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封面

时空与几何

广义相对论导论

Sean M. Carroll

封面图表现一个球体置于弯曲的网格状表面上，两条发光轨迹从它的附近经过。

书名页

时空与几何

广义相对论导论

Sean Carroll

芝加哥大学

Addison Wesley

出版地点：旧金山、波士顿、纽约、开普敦、香港、伦敦、马德里、墨西哥城、蒙特利尔、慕尼黑、巴黎、新加坡、悉尼、东京、多伦多。

出版信息

• 责任编辑（Acquisitions Editor）：Adam Black
• 项目编辑（Project Editor）：Nancy Benton
• 版式设计（Text Designer）：Leslie Galen
• 封面设计（Cover Designer）：Blakeley Kim
• 市场经理（Marketing Manager）：Christy Lawrence
• 印制协调（Manufacturing Coordinator）：Vivian McDougal
• 项目协调与电子排版：Integre Technical Publishing Co., Inc.

版权 © 2004 Pearson Education, Inc.；以 Addison Wesley 名义出版，地址为 1301 Sansome St., San Francisco, CA 94111。保留所有权利。美国制造。本出版物受版权保护；凡法律禁止的复制、存入检索系统，或以电子、机械、影印、录音及其他任何形式和手段传播，均须事先取得出版者许可。如需获得使用本书材料的许可，请向 Pearson Education, Inc., Permissions Department, 1900 E. Lake Ave., Glenview, IL 60025 提交书面申请。

Carroll, Sean

ISBN 0-8053-8732-3（精装）

2 3 4 5 6 7 8 9 10 — MAL — 06 05 04 03

www.aw.com/aw

卷首题词

“倘若每一颗恒星都不过稍大于一个数学点，并由赤经与赤纬定位在天球的半球之上，那么所有恒星合在一起，纵然数不胜数，也必定像任何其他点集一样，共同表示某个单一而庞大的方程；在上帝心中，它也许像球面方程一样直截了当——对我们来说却无法阅读、无法计算。这是一项孤独的、得不到补偿的、也许甚至不可能完成的任务——然而我想，我们当中总得有人不断追寻。”

——Thomas Pynchon，Mason & Dixon

PDF 第 5 页为空白页。

前言

广义相对论是人类所发明的最美丽的物理理论。它用一种优雅的数学结构——弯曲时空的微分几何——来描述我们所经验世界中最普遍的特征之一：引力；由此得到的预言明确无歧义，并且获得了极为壮观的实验验证。广义相对论的结果，从大爆炸到黑洞，往往最先激发年轻人对物理学的兴趣；而当一个人的学习终于走到能够在严格、定量的层面理解这些现象时，那是一种纯粹的喜悦。如果你正在考虑阅读本书，那么你已经走到了这个阶段。

近几十年来，广义相对论（general relativity，GR）已经成为现代物理学中不可分割、不可或缺的一部分。Einstein 于 1916 年提出广义相对论之后，很长一段时间里，人们把它视为一项耀眼的成就，却又认为它多少游离在活跃研究的主流之外。如今，越来越多不同专业的学生发现自己必须学习 Einstein 的理论。广义相对论本身就是一个活跃的研究领域，同时也是所有对天体物理学、宇宙学、弦理论乃至粒子物理学感兴趣者的标准课程内容。这里也不能忽略它更实用的一面，例如全球定位系统（GPS）卫星网络的运行就需要广义相对论。

广义相对论教材并不匮乏，其中许多都非常优秀。大约三十年前，这一领域在相近时期出现了至少三部著作，每一部后来都成为各自意义上的经典：Weinberg（1972）、Misner、Thorne 与 Wheeler（1973），以及 Hawking 与 Ellis（1975）的著作。这些书都浸透着作者强烈坚持的独特观点，于是读者与它们之间常形成一种爱恨交织的关系。对于其中任何一本书，你都不难找到宣称它是有史以来最佳教材的学生，也不难找到觉得它完全难以下咽的学生。对具体读者而言，这些判断很可能都成立，因为进入这个主题的道路确实有许多条。

本书只有一个目的：为研究生或高年级本科生提供一份清晰的广义相对论导论。我试图让书中材料足以覆盖几乎任何一学期广义相对论入门课程所需的主题，同时又不过度扩张。尤其是，我努力抵制把它写成一部综合参考书的诱惑。本书唯一的目标，就是教会你广义相对论。

