微分同胚不变性与能量动量守恒

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广义相对论中的微分同胚不变性

让我们把其中一些思想放到广义相对论的语境中。你经常会听到一种说法：GR 是一种“微分同胚不变”的理论。它的含义是，若宇宙由带有度量 $g_{\mu \nu }$ 和物质场 $\psi$ 的流形 $M$ 表示，而 $\varphi :M\to M$ 是一个微分同胚，那么 $(M,g_{\mu \nu },\psi )$ 与 $(M,{\varphi }_{\ast }{g}_{\mu \nu },{\varphi }_{\ast }\psi )$ 这两组对象表示同一种物理情形。由于微分同胚就是主动坐标变换，这不过是用一种高深的方式说该理论具有坐标不变性。这种陈述虽然正确，却造成了大量误解，原因很简单：它传达的信息少得可怜。任何还算像样的物理理论都具有坐标不变性，以狭义相对论或 Newton 力学为基础的理论也包括在内；GR 在这一点上并不独特。人们说 GR 具有微分同胚不变性时，十有八九心里指的是两个（彼此密切相关的）概念之一：这个理论不含“先验几何”（prior geometry），并且时空没有优先坐标系。前一个概念源于度量是动力学变量，联络、体积元等随之也都是动力学的。与经典力学或 SR 不同，没有任何东西预先交到我们手里。结果，我们无法通过固守某个适配于几何中绝对要素的特定坐标系来简化问题。这种局面迫使我们格外谨慎；GR 中两个看似不同的（物质与度量）配置，实际上可能“相同”，它们由一个微分同胚联系起来。在量子引力的路径积分方法中，我们希望对一切可能的配置求和，此时必须特别小心，不能让物理上不可区分的配置贡献多次，从而发生重复计数。与此同时，在 SR 或 Newton 力学中，一组优先坐标的存在使我们免受这类歧义困扰。GR 没有优先坐标系这一事实，经常被含混地说成它具有坐标不变性（或“广义协变性”）；两种说法都正确，但其中一种包含的实质内容更多。

从物质作用量推出守恒律

另一方面，微分同胚不变性这一事实也能派上用场。回想一下，引力与一组物质场 ${\psi }^i$ 耦合时，完整作用量由 GR 的 Hilbert 作用量与物质作用量之和给出：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.34}\text{)}& S=\frac{1}{8\pi G}{S}_H[g_{\mu \nu }]+S_M[g_{\mu \nu },{\psi }^i].\end{array}$$

单独考察时，Hilbert 作用量 $S_H$ 具有微分同胚不变性，所以若要让完整作用量保持不变，物质作用量 $S_M$ 也必须如此。我们可以把微分同胚作用下 $S_M$ 的变分写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.35}\text{)}& \delta S_M=\int d^{n}x\frac{\delta S_M}{\delta g_{\mu \nu }}\delta g_{\mu \nu }+\int d^{n}x\frac{\delta S_M}{\delta {\psi }^i}\delta {\psi }^i.\end{array}$$

我们考虑的并非场的任意变分，只考虑由微分同胚引起的那些变分。即便如此，物质运动方程仍告诉我们，$S_M$ 关于 ${\psi }^i$ 的变分对任意变分都为零（因为作用量的引力部分不含物质场）。因此，对一个具有微分同胚不变性的理论，(5.35) 右边第一项必须为零。如果这个微分同胚由向量场 $V^{\mu }(x)$ 生成，度量的无穷小变化就直接由它沿 $V^{\mu }$ 的李导数给出；根据 (5.33)，有

令 $\delta S_M=0$，便可推出

这里之所以可以去掉 ${\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{V}_{\nu )}$ 中的对称化，是因为 $\delta S_M/\delta g_{\mu \nu }$ 已经是对称的。要求 (5.37) 对由任意向量场 $V^{\mu }$ 生成的微分同胚都成立，再使用 (4.70) 对能量—动量张量的定义，就恰好得到能量—动量守恒定律：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.38}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.\end{array}$$

这正是我们先前声称 $T_{\mu \nu }$ 的守恒并非仅仅源于等效原理的原因；它有稳固得多的基础，只依赖于理论的微分同胚不变性。

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