引力的替代理论

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我们现在已经用两种不同方式论证了爱因斯坦方程：一种把它看作牛顿引力势泊松方程的自然协变推广；另一种把它看作对我们能为度规构想出的最简单作用量作变分的结果。本课程余下的内容将探索这些方程的后果，不过在踏上这条路之前，先简要考察一下可以怎样修改这些方程。这样的修改方式多得不可数，但我们将考虑四种不同可能：引入宇宙学常数、在作用量中加入高阶项、引入引力标量场，以及允许挠率张量不为零。

宇宙学常数

第一种可能是宇宙学常数；据乔治·伽莫夫转述，爱因斯坦曾称它为自己一生中最大的错误。回想我们寻找最简单的引力作用量时曾经指出，任何非平凡标量都必须至少是度规导数的二阶量；在更低阶，我们能构造出的只有一个常数。常数本身不会带来多么有趣的动力学，但如果把它加入通常的希尔伯特作用量，就会产生重要影响。因此，我们考虑如下作用量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.73}\text{)}& S=\int d^{n}x\sqrt{-g}(R-2\mathrm{\Lambda }),\end{array}$$

其中 $\mathrm{\Lambda }$ 是某个常数。由此得到的场方程为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.74}\text{)}& R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=0,\end{array}$$

当然，如果我们还加入了物质的作用量，右边就会有一个能量—动量张量。$\mathrm{\Lambda }$ 就是宇宙学常数；爱因斯坦最初引入它，是因为人们已经看清：当物质含量不为零时，他的方程没有能够表示静态宇宙学（即大尺度上不随时间变化的宇宙）的解。如果把宇宙学常数调到恰当数值，确实可以找到静态解，但它对微小扰动并不稳定。此外，哈勃证明宇宙正在膨胀之后，寻找静态解就不再那么重要，爱因斯坦也放弃了自己的提议。然而，宇宙学常数如同拉斯普京一样，事实证明很难彻底除掉。我们若愿意，可以把 (4.74) 中的附加项移到右边，把它看作一种能量—动量张量，其中 $T_{\mu \nu }=-\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }$（由于度规适配性，它自动守恒）。这样，$\mathrm{\Lambda }$ 就可以解释成“真空的能量密度”：即使没有物质场，它也作为能量和动量的源存在。这个解释之所以重要，是因为量子场论预言真空应当具有某种能量和动量。在普通量子力学中，一个频率为 $\omega$、经典最低能量为 $E_0=0$ 的谐振子，量子化后会有能量为 $E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega$ 的基态。量子化的场可以看作无限多个谐振子的集合，每个模式都会为基态能量作出贡献。结果当然是无穷大，必须采用适当方法加以正规化，例如在高频处引入截断。最终的真空能量是理论中所有场的基态振荡能量经过正规化后的总和；没有充分理由认为它应当为零，事实上，我们预期它具有如下自然尺度：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.75}\text{)}& \mathrm{\Lambda }\sim m_P^4,\end{array}$$

其中普朗克质量 $m_P$ 大约为 ${10}^{19}$ GeV，也就是 ${10}^{-5}$ 克。对宇宙大尺度结构的观测，使我们能够约束 $\mathrm{\Lambda }$ 的实际数值；结果表明，它至少比 (4.75) 小 ${10}^{120}$ 倍。这是物理学中已知的理论估计与观测约束之间最大的差异，许多人因此确信，“宇宙学常数问题”是当今最重要的未解问题之一。另一方面，观测并没有告诉我们 $\mathrm{\Lambda }$ 严格为零；事实上，观测允许它取某些能够对宇宙演化产生重要后果的值。于是，爱因斯坦的这个错误继续困扰着两类人：物理学家想弄清它为何如此之小，天文学家则想确定它是否真的小到可以忽略。

高阶曲率项

希尔伯特作用量还有一种稍显乏味的推广：加入含度规导数高于二阶的标量。我们可以设想如下形式的作用量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.76}\text{)}& S=\int d^{n}x\sqrt{-g}(R+{\alpha }_1{R}^2+{\alpha }_2{R}_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+{\alpha }_3{g}^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }R{\mathrm{\nabla }}_{\nu }R+\cdots ),\end{array}$$