我有意选择约定俗成的做法，而避免个人化的奇特约定。如果一定要说本书带有某种思想倾向，那就是

倾向于把广义相对论看作一种场论；这种视角有助于理解广义相对论、粒子物理学和弦理论之间的联系。与此同时，广义相对论还有许多令人兴奋的天体物理应用——黑洞、引力透镜、引力波的产生与探测、早期宇宙、晚期宇宙以及宇宙学常数。我努力为这些问题提供至少足够的背景讨论，使学生做好阅读当前研究文献的准备。

任何广义相对论入门教材首先都要面对一个问题：数学严格性应该达到什么程度。这个问题没有唯一正确的答案，因为不同学生面对不同讲法时，理解程度和学习热情也会不同。认识到这一点后，我试图让每一类读者都能在书中找到适合自己的内容。我没有回避细致的形式体系，同时也努力加入具体例子和对概念的非正式讨论。数学味最浓的许多材料被放进了附录。附录中的某些内容其实是课程不可分割的一部分，例如共形图的讨论；不过，读者或授课教师可以自行决定何时深入这些内容，正文中会给出相应提示。

出人意料的是，学习广义相对论所需的正式先修知识非常少；大部分材料都会在前进过程中逐步建立。我们当然不假定读者已经学过 Riemann 几何，而预先学过它也未必一定有帮助。读者最好已经接触过狭义相对论；虽然第 1 章包含相关讨论，但它的目的主要是复习基础并引入记号，并不打算提供一份完全自足的狭义相对论导论。除此之外，电磁学、Lagrange 力学和线性代数方面的一些经验会有帮助，不过所需的核心内容也会在书中给出。

本书结构应当相当清楚。第 1 章复习狭义相对论和基础张量代数，并简要讨论经典场论。接下来的两章相当细致地介绍流形与曲率；其中包含一些用于激发动机的物理讨论，但首要目标是建立数学框架。第 4 章正式引入广义相对论，同时讨论若干替代理论。接下来的四章讨论广义相对论的三类主要应用：黑洞（占两章）、微扰理论与引力波，以及宇宙学。近年来，这些领域中的每一个都经历了研究成果的爆炸式增长，所以本书的讨论必然只能作为入门；不过，我努力强调与当前研究相关的问题。这三类应用可以按任意顺序学习，但正文会指出它们之间的依赖关系。有关实验检验的讨论分散在这些章节中。

第 9 章简要介绍弯曲时空中的量子场论。初次学习广义相对论并不一定需要这部分内容，但它在量子引力和宇宙学研究中已经越来越重要，因此值得一提。另一方面，本书也可耻地忽略了一些主题，例如初值问题和宇宙学微扰理论；遗漏的当然不止这些。幸好，其他可用资料并不短缺。各附录承担着不同作用，其中会讨论

正文刻意避开的技术问题、原本可以放在多个位置的关键概念，以及虽游离于主线之外、却十分有用的补充主题。

本书的目标是教学，而非原创，因此当其他著作（列在参考文献中）的讲解在我看来已经十分合理时，我常常大量借鉴它们。借鉴特别明显之处，我会在正文中说明。读者很容易看出，Wald（1984）的著作是本书最重要的资料来源之一，它已经成为这一领域的标准参考书。希望读完本书后，读者已经做好进入 Wald 书中较高阶章节的准备。

本书由我在 MIT 讲授广义相对论课程时准备的一套讲义发展而来。这套讲义可以在网上免费获取，而且会一直保持免费；下面所列网站会提供链接。本书内容中大概略多于一半可以在讲义里找到，不过拥有本书的好处——最好还拥有好几册——自然是不言而喻的。

无数人对我理解广义相对论以及本书的形成作出了巨大贡献，多到无法完整致谢。不过，有些人必须特别提到。Ted Pyne 与我一同学习这一主题，教会我许多东西，并在我们第一次讲授广义相对论课程时与我合作；那次课程是 Harvard 天文系的一门研讨课，本书有些部分源自我们共同的讲义。Nick Warner 在 MIT 讲授了我最初学习广义相对论时所上的课程，他的讲授显然深刻影响了本书。Neil Cornish 慷慨提供了大量习题，其中许多被收入各章末尾。在阅读过部分书稿并提出建议的许多人当中，Sanaz Arkani-Hamed 还非常耐心地逐字细读了整部书稿。

