流形、坐标与张量场

本篇对应原讲义第二章。平直时空可以用一套全局 Cartesian 坐标描述，弯曲时空一般做不到。流形语言允许我们在每个小区域使用坐标，同时保证不同区域的描述能够拼成同一个几何对象。

完整译文分节

1. 集合、映射、坐标图与流形
2. 微分、向量与张量分量
3. 度规、正规坐标与偏导数
4. 张量密度、体积形式与积分

下面其余内容是本站为本章编写的导读。

为什么需要流形

地球表面是最直观的例子：

• 在足够小的区域，可以用两个实数作为坐标；
• 不存在一张既无撕裂又无重叠的平面地图覆盖整个球面；
• 不同地图在重叠区域必须能够相互换算。

四维时空也采用同样思路。局部坐标使微积分可用，全局几何由所有兼容的局部描述共同决定。

拓扑流形

一个 $n$ 维拓扑流形 $M$ 需要满足：

1. 每一点附近都与 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个开集同胚；
2. 任意两个不同点存在互不相交的邻域，即 Hausdorff 条件；
3. 拓扑具有可数基，使流形不会大到无法用可数信息控制。

第一条给出“局部像 ${\mathbb{R}}^n$”，后两条排除许多病态空间。物理计算主要依赖第一条，后两条保证极限、曲线和分割统一等工具表现正常。

坐标图与图册

坐标图（chart）是一对 $(U,\phi )$：

$$\phi :U\subset M⟶\phi (U)\subset {\mathbb{R}}^n.$$

若

$$\phi (p)=(x^1(p),\dots ,x^n(p)),$$

那么 $x^{\mu }$ 是点 $p$ 在这张图中的坐标。

两张图 $(U,\phi )$ 与 $(V,\psi )$ 在重叠区域 $U\cap V$ 上给出转移映射

$$\psi \circ {\phi }^{-1}:\phi (U\cap V)⟶\psi (U\cap V).$$

若所有转移映射都是光滑的，这些图构成光滑图册（smooth atlas），$M$ 就是光滑流形。

坐标属于图，点属于流形。一个点可以在不同图中获得不同坐标，正如同一地点可以有经纬度坐标和某张城市地图的平面坐标。

球面为何需要多张图

单位二球面

$$S^2=\{(X,Y,Z)\in {\mathbb{R}}^3\mid X^2+Y^2+Z^2=1\}$$

可以用球坐标

$$X=\sin \theta \cos \varphi ,Y=\sin \theta \sin \varphi ,Z=\cos \theta$$

描述大部分区域，但 $\theta =0,\pi$ 时所有 $\varphi$ 指向同一点。这里的坐标失败并不表示球面有几何奇点。

也可以从北极或南极作立体投影，每张图覆盖除投影点以外的整个球面，两张图合起来覆盖 $S^2$。这说明“坐标出现问题”和“空间出现问题”必须分开判断。

光滑函数与曲线

函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 在坐标图中表示为

$$f\circ {\phi }^{-1}:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}.$$

若这个普通多元函数光滑，就称 $f$ 在该区域光滑。

一条参数曲线是映射

$$\gamma :I\subset \mathbb{R}\to M.$$

在坐标中写成 $x^{\mu }(\lambda )$。曲线本身与参数选择无关；重新参数化只改变沿曲线前进的速度。

切向量是方向导数

在点 $p$ 的切向量 $V$ 可以定义为作用在光滑函数上的导子（derivation）：

$$V:C^{\mathrm{\infty }}(M)\to \mathbb{R},$$

满足线性与 Leibniz 法则

$$V(fg)=f(p)V(g)+g(p)V(f).$$

坐标图产生一组切空间基

$${\partial }_{\mu }{|}_p={\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}|}_p.$$

任意切向量可写成

$$V=V^{\mu }{\partial }_{\mu }.$$

因此点 $p$ 的所有切向量组成 $n$ 维向量空间 $T_{p}M$。

曲线的切向量

若 $\gamma (0)=p$，曲线在 $p$ 的切向量作用于函数 $f$ 为

$$V(f)={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }f(\gamma (\lambda ))|}_{\lambda =0}.$$

在坐标中

$$V^{\mu }={\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }|}_0.$$

具有相同一阶方向导数的曲线定义同一个切向量。

坐标变换时基与分量怎样配合

从 $x^{\mu }$ 换到 $x^{\prime \mu }$，链式法则给出

$${\partial }_{\mu }^{\prime }=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}{\partial }_{\nu }.$$

为了保持

$$V=V^{\mu }{\partial }_{\mu }=V^{\prime \mu }{\partial }_{\mu }^{\prime },$$

分量必须按相反方向变换：

$$V^{\prime \mu }=\frac{\partial x^{\prime \mu }}{\partial x^{\nu }}{V}^{\nu }.$$

基变化与分量变化互相抵消，使几何向量 $V$ 不依赖坐标。

余切空间

切空间的对偶空间记为 $T_p^{\ast }M$。其元素是协向量或一形式。坐标函数的微分形成对偶基

$$\mathrm{d}{x}^{\mu }({\partial }_{\nu })={\delta }^{\mu }{}_{\nu }.$$

任意协向量写成

$$\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }.$$

坐标变换时

$${\omega }_{\mu }^{\prime }=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}{\omega }_{\nu }.$$

函数的微分

$$\mathrm{d}f={\partial }_{\mu }f\mathrm{d}{x}^{\mu }$$

天然是一形式，因为链式法则恰好给出协向量变换律。

张量场

点 $p$ 处的 $(k,l)$ 型张量属于

$$T_p{M}^{\otimes k}\otimes T_p^{\ast }{M}^{\otimes l}.$$

在坐标基下写为

$$T=T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}{\partial }_{{\mu }_1}\otimes \cdots \otimes {\partial }_{{\mu }_k}\otimes \mathrm{d}{x}^{{\nu }_1}\otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{x}^{{\nu }_l}.$$

