等效原理与爱因斯坦方程

本篇对应原讲义第四章。前面已经建立度规、测地线和曲率，现在要回答广义相对论的动力学问题：物质怎样决定曲率，曲率又怎样表现为引力。

完整译文分节

1. 等效原理与引力红移
2. 弯曲时空与 Newton 极限
3. 弯曲时空中的物理与 Einstein 方程
4. Hilbert 作用量、能量动量张量与弱能量条件
5. 替代引力理论
6. 初值问题与因果性

下面其余内容是本站为本章编写的导读。

等效原理的三个层次

惯性质量与引力质量相等

Newton 力学中

$$m_{\mathrm{i}}\mathit{a}=-m_{\mathrm{g}}\mathbf{\nabla }\mathrm{\Phi }.$$

实验显示 $m_{\mathrm{i}}/m_{\mathrm{g}}$ 对不同物体相同，于是自由落体加速度与物体质量和组成无关。

均匀引力场与加速参考系局部等效

密闭电梯中的观察者仅靠局部实验无法区分：

• 电梯静止在均匀引力场中；
• 电梯在无引力区域做匀加速运动。

“局部”非常重要。足够大的电梯可以测出潮汐效应，从而发现不同位置的自由落体加速度略有不同。

局部惯性系

在每个时空点，都能选择自由落体坐标使

$$g_{\mu \nu }(p)={\eta }_{\mu \nu },{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }(p)=0.$$

在这个点，非引力物理定律取狭义相对论形式。曲率涉及联络的变化，无法通过一次坐标选择在整个邻域内消去。

引力红移

先用等效原理做思想实验。高度差为 $h$ 的加速火箭具有加速度 $g$。光从底部传播到顶部需要时间约 $h$，顶部接收器在这段时间内增加速度 $gh$，因 Doppler 效应测得频率降低：

$$\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\omega }\approx -gh.$$

由等效原理，在弱静态引力场中

$$\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\omega }\approx {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{e}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{o}},$$

其中 ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{e}}$ 和 ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{o}}$ 分别是发射点和观测点的 Newton 引力势。光从低势处向高势处传播时红移。

静态度规中的精确表达

若时空具有类时 Killing 向量 ${\xi }^{\mu }=({\partial }_t{)}^{\mu }$，光子沿测地线的

$$E=-k_{\mu }{\xi }^{\mu }$$

守恒。静止观察者的四速度为

$$U^{\mu }=\frac{{\xi }^{\mu }}{\sqrt{-{\xi }^{\nu }{\xi }_{\nu }}}.$$

其测得频率

$$\omega =-k_{\mu }{U}^{\mu }=\frac{E}{\sqrt{-g_{00}}}.$$

于是两个静止观察者测得的频率满足

$$\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=\sqrt{\frac{-g_{00}(x_1)}{-g_{00}(x_2)}}.$$

这里的频率变化来自观察者四速度与光子四动量的内积，并非光子携带某个绝对频率在途中被消耗。

自由落体就是测地线运动

无外力测试粒子的作用量为

$$S=-m\int \mathrm{d}\tau .$$

变分得到

$$U^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{U}^{\mu }=0.$$

坐标形式是

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\tau }^2}+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\nu \rho }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}\tau }\frac{\mathrm{d}{x}^{\rho }}{\mathrm{d}\tau }=0.$$

广义相对论把“引力”吸收到时空几何中。自由落体的四加速度为零，坐标位置仍可能加速，因为坐标基和坐标时间不必对应局部惯性观测。

Newton 极限怎样限制度规

考虑静态弱场

$$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu },|h_{\mu \nu }|\ll 1,$$

以及缓慢运动粒子 $|\mathrm{d}{x}^i/\mathrm{d}t|\ll 1$。空间测地线方程的主导项为

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^i}{\mathrm{d}{t}^2}\approx -{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{00}.$$

