附录 E Stokes 定理

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第 2.10 节引入了一个观点：流形上的积分把 $n$ 形式场映到实数。由此可以极其优雅地表述微分几何中最强有力的定理之一——Stokes 定理。它推广了微积分基本定理

$${\int }_b^{a}dx=a-b.$$

设有一个带边界 $\partial M$ 的 $n$ 维区域 $M$，它也可以是整个流形；又设 $M$ 上有一个 $(n-1)$ 形式 $\omega$。附录 D 已经说明了流形边界的含义。此时 $d\omega$ 是可以在 $M$ 上积分的 $n$ 形式，而 $\omega$ 本身可以在 $\partial M$ 上积分。Stokes 定理就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.1}\text{)}& \boxed{{\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega }.\end{array}$$

这个定理的不同特例不仅包括微积分基本定理，还包括三维向量分析中熟悉的 Green 定理、Gauss 定理和 Stokes 定理。

式（E.1）的表述极其优雅，甚至优雅得几乎不便于直接使用。好在我们可以把它改写成朴素的坐标与指标记号。先把 $(n-1)$ 形式 $\omega$ 写成一形式 $V$ 的 Hodge 对偶：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.2}\text{)}& \omega =\ast V,\end{array}$$

其分量为

这里 $ϵ$ 是 $M$ 上的 Levi–Civita $n$ 形式，最后一行把 $V$ 的指标升了起来。若想从 $\omega$ 重建 $V$，再次施加 Hodge 算子即可：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.4}\text{)}& V=(-1{)}^{s+n-1}\ast \ast V=(-1{)}^{s+n-1}\ast \omega ,\end{array}$$

其中，对 Lorentz 符号差 $s=-1$，对 Euclidean 符号差 $s=+1$。$\omega =\ast V$ 的外微分是一个 $n$ 形式：

这里 $n$ 是区域的维数，不要同边界的法向量 $n^{\mu }$ 混淆。任意 $n$ 形式都可以写成某个函数 $f(x)$ 乘以 $ϵ$，等价地，也可写成 $f(x)$ 的 Hodge 对偶：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.6}\text{)}& d\omega =fϵ=\ast f.\end{array}$$

对两边取对偶，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.7}\text{)}& f=(-1{)}^s\ast \ast f=(-1{)}^s\ast d\omega .\end{array}$$

在当前情形中，

最后回忆，Levi–Civita 张量就是体积元：

合并以上结果，有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.10}\text{)}& d\omega ={\mathrm{\nabla }}_{\nu }{V}^{\nu }\sqrt{|g|}{d}^{n}x.\end{array}$$

因此，在 $n$ 维流形上，$(n-1)$ 形式的外微分恰好是表示向量散度的一种利落方式，只需再乘以度规体积元。

为理解式（E.1）的右边，回忆上一附录的结论：超曲面（例如边界）上的诱导体积元为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.11}\text{)}& \widehat{ϵ}=\sqrt{|\gamma |}{d}^{n-1}y,\end{array}$$

其中 ${\gamma }_{ij}$ 是以坐标 $y^i$ 表示的边界诱导度规。$\widehat{ϵ}$ 在 $M$ 的 $x^{\mu }$ 坐标中的分量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.12}\text{)}& {\widehat{ϵ}}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{n-1}}=n^{\lambda }{ϵ}_{\lambda {\mu }_1\cdots {\mu }_{n-1}},\end{array}$$

其中 $n^{\mu }$ 是边界的单位法向量。对一般超曲面，$n^{\mu }$ 的符号可以任意选择；当超曲面是某个区域的边界时，则有朝内与朝外之分。要正确恢复 Stokes 定理，有一点至关重要：若边界为类时的，应把 $n^{\mu }$ 选成向内；若边界为类空的，应把它选成向外。

$\omega$ 是 $(n-1)$ 形式，所以限制到 $(n-1)$ 维边界以后，它必定与 $\widehat{ϵ}$ 成比例。仿照上一段的推导可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.13}\text{)}& \omega =n_{\mu }{V}^{\mu }\sqrt{|\gamma |}{d}^{n-1}y.\end{array}$$

于是 Stokes 定理把向量场的散度同它在边界上的值联系起来：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.14}\text{)}& \boxed{{\int }_M{d}^{n}x\sqrt{|g|}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{V}^{\mu }={\int }_{\partial M}{d}^{n-1}y\sqrt{|\gamma |}{n}_{\mu }{V}^{\mu }}.\end{array}$$

这是广义相对论中最常见的 Stokes 定理版本。

守恒流与守恒荷

不要以为应用 Stokes 定理一定要降到指标记号。作为一个简单的反例，下面说明同守恒流对应的电荷在十分一般的意义下都是“守恒”的：它不仅在某个特定坐标系中不随时间变化，而且在合理假设下，穿过类空超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的电荷完全不依赖超曲面的选择。

设有守恒流 $J^{\mu }$，也就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.15}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{J}^{\mu }=0.\end{array}$$

用一形式 $J_{\mu }=g_{\mu \nu }{J}^{\nu }$ 表示，守恒条件可以改写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.16}\text{)}& d(\ast J)=0.\end{array}$$

定义穿过超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的电荷为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.17}\text{)}& Q_{\mathrm{\Sigma }}=-{\int }_{\mathrm{\Sigma }}\ast J.\end{array}$$