若每一点都光滑地指定一个张量，就得到张量场。

判断张量的可靠方法

可以使用三种方法：

1. 从坐标无关定义出发；
2. 检查坐标变换律；
3. 由已知张量通过张量积、缩并、对称化或反对称化构造。

仅凭“带很多指标”无法判断一个量是否为张量。Christoffel 符号就是重要反例。

为什么向量的偏导数不是张量

向量变换为

$$V^{\prime \nu }=\frac{\partial x^{\prime \nu }}{\partial x^{\rho }}{V}^{\rho }.$$

对新坐标求偏导：

$${\partial }_{\mu }^{\prime }{V}^{\prime \nu }=\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\prime \mu }}\frac{\partial x^{\prime \nu }}{\partial x^{\rho }}{\partial }_{\sigma }{V}^{\rho }+\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\prime \mu }}\frac{{\partial }^2{x}^{\prime \nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\rho }}{V}^{\rho }.$$

第一项具有 $(1,1)$ 张量的变换形式，第二项包含坐标变换的二阶导数。一般坐标变换下它不会消失，所以 ${\partial }_{\mu }{V}^{\nu }$ 不是张量。

后续引入的联络项会恰好抵消这项额外贡献：

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{V}^{\nu }={\partial }_{\mu }{V}^{\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \rho }{V}^{\rho }.$$

度规场

度规是对称、非退化的 $(0,2)$ 张量场：

$$g_p:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb{R}.$$

它给出

$$⟨V,W⟩=g_{\mu \nu }{V}^{\mu }{W}^{\nu }.$$

非退化表示存在逆度规 $g^{\mu \nu }$，满足

$$g^{\mu \rho }{g}_{\rho \nu }={\delta }^{\mu }{}_{\nu }.$$

Riemann 度规全为正号；Lorentz 度规含一个负号和三个正号。Sylvester 惯性定律保证在同一点做可逆基变换时，正负号的数目不会改变。

每一点都能选择局部惯性坐标

在任意一点 $p$，总能选择 Riemann 正规坐标，使

$$g_{\mu \nu }(p)={\eta }_{\mu \nu },{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }(p)=0.$$

这表示在一个点上可以消去度规的一阶变化。一般无法同时消去二阶导数，曲率正是由这些无法消掉的二阶信息构成。

因此：

• 局部惯性系可以消去“均匀引力”式的一阶效应；
• 潮汐效应涉及邻近自由落体世界线的相对加速度，无法在整个邻域中消去。

度规行列式与体积元

记

$$g=\det \left(g_{\mu \nu }\right).$$

在 Lorentz 号差下 。坐标不变的四维体积元为

$$\mathrm{d}V=\sqrt{|g|}\mathrm{d}{x}^0\mathrm{d}{x}^1\mathrm{d}{x}^2\mathrm{d}{x}^3.$$

原因是坐标变换下 ${\mathrm{d}}^{n}x$ 带一个 Jacobian，而 $\sqrt{|g|}$ 带逆 Jacobian，两者相消。

积分标量场时写成

$${\int }_{M}f\sqrt{|g|}{\mathrm{d}}^{n}x.$$

只有 ${\mathrm{d}}^{n}x$ 而没有 $\sqrt{|g|}$ 的表达式通常依赖坐标。

二球面的具体计算

半径为 $a$ 的二球面度规为

$$\mathrm{d}{s}^2=a^2\mathrm{d}{\theta }^2+a^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.$$

矩阵与逆矩阵是

行列式与面积元为

$$g=a^4{\sin }^2\theta ,\mathrm{d}A=a^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi .$$

积分得到总面积

$$A={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{a}^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi =4\pi a^2.$$

$\sin \theta$ 不是额外的物理密度，它来自球坐标网格面积随纬度变化。

张量密度

有些量在坐标变换下除了张量变换外，还会乘 Jacobian 行列式的某个幂，这类对象称为张量密度。$\sqrt{|g|}$ 是权重为 $+1$ 的标量密度。

Levi-Civita 符号 $[\mu \nu \rho \sigma ]$ 只是一组固定数字；与 $\sqrt{|g|}$ 组合后才得到真正的 Levi-Civita 张量：

$${\epsilon }_{\mu \nu \rho \sigma }=\sqrt{|g|}[\mu \nu \rho \sigma ].$$

区分符号、密度和张量，可以避免在一般坐标中误用平直时空公式。

常见误区

把流形想成必须嵌入更高维空间的曲面

流形可以内在定义。四维时空不需要先放进某个五维 Euclid 空间，才拥有曲率和度规。

认为坐标奇点就是物理奇点

球坐标在极点失效，球面依然光滑。需要换图或计算坐标不变量来判断。

在不同点直接相减向量

$V_p\in T_{p}M$ 与 $W_q\in T_{q}M$ 位于不同向量空间。没有额外规则时，$V_p-W_q$ 没有定义。下一篇的联络会提供比较方法。

忘记体积元

一般坐标下积分必须包含 $\sqrt{|g|}$，否则积分值会随坐标标签改变。

本篇自检

1. 坐标图、坐标与流形上的点分别是什么？
2. 为什么球坐标的极点问题不代表球面有奇点？
3. 怎样把曲线在一点的等价类理解成切向量？
4. 向量偏导数的变换律多出了哪一项？
5. Riemann 正规坐标能在一点消去哪几类量，又不能消去哪类量？
6. 为什么积分体积元包含 $\sqrt{|g|}$？

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