我还要感谢所有当面或通过电子邮件评论过本书不同部分的人，其中包括 Tigran Aivazian、Teodora Beloreshka、Ed Bertschinger、Patrick Brady、Peter Brown、Jennifer Chen、Michele Ferraz Figueiró、Éanna Flanagan、Jacques Fric、Ygor Geurts、Marco Godina、Monica Guica、Jim Hartle、Tamás Hauer、Daniel Holz、Ted Jacobson、Akash Kansagra、Chuck Keeton、Arthur Kosowsky、Eugene Lim、Jorma Louko、Robert A. McNees、Hayri Mutluay、Simon Ross、Itai Seggev、Robert Wald 和 Barton Zwiebach。若有任何人被我遗漏，在此致歉。

一路走来，我还有幸从许多人那里获得智慧与眼界，其中包括 Shadi Bartsch、George Field、Deryn Fogg、Ilana Harrus、Gretchen Helfrich、Mari Ruti、Maria Spiropulu、Mark Trodden，当然还有我的家人。（这些智慧常常以“你当时到底在想什么？”的形式出现。）最后，我要感谢广义相对论课程中的学生们；本书采用的教学策略最早就是在他们身上接受检验的。我也感谢自己的学生和合作者，因为当我本该做研究却因写书而缺席时，他们一直予以谅解。

我的那些亲自写过教材的朋友告诉我，一本书的第一次印刷偶尔会含有错误。万一这种不太可能的事情也发生在这里，

本书网站会维护一份勘误表：

http://spacetimeandgeometry.net/

网站还会提供读者可能感兴趣的其他相关链接。

在撰写本书期间，我得到了美国国家科学基金会、美国能源部、Alfred P. Sloan 基金会以及 David and Lucile Packard 基金会的资助。

Sean Carroll

Chicago，Illinois

2003 年 6 月

目录

第 1 章 狭义相对论与平直时空（第 1 页）

• 1.1 前奏（Prelude），第 1 页
• 1.2 空间与时间：分开来看与合在一起（Space and Time, Separately and Together），第 3 页
• 1.3 Lorentz 变换（Lorentz Transformations），第 12 页
• 1.4 向量（Vectors），第 15 页
• 1.5 对偶向量或一形式（Dual Vectors / One-Forms），第 18 页
• 1.6 张量（Tensors），第 21 页
• 1.7 张量运算（Manipulating Tensors），第 25 页
• 1.8 Maxwell 方程（Maxwell's Equations），第 29 页
• 1.9 能量与动量（Energy and Momentum），第 30 页
• 1.10 经典场论（Classical Field Theory），第 37 页
• 1.11 习题（Exercises），第 45 页

第 2 章 流形（第 48 页）

• 2.1 作为几何的引力（Gravity as Geometry），第 48 页
• 2.2 什么是流形？（What Is a Manifold?），第 54 页
• 2.3 再论向量（Vectors Again），第 63 页
• 2.4 再论张量（Tensors Again），第 68 页
• 2.5 度规（The Metric），第 71 页
• 2.6 膨胀的宇宙（An Expanding Universe），第 76 页
• 2.7 因果性（Causality），第 78 页
• 2.8 张量密度（Tensor Densities），第 82 页
• 2.9 微分形式（Differential Forms），第 84 页
• 2.10 积分（Integration），第 88 页
• 2.11 习题（Exercises），第 90 页

第 3 章 曲率（第 93 页）

• 3.1 概览（Overview），第 93 页
• 3.2 协变导数（Covariant Derivatives），第 94 页
• 3.3 平行移动与测地线（Parallel Transport and Geodesics），第 102 页

• 3.4 测地线的性质（Properties of Geodesics），第 108 页
• 3.5 再访膨胀宇宙（The Expanding Universe Revisited），第 113 页
• 3.6 Riemann 曲率张量（The Riemann Curvature Tensor），第 121 页
• 3.7 Riemann 张量的性质（Properties of the Riemann Tensor），第 126 页
• 3.8 对称性与 Killing 向量（Symmetries and Killing Vectors），第 133 页
• 3.9 最大对称空间（Maximally Symmetric Spaces），第 139 页
• 3.10 测地线偏离（Geodesic Deviation），第 144 页
• 3.11 习题（Exercises），第 146 页

第 4 章 引力（第 151 页）

• 4.1 弯曲时空中的物理学（Physics in Curved Spacetime），第 151 页
• 4.2 Einstein 方程（Einstein's Equation），第 155 页
• 4.3 Lagrangian 表述（Lagrangian Formulation），第 159 页
• 4.4 Einstein 方程的性质（Properties of Einstein's Equation），第 165 页
• 4.5 宇宙学常数（The Cosmological Constant），第 171 页
• 4.6 能量条件（Energy Conditions），第 174 页
• 4.7 再论等效原理（The Equivalence Principle Revisited），第 177 页
• 4.8 替代理论（Alternative Theories），第 181 页
• 4.9 习题（Exercises），第 190 页