通常会把 $\mathrm{\Sigma }$ 选为恒定时间超曲面，此时 $Q_{\mathrm{\Sigma }}$ 就是该时刻整个空间中的总电荷；不过，这个公式适用得更广。负号是一项约定，可以暂时转成分量来理解。对照式（E.2）和式（E.13），式（E.17）成为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.18}\text{)}& Q_{\mathrm{\Sigma }}=-{\int }_{\mathrm{\Sigma }}{d}^{n-1}y\sqrt{|\gamma |}{n}_{\mu }{J}^{\mu }.\end{array}$$

这个负号补偿了 $n^{\mu }$ 的时间分量在降指标时得到的负号，从而使正电荷密度 $\rho =J^0$ 给出正的积分总电荷。

现在考虑四维时空区域 $R$：它位于两个空间超曲面 ${\mathrm{\Sigma }}_1$ 与 ${\mathrm{\Sigma }}_2$ 之间，如图 E.1 所示。连接这两个超曲面的那部分边界位于无穷远处，并假设所有场在那里消失，因而可以忽略。守恒律（E.16）和 Stokes 定理（E.1）给出

图 E.1　时空区域 $R$ 的空间方向边界位于无穷远；其未来与过去边界包含两个空间超曲面 ${\mathrm{\Sigma }}_2$ 与 ${\mathrm{\Sigma }}_1$。

第三行的负号来自 ${\mathrm{\Sigma }}_2$ 从 $R$ 继承的取向：它的法向量指向内部，与单独对 ${\mathrm{\Sigma }}_2$ 积分时的惯例选择相反。只要电流在无穷远处消失，在任意类空超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上计算的 $Q_{\mathrm{\Sigma }}$ 都相同。因此，Stokes 定理说明了无散流的存在怎样蕴含守恒荷的存在。

用边界通量计算电荷

Stokes 定理的另一项用途，对应于三维 Euclidean 空间中 Gauss 定理的通常用法：通过在超曲面上积分，真正算出电荷 $Q$。考虑四维时空中的 Maxwell 方程，它描述电磁场强张量 $F_{\mu \nu }$ 如何响应守恒四维电流：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.20}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{F}^{\nu \mu }=J^{\nu }.\end{array}$$

于是可以在式（E.18）中代入 ${\mathrm{\nabla }}_{\nu }{F}^{\nu \mu }$ 来计算电荷：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.21}\text{)}& Q=-{\int }_{\mathrm{\Sigma }}{d}^{3}y\sqrt{|\gamma |}{n}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{F}^{\nu \mu }.\end{array}$$

每当反对称张量场 $F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$ 的散度在超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上积分时，都可以仿照推导式（E.14）的步骤，把散度同 $F^{\mu \nu }$ 在边界上的值联系起来。若超曲面为类时的，这个边界位于空间无穷远：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.22}\text{)}& \boxed{{\int }_{\mathrm{\Sigma }}{d}^{n-1}y\sqrt{|\gamma |}{n}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{F}^{\mu \nu }={\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}{d}^{n-2}z\sqrt{\left|{\gamma }^{(\partial \mathrm{\Sigma })}\right|}{n}_{\mu }{\sigma }_{\nu }{F}^{\mu \nu }}.\end{array}$$

其中 $z^a$ 是 $\partial \mathrm{\Sigma }$ 上的坐标，${\gamma }_{ab}^{(\partial \mathrm{\Sigma })}$ 是 $\partial \mathrm{\Sigma }$ 上的诱导度规，${\sigma }^{\mu }$ 是 $\partial \mathrm{\Sigma }$ 的单位法向量。也许会担心对 $\partial \mathrm{\Sigma }$ 的积分，因为“边界的边界为零”；然而，$\mathrm{\Sigma }$ 只是一块区域边界的组成部分，并非任何区域的完整边界，所以它完全可以有自己的边界。

为确认这套方法确实可用，下面在 Minkowski 空间中恢复点粒子的电荷。把度规写成极坐标形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.23}\text{)}& d{s}^2=-d{t}^2+d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2.\end{array}$$

在本书所用的 Lorentz–Heaviside 约定中，Maxwell 方程不含 $4\pi$；电荷 $q$ 的电场为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.24}\text{)}& E^r=\frac{q}{4\pi r^2},\end{array}$$

其余分量为零。它同场强张量的关系是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.25}\text{)}& F^{tr}=-F^{rt}=E^r.\end{array}$$

两个单位法向量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.26}\text{)}& n^{\mu }=(1,0,0,0),{\sigma }^{\mu }=(0,1,0,0),\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.27}\text{)}& n_{\mu }{\sigma }_{\nu }{F}^{\mu \nu }=-E^r=-\frac{q}{4\pi r^2}.\end{array}$$

空间无穷远处二球面上的度规为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.28}\text{)}& {\gamma }_{ab}^{(S^2)}d{z}^{a}d{z}^b=r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2,\end{array}$$

所以体积元为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{E.29}\text{)}& d^{2}z\sqrt{{\gamma }^{(S^2)}}=r^2\sin \theta d\theta d\varphi .\end{array}$$

把式（E.27）、（E.29）以及（E.21）代入式（E.22），得到

这正是所需答案。

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