其中各个 $\alpha$ 是耦合常数，省略号表示我们能用曲率张量、它的各种缩并及其导数构造出的所有其他标量。传统上，人们会忽略这些项，理由颇为合理：它们只会让一个已经在审美上令人满意、在经验上获得成功的理论变得更复杂。不过，至少还有三个更实质性的理由支持这种忽略。第一，正如下面将看到的，爱因斯坦方程为度规导出一个适定的初值问题：在初始时刻指定“坐标”和“动量”，就可以用它们预测未来的演化。加入高阶导数项后，我们需要的数据除了这些之外，还会包括动量的若干阶导数。第二，粒子物理学家对广义相对论最主要的不满，是它（据我们所知）不可重整化；而含高阶导数的拉格朗日量通常会让理论的可重整化程度进一步降低。第三，利用上面讨论等效原理局限时所用的相同论证，(4.76) 中的附加项相对于通常的希尔伯特项应当受到压低（由某次幂的普朗克质量来压低），所以我们预期它们不会对低能世界产生任何实际重要性。这些理由都没有完全令人信服；事实上，人们仍在继续研究这类理论。不过总体而言，这些模型并没有吸引太多关注。

标量张量引力理论

有一组模型确实受到关注，它们称为引力的标量—张量理论，因为其中既有度规张量 $g_{\mu \nu }$，也有一个基本标量场 $\lambda$。作用量可以写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.77}\text{)}& S=\int d^{n}x\sqrt{-g}[f(\lambda )R+\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }({\partial }_{\mu }\lambda )({\partial }_{\nu }\lambda )-V(\lambda )],\end{array}$$

其中 $f(\lambda )$ 与 $V(\lambda )$ 是定义该理论的函数。回想 (4.68)，通常 GR 中里奇标量的系数与牛顿常数 $G$ 的倒数成正比。在标量—张量理论中，这个系数由某个场的函数取代，而这个场可以在整个时空中变化；因此，引力的“强度”（以牛顿常数的局部值来衡量）会随地点和时间而不同。事实上，最著名的标量—张量理论由布兰斯和迪克创立，如今也以二人命名；它的灵感来自狄拉克关于引力常数随时间变化的建议。狄拉克注意到，把哈勃常数 $H_0$（衡量宇宙膨胀速率的量）等宇宙学数值与典型的粒子物理参数——例如 $\pi$ 介子的质量 $m_{\pi }$——组合起来，可以发现一些有趣的数值巧合。例如，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.78}\text{)}& \frac{m_{\pi }^3}{H_0}\sim \frac{cG}{{\hslash }^2}.\end{array}$$

暂且假定这个关系并非纯属偶然，我们马上会面临一个问题：在大多数宇宙学模型中，哈勃“常数”其实会随时间变化，而其余各量按照通常看法都不会变化。因此，狄拉克提出，$G$ 事实上也随时间变化，并且变化方式恰好维持 (4.78)；满足这一提议正是布兰斯与迪克的研究动机。如今，广义相对论的实验检验已经足够精确，我们可以有把握地说：如果布兰斯—迪克理论正确，那么它预言的 $G$ 在空间和时间中的变化必定非常微小，远远慢于满足狄拉克假说所需要的变化速度。（关于布兰斯—迪克理论和实验检验的细节，可参见 Weinberg。）尽管如此，人们仍在大量研究其他类型的标量—张量理论；事实表明，这些理论在超弦理论中至关重要，并且可能对极早期宇宙产生重要影响。

独立联络与挠率

作为广义相对论的最后一种替代方案，我们还应提到这样一种可能：联络并非由度规导出，实际上它作为一个基本场独立存在。我们把下面的证明留作练习：可以考虑通常的广义相对论作用量，却把它同时视为度规 $g_{\mu \nu }$ 与无挠联络 ${\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\lambda }$ 的函数；对联络改变分这个作用量所得的运动方程，会蕴含 ${\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\lambda }$ 实际上就是与 $g_{\mu \nu }$ 相联系的克里斯托费尔联络。我们也可以放弃联络无挠的要求，这样一来，挠率张量便可能带来额外的传播自由度。这里不讨论细节；这类理论没有受到太多关注的基本原因很简单：挠率本身就是一个张量，没有什么能把它与其他“非引力”张量场区分开来。因此，考虑无挠联络的理论（它会导向 GR），再加上任意多个可以随意命名的张量场，实际上并不会损失任何一般性。

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