第 5 章 Schwarzschild 解（第 193 页）

• 5.1 Schwarzschild 度规（The Schwarzschild Metric），第 193 页
• 5.2 Birkhoff 定理（Birkhoff's Theorem），第 197 页
• 5.3 奇点（Singularities），第 204 页
• 5.4 Schwarzschild 时空中的测地线（Geodesics of Schwarzschild），第 205 页
• 5.5 实验检验（Experimental Tests），第 212 页
• 5.6 Schwarzschild 黑洞（Schwarzschild Black Holes），第 218 页
• 5.7 最大延拓的 Schwarzschild 解（The Maximally Extended Schwarzschild Solution），第 222 页
• 5.8 恒星与黑洞（Stars and Black Holes），第 229 页
• 5.9 习题（Exercises），第 236 页

第 6 章 更一般的黑洞（第 238 页）

• 6.1 黑洞动物园（The Black Hole Zoo），第 238 页
• 6.2 事件视界（Event Horizons），第 239 页
• 6.3 Killing 视界（Killing Horizons），第 244 页
• 6.4 质量、电荷与自旋（Mass, Charge, and Spin），第 248 页
• 6.5 带电的 Reissner–Nordström 黑洞（Charged Reissner–Nordström Black Holes），第 254 页
• 6.6 旋转的 Kerr 黑洞（Rotating Kerr Black Holes），第 261 页
• 6.7 Penrose 过程与黑洞热力学（The Penrose Process and Black-Hole Thermodynamics），第 267 页
• 6.8 习题（Exercises），第 272 页

第 7 章 微扰理论与引力辐射（第 274 页）

• 7.1 线性化引力与规范变换（Linearized Gravity and Gauge Transformations），第 274 页
• 7.2 自由度（Degrees of Freedom），第 279 页
• 7.3 Newton 场与光子轨迹（Newtonian Fields and Photon Trajectories），第 286 页
• 7.4 引力波解（Gravitational Wave Solutions），第 293 页
• 7.5 引力波的产生（Production of Gravitational Waves），第 300 页
• 7.6 引力辐射造成的能量损失（Energy Loss Due to Gravitational Radiation），第 307 页
• 7.7 引力波探测（Detection of Gravitational Waves），第 315 页
• 7.8 习题（Exercises），第 320 页

第 8 章 宇宙学（第 323 页）

• 8.1 最大对称宇宙（Maximally Symmetric Universes），第 323 页
• 8.2 Robertson–Walker 度规（Robertson–Walker Metrics），第 329 页
• 8.3 Friedmann 方程（The Friedmann Equation），第 333 页
• 8.4 尺度因子的演化（Evolution of the Scale Factor），第 338 页
• 8.5 红移与距离（Redshifts and Distances），第 344 页
• 8.6 引力透镜（Gravitational Lensing），第 349 页
• 8.7 我们的宇宙（Our Universe），第 355 页
• 8.8 暴胀（Inflation），第 365 页
• 8.9 习题（Exercises），第 374 页

第 9 章 弯曲时空中的量子场论（第 376 页）

• 9.1 引言（Introduction），第 376 页
• 9.2 量子力学（Quantum Mechanics），第 378 页
• 9.3 平直时空中的量子场论（Quantum Field Theory in Flat Spacetime），第 385 页
• 9.4 弯曲时空中的量子场论（Quantum Field Theory in Curved Spacetime），第 394 页
• 9.5 Unruh 效应（The Unruh Effect），第 402 页
• 9.6 Hawking 效应与黑洞蒸发（The Hawking Effect and Black Hole Evaporation），第 412 页

附录（第 423 页）

• 附录 A：流形之间的映射（Maps between Manifolds），第 423 页
• 附录 B：微分同胚与 Lie 导数（Diffeomorphisms and Lie Derivatives），第 429 页
• 附录 C：子流形（Submanifolds），第 439 页
• 附录 D：超曲面（Hypersurfaces），第 443 页

• 附录 E：Stokes 定理（Stokes's Theorem），第 453 页
• 附录 F：测地线丛（Geodesic Congruences），第 459 页
• 附录 G：共形变换（Conformal Transformations），第 467 页
• 附录 H：共形图（Conformal Diagrams），第 471 页
• 附录 I：平行传播子（The Parallel Propagator），第 479 页
• 附录 J：非坐标基（Noncoordinate Bases），第 483 页
• 参考文献（Bibliography），第 495 页
• 索引（Index），第 501 页

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