泊松分布公式推导与二项分布的联系

这份笔记整理泊松分布概率公式的来源，重点解释二项分布极限中组合数那一项为什么会变成 ${\lambda }^k/k!$，以及泊松分布的期望、均值与二项分布之间的关系。

基本问题

泊松分布描述的是：在一段固定时间、空间或区域内，某类事件发生的次数。

设 $X$ 表示这个固定区间内事件发生的次数。如果平均发生次数是 $\lambda$，那么泊松分布的概率公式是：

$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$$

这里的 $\lambda$ 是单位区间内的平均发生次数，也就是泊松分布的参数。

从二项分布出发

假设观察一段固定时间，比如 1 小时。已知这段时间内事件平均发生 $\lambda$ 次。

把这段时间切成 $n$ 个非常小的时间片。如果 $n$ 足够大，每个小时间片内发生事件的概率可以近似为：

$$p=\frac{\lambda }{n}$$

于是，在 $n$ 个小时间片中，事件总共发生 $k$ 次，可以先看成二项分布：

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}$$

泊松分布就是在下面这个极限条件下得到的：

$$n\to \mathrm{\infty },p=\frac{\lambda }{n}\to 0,np=\lambda$$

也就是：机会次数越来越多，每次机会发生的概率越来越小，但总平均次数保持为 $\lambda$。

组合数那一项的极限

推导中最容易卡住的是这一项：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k$$

注意这里是 $n\to \mathrm{\infty }$，但 $k$ 是固定的。

先展开组合数：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}$$

所以：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{{\lambda }^k}{n^k}$$

把 $n^k$ 分到前面的乘积里：

$$=\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}$$

而：

$$\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}=1\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})$$

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，每一个因子都趋近于 $1$：

$$1-\frac{1}{n}\to 1,1-\frac{2}{n}\to 1,\dots$$

因为 $k$ 是固定的，所以这只是有限个因子的乘积。有限个趋近于 $1$ 的因子相乘，整体也趋近于 $1$。

因此：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k\to \frac{{\lambda }^k}{k!}$$

直觉上可以把组合数粗略看成：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\approx \frac{n^k}{k!}$$

而 ${(\lambda /n)}^k$ 里正好有一个 $1/n^k$，二者抵消后剩下：

$$\frac{{\lambda }^k}{k!}$$

例如 $k=3$ 时：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\cdot \frac{{\lambda }^3}{n^3}$$

整理为：

$$=\frac{{\lambda }^3}{6}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})$$

所以：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^3\to \frac{{\lambda }^3}{6}=\frac{{\lambda }^3}{3!}$$

剩余概率项的极限

二项分布中还剩这一项：

$${(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}$$

把它拆成两部分：

$${(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}={(1-\frac{\lambda }{n})}^n{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}$$

其中：

$${(1-\frac{\lambda }{n})}^n\to e^{-\lambda }$$

而因为 $k$ 固定：

$${(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}\to 1$$

所以：

$${(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\to e^{-\lambda }$$

得到泊松分布公式

把前面的两个极限合起来：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k\to \frac{{\lambda }^k}{k!}$$$${(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\to e^{-\lambda }$$

因此：

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\to \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$

这就是泊松分布的概率公式。

可以简写为：

$$\mathrm{Binomial}(n,\frac{\lambda }{n})\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{Poisson}(\lambda )$$

期望、均值与二项分布的关系

二项分布的参数是 $n$ 和 $p$：

$$X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$$

它的期望是：

$$E[X]=np$$

方差是：

$$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$$

泊松分布的参数是 $\lambda$：

$$Y\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$$

它的期望是：

$$E[Y]=\lambda$$

方差也是：

$$\mathrm{Var}(Y)=\lambda$$

这里的联系是：

$$\lambda =np$$

在二项分布极限中，令：

$$p=\frac{\lambda }{n}$$

于是：

$$E[X]=np=n\cdot \frac{\lambda }{n}=\lambda$$

所以，泊松分布的 $\lambda$ 可以看成二项分布均值 $np$ 在极限过程中的保留值。

二者的区别是：

• 二项分布有固定试验次数 $n$，每次试验成功概率是 $p$。
• 泊松分布没有显式记录“试验次数”，只记录固定区间内的平均发生次数 $\lambda$。
• 二项分布适合“有限次独立试验中成功了几次”。
• 泊松分布适合“固定时间或空间内事件发生了几次”。

二者的联系是：

• 当 $n$ 很大、$p$ 很小，并且 $np=\lambda$ 保持稳定时，二项分布可以用泊松分布近似。
• 二项分布的期望 $np$ 对应泊松分布的参数 $\lambda$。
• 在这个极限下，二项分布的方差 $np(1-p)$ 也趋近于 $\lambda$，因为 $p\to 0$，所以 $1-p\to 1$。

也就是：

$$np(1-p)\to \lambda$$

因此，泊松分布可以理解成一种“稀有事件极限”：事件有很多次潜在发生机会，但每次发生概率很小，最终只留下一个稳定的平均发生次数 $\lambda$。

期望和均值是不是一回事

在概率分布里，“期望”和“均值”通常说的是同一个东西，都是随机变量长期平均下来的中心位置。

所以对于泊松分布：

$$\text{均值}=E[Y]=\lambda$$

对于二项分布：

$$\text{均值}=E[X]=np$$

不过在实际数据分析里，“均值”有时也指样本均值，也就是从数据中算出来的平均值。例如观察很多个小时，每小时事件次数分别是 $x_1,x_2,\dots ,x_m$，样本均值是：

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_m}{m}$$

如果这些数据确实来自泊松分布，那么样本均值 $\overline{x}$ 会用来估计理论参数 $\lambda$。

简短地说：

• 理论分布里，期望就是均值。
• 实际数据里，样本均值是从观测数据算出来的，用来估计理论期望。
• 泊松分布的理论均值是 $\lambda$。
• 二项分布的理论均值是 $np$。