而度规取形式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.100}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.\end{array}$$

(a) 一个粒子沿参数化曲线运动：

  $$
  x(\lambda)=\cos\lambda,
  \qquad y(\lambda)=\sin\lambda,
  \qquad z(\lambda)=\lambda.
  \tag{2.101}
  $$

  在 $\{r,\theta,\phi\}$ 坐标系中表示这条曲线的路径。

(b) 分别在 Cartesian 坐标系和球极坐标系中，计算曲线切向量的分量。

7. 长旋转椭球坐标可用于简化天体力学中的 Kepler 问题。它们与三维 Euclid 空间中通常的 Cartesian 坐标 $(x,y,z)$ 的关系为

把注意力限制在平面 $y=0$，回答下列问题。

(a) 把 $(x,z)$ 与 $(\chi ,\theta )$ 联系起来的坐标变换矩阵 $\partial x^{\mu }/\partial x^{{\nu }^{\prime }}$ 是什么？

(b) 线元 $\mathrm{d}{s}^2$ 在长旋转椭球坐标中是什么形式？

8. 验证式 (2.78)：对一个 $p$-形式 $\omega$ 与一个 $q$-形式 $\eta$ 的乘积取外微分，有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.102}\text{)}& \mathrm{d}(\omega \wedge \eta )=(\mathrm{d}\omega )\wedge \eta +(-1{)}^p\omega \wedge (\mathrm{d}\eta ).\end{array}$$

9. 在通常的四维 Minkowski 时空中，设 $\ast F=q\sin \theta \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d}\varphi$。

   (a) 计算 $\mathrm{d}\ast F=\ast J$。

   (b) 二形式 $F$ 等于什么？

   (c) 这个解对应的电场和磁场分别是什么？

   (d) 计算 ${\int }_V\mathrm{d}\ast F$，其中 $V$ 是三维 Euclid 空间中半径为 $R$ 的球。

作者勘误

原题开头误写成“在三维 Euclid 空间中”。作者说明，应改为通常的四维 Minkowski 时空；只有第 4 小问的球 $V$ 位于三维 Euclid 空间。译文已采用改正后的题意。

10. 考虑二维时空中的 Maxwell 方程 $\mathrm{d}F=0$、$\mathrm{d}\ast F=\ast J$。解释为什么两组方程中有一组可以舍弃。证明电磁场可以用一个标量场表示，并用分量形式写出这个标量场的场方程。

11. 下面为一道很简单的问题附加了许多动机性文字；不要因此分心。在带点粒子的普通电磁学中，作用量里表示规范势一形式 $A^{(1)}$ 与带电粒子耦合的部分，可写成 $S={\int }_{\gamma }{A}^{(1)}$，其中 $\gamma$ 是粒子的世界线。（$A^{(1)}$ 的上标只用于提醒你它是一形式。）本题考察与普通电磁学相关的一种理论，但现在处在 11 维时空，具有三形式规范势 $A^{(3)}$ 和四形式场强 $F^{(4)}=\mathrm{d}{A}^{(3)}$。注意，对任意二形式 ${\lambda }^{(2)}$，场强在规范变换 $A^{(3)}\to A^{(3)}+\mathrm{d}{\lambda }^{(2)}$ 下保持不变。

(a) 这个规范场自然耦合的对象具有多少个空间维数？（例如，普通电磁场耦合到零维对象——点粒子。）

(b) 普通电子的电荷由规范场强二形式的对偶在包围粒子的二维球面上的积分给出。应当如何定义与 $A^{(3)}$ 耦合对象的“电荷”？论证若 $\mathrm{d}\ast F^{(4)}=0$，该电荷守恒。

(c) 设存在一个“对偶规范势” $\tilde{A}$，满足 $\mathrm{d}(\tilde{A})=\ast F^{(4)}$。它自然耦合到多少维的对象？

(d) 规范场自身的作用量（区别于它与其他对象的耦合）应当在整个 11 维时空上积分。在这样的作用量中，可以出现哪些在“局域”规范变换下不变的项？这里的局域规范变换，例如由在无穷远处消失的二形式 ${\lambda }^{(2)}$ 指定。只考虑 $A^{(3)}$ 及其一阶导数的一次、二次或三次项（不含二阶导数，也不含更高次项）。你可以使用外微分、楔积和 Hodge 对偶，但不得让度规显式出现。

更多背景：“超对称”是一种假想对称性，把玻色子（自旋为整数的粒子）与费米子（自旋为 $1/2,3/2$ 等的粒子）联系起来。一个有趣特征是，超对称理论只有在 11 维或更少维数中才定义良好；在更多维数里，超对称会要求存在自旋大于 2 的粒子，而这些粒子无法相容地量子化。十一维超对称是一种唯一的理论，它自然包含三形式规范势，更不用说引力了。近期工作表明，它还包含本题提到的各种高维对象（尽管这里省略了一些细节）。这个理论是所谓 M 理论的一个定义良好的极限；M 理论还以各种十维超弦理论作为其他极限。

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