静态条件 ${\partial }_0{g}_{\mu \nu }=0$ 给出

$${\mathrm{\Gamma }}^i{}_{00}\approx -\frac{1}{2}{\partial }_i{h}_{00}.$$

所以

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^i}{\mathrm{d}{t}^2}\approx \frac{1}{2}{\partial }_i{h}_{00}.$$

与 Newton 方程

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^i}{\mathrm{d}{t}^2}=-{\partial }_i\mathrm{\Phi }$$

比较，得到

$$h_{00}=-2\mathrm{\Phi },g_{00}=-(1+2\mathrm{\Phi }).$$

Newton 引力势因此出现在度规的时间分量中。引力时间膨胀和自由落体来自同一个 $g_{00}$。

场方程需要满足什么

我们寻找一个对称二阶张量方程，把几何与物质联系起来：

$$\text{几何张量}=\kappa T_{\mu \nu }.$$

候选几何张量应满足：

1. 对称，因为 $T_{\mu \nu }$ 对称；
2. 局部，由度规及其有限阶导数组成；
3. 坐标协变；
4. 协变散度为零，以匹配 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$；
5. 在弱静态极限中退化为 Poisson 方程 ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho$。

Ricci 张量本身一般不满足零散度。Bianchi 恒等式给出的组合

$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$$

满足

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0.$$

Einstein 方程

最简单的场方程为

$$G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }.$$

加入宇宙学常数后是

$$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }.$$

因为 ${\mathrm{\nabla }}_{\rho }{g}_{\mu \nu }=0$，$\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }$ 也自动具有零协变散度。

迹反转形式

对四维 Einstein 方程取迹：

$$g^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }=R-2R=-R=8\pi GT.$$

所以

$$R=-8\pi GT.$$

代回得到

$$R_{\mu \nu }=8\pi G(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }T).$$

含宇宙学常数时则为

$$R_{\mu \nu }=8\pi G(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }T)+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }.$$

从 Newton 极限确定系数

非相对论物质满足

$$T_{00}\approx \rho ,T_{0i}\approx 0,T_{ij}\ll T_{00},$$

因此

$$T=g^{\mu \nu }{T}_{\mu \nu }\approx -\rho .$$

迹反转方程的 $00$ 分量为

$$R_{00}\approx 8\pi G(\rho -\frac{1}{2}(-1)(-\rho ))=4\pi G\rho .$$

另一方面，弱静态度规给出

$$R_{00}\approx {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }.$$

于是恢复 Poisson 方程

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho .$$

这一步固定了 Einstein 方程中的 $8\pi G$。

物质怎样进入弯曲时空

等效原理给出最小耦合规则：

Minkowski 度规 eta  →  一般度规 g
偏导数 partial      →  协变导数 nabla
平直体积元 d^4x     →  sqrt(-g) d^4x

例如平直时空中的标量场作用量

$$S_{\varphi }=\int {\mathrm{d}}^{4}x[-\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_{\nu }\varphi -V(\varphi )]$$

推广为

$$S_{\varphi }=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}[-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }\varphi {\mathrm{\nabla }}_{\nu }\varphi -V(\varphi )].$$

标量满足 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }\varphi ={\partial }_{\mu }\varphi$，但二阶导数和体积元仍包含几何信息。

Hilbert 作用量

引力作用量取最简单的曲率标量：

$$S_{\mathrm{g}}=\frac{1}{16\pi G}\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}(R-2\mathrm{\Lambda }).$$

总作用量为

$$S=S_{\mathrm{g}}+S_{\mathrm{m}}.$$

对逆度规 $g^{\mu \nu }$ 变分。首先有

$$\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}{g}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }.$$

Ricci 标量变分为

$$\delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }.$$

Palatini 恒等式把最后一项写成全散度：

$$g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\rho }(g^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }-g^{\mu \rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \nu }).$$

在适当边界条件或补充边界项后，它不贡献体内运动方程。于是

$$\delta S_{\mathrm{g}}=\frac{1}{16\pi G}\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}(G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu })\delta g^{\mu \nu }.$$

