引力波携带的能量

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二阶展开与引力场的能量—动量张量

从技术层面看，一旦我们追问能量—动量张量应当采取何种形式，困难便开始出现。我们先前已经提到电磁学和标量场理论的能量—动量张量，而两者共有一个重要特征——它们都是相应场的二次式。按照假设，我们处理弱场极限的方法一直是只保留度规扰动的一次项。因此，为了追踪引力波所携带的能量，我们将不得不把计算至少扩展到 $h_{\mu \nu }$ 的二阶。事实上，我们自始至终都略微投机取巧。在讨论引力波对测试粒子的影响，以及双星系统产生引力波的过程时，我们一直使用测试粒子沿测地线运动这一事实。然而我们知道，这一事实来自能量—动量的协变守恒，即 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$。可是，在我们迄今采用的阶数下，实际得到的是 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$；这将意味着测试粒子在平直背景度规中沿直线运动。这是弱场极限内在不自洽的一种表现。在实际操作中，我们所能做的最好办法，就是把弱场方程求解到某个合适的阶数，然后再事后论证该解的有效性。

把这些问题放在心里，现在来考察精确到二阶的爱因斯坦方程（真空中），看看怎样用引力场的能量—动量张量来解释所得结果。如果把度规写成 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$，那么在一阶有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.95}\text{)}& G_{\mu \nu }^{(1)}[\eta +h]=0,\end{array}$$

其中 $G_{\mu \nu }^{(1)}$ 是爱因斯坦张量按 $h_{\mu \nu }$ 展开后的一阶部分。这些方程在相差（不可避免的）规范变换的意义下确定了 $h_{\mu \nu }$，所以为了在二阶满足方程，我们必须加入一个更高阶的扰动，并写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.96}\text{)}& g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }^{(2)}.\end{array}$$

爱因斯坦方程的二阶版本由所有关于 $h_{\mu \nu }$ 的二次项，或关于 $h_{\mu \nu }^{(2)}$ 的一次项组成。由于任何交叉项都至少是三阶的，因此有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.97}\text{)}& G_{\mu \nu }^{(1)}[\eta +h^{(2)}]+G_{\mu \nu }^{(2)}[\eta +h]=0.\end{array}$$

这里，$G_{\mu \nu }^{(2)}$ 是爱因斯坦张量中关于度规扰动的二阶部分。它可以由二阶里奇张量计算，而后者由下式给出：

只需作如下定义，我们便可以把（6.97）写成一个颇具启发性的形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.99}\text{)}& G_{\mu \nu }^{(1)}[\eta +h^{(2)}]=8\pi G{t}_{\mu \nu },\end{array}$$

其中定义

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.100}\text{)}& t_{\mu \nu }=-\frac{1}{8\pi G}{G}_{\mu \nu }^{(2)}[\eta +h].\end{array}$$

当然，这一记号意在暗示我们把 $t_{\mu \nu }$ 看作一个能量—动量张量，确切地说，是引力场的能量—动量张量（至少在弱场范围内如此）。为了让这一说法显得可信，请注意，$G_{\mu \nu }^{(1)}[\eta +h^{(2)}]$ 的比安基恒等式意味着 $t_{\mu \nu }$ 在平直空间的意义下是守恒的：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.101}\text{)}& {\partial }_{\mu }{t}^{\mu \nu }=0.\end{array}$$

有效张量的局限与全局能量

遗憾的是，把 $t_{\mu \nu }$ 解释成能量—动量张量存在一些局限。当然，在完整理论中它根本算不上一个张量，不过依照我们的假设，暂且把这一点搁置。更重要的是，它并不具有规范变换（无穷小微分同胚）下的不变性，直接计算即可验证这一点。不过，我们可以构造一些全局量，它们在某些特殊类型的规范变换下保持不变（基本上就是那些在无穷远处足够快消失的变换；参见 Wald）。这些量包括恒定时间曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上的总能量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.102}\text{)}& E={\int }_{\mathrm{\Sigma }}{t}_{00}{d}^{3}x,\end{array}$$

以及向无穷远处辐射出去的总能量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.103}\text{)}& \mathrm{\Delta }E={\int }_S{t}_{0\mu }{n}^{\mu }{d}^{2}xdt.\end{array}$$

这里，积分取遍类时曲面 $S$；它由无穷远处的一个类空二维球面在某段时间区间内扫出，而 $n^{\mu }$ 是垂直于 $S$ 的单位类空向量。

四极矩辐射功率

若要根据辐射源的四极矩来计算这些公式，需要一番冗长的推导，我们不在这里复述。无需进一步铺垫，辐射能量可以写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.104}\text{)}& \mathrm{\Delta }E=\int Pdt,\end{array}$$

其中功率 $P$ 由下式给出：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.105}\text{)}& P=\frac{G}{45}{\left[\frac{d^3{Q}^{ij}}{d{t}^3}\frac{d^3{Q}_{ij}}{d{t}^3}\right]}_{t_r},\end{array}$$

而这里的 $Q_{ij}$ 是四极矩的无迹部分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.106}\text{)}& Q_{ij}=q_{ij}-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{\delta }^{kl}{q}_{kl}.\end{array}$$

双星系统的辐射功率

对于（6.93）所表示的双星系统，四极矩的无迹部分为

因而它对时间的三阶导数为

所以双星系统辐射的功率为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.109}\text{)}& P=\frac{2^7}{5}G{M}^2{r}^4{\mathrm{\Omega }}^6,\end{array}$$

或者，利用（6.89）给出的频率表达式，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.110}\text{)}& P=\frac{2}{5}\frac{G^4{M}^5}{r^5}.\end{array}$$

赫尔斯—泰勒双星的观测

当然，这一效应确实已经被观测到了。1974 年，赫尔斯（Hulse）和泰勒（Taylor）发现了一个双星系统 PSR1913+16，其中两颗星的体积都非常小（因而经典效应可以忽略，或至少能够得到控制），并且其中一颗是脉冲星。它的轨道周期为八小时，按照天体物理学的标准，这极其短暂。其中一颗星是脉冲星这一事实为我们提供了一只非常精确的时钟；以它为基准，便可以测量系统损失能量时轨道周期发生的变化。测量结果与广义相对论对引力辐射所致能量损失的预言一致。赫尔斯和泰勒因这一工作于 1993 年获得诺贝尔奖。

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