定义物质能量动量张量

$$T_{\mu \nu }=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\mathrm{m}}}{\delta g^{\mu \nu }},$$

所以

$$\delta S_{\mathrm{m}}=-\frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}{T}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }.$$

令任意 $\delta g^{\mu \nu }$ 下总变分为零，得到

$$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }.$$

场方程因此也可以看成时空几何的 Euler–Lagrange 方程。

局部能量动量守恒

Bianchi 恒等式和场方程共同给出

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.$$

这是一条局部方程。一般弯曲时空未必拥有全局类时平移对称，因此未必能定义一个对整个宇宙都守恒的总能量。

对尘埃

$$T^{\mu \nu }=\rho U^{\mu }{U}^{\nu },$$

展开守恒式：

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\rho U^{\mu }{U}^{\nu })=0.$$

把它沿 $U_{\nu }$ 投影得到粒子数连续性方程；投影到与 $U$ 正交方向得到

$$U^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{U}^{\nu }=0.$$

所以尘埃的局部守恒包含自由落体测地线运动。

完美流体与压力的引力效应

弯曲时空中的完美流体为

$$T_{\mu \nu }=(\rho +p)U_{\mu }{U}_{\nu }+p{g}_{\mu \nu }.$$

迹为

$$T=-\rho +3p.$$

迹反转源项中，压力和能量密度共同出现。宇宙学加速度方程含有 $\rho +3p$，显示压力也产生引力效应。

能量条件

能量条件是对合理物质的附加假设，不是 Einstein 方程自动推出的定理。

弱能量条件

任意类时观察者 $U^{\mu }$ 测得的能量密度非负：

$$T_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }\ge 0.$$

完美流体中等价于

$$\rho \ge 0,\rho +p\ge 0.$$

零能量条件

任意类光向量 $k^{\mu }$ 满足

$$T_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }\ge 0.$$

它在聚焦定理和奇点定理中发挥作用。量子场可以在局部违反某些经典能量条件，因此使用结论时要明确假设范围。

真空并不等于没有引力

真空区域满足

$$T_{\mu \nu }=0.$$

若 $\mathrm{\Lambda }=0$，场方程给出

$$R_{\mu \nu }=0.$$

但 Weyl 张量仍可非零，所以真空可以存在潮汐场和引力波。Schwarzschild 外部区域和真空引力波都说明“没有局部物质”不等于“时空平直”。

初值、约束与坐标自由

Einstein 方程看似有十个独立分量，但坐标选择带来四个自由函数，Bianchi 恒等式也使方程之间存在依赖。

在一个空间超曲面上给定：

• 三维空间度规；
• 它如何嵌入四维时空的外曲率；
• 物质场及其初值；

这些数据必须先满足四个约束方程。其余演化方程再把数据推进到未来。选择 harmonic gauge 等坐标条件，可以把主部写成双曲型方程，明确因果传播和定义域依赖。

常见误区

把等效原理理解为所有引力都能全局消掉

局部惯性坐标只在一点消去联络。曲率和潮汐效应仍然存在。

认为 Einstein 方程说明“物质在某个外部空间中压弯时空”

曲率由度规内在定义，不需要外部嵌入空间。图中橡皮膜只是有限类比。

认为 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ 总能积分成全局守恒能量

全局守恒量通常还需要相应的时空对称性和合适边界条件。

忽略近似条件

$g_{00}=-(1+2\mathrm{\Phi })$ 使用弱场、静态和低速条件。离开这些条件后，不能只靠一个 Newton 势描述引力。

本篇自检

1. 等效原理为何只能局部消去引力的一阶效应？
2. 怎样从慢速测地线得到 $g_{00}=-(1+2\mathrm{\Phi })$？
3. 为什么场方程使用 Einstein 张量而非单独的 Ricci 张量？
4. Newton 极限怎样确定系数 $8\pi G$？
5. Hilbert 作用量变分中哪个部分成为边界项？
6. 真空 $R_{\mu \nu }=0$ 为什么仍可有潮汐力？

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