联络、测地线与曲率

本篇对应原讲义第三章。流形告诉我们怎样在局部使用坐标，度规告诉我们怎样测量长度。还缺少一个关键结构：怎样比较不同点的向量。联络（connection）解决这个问题，曲率则记录这种比较对路径的依赖。

完整译文分节

1. 协变导数与联络
2. 平行移动与测地线
3. Riemann 张量、恒等式与 Weyl 张量
4. 曲率实例与测地线偏离
5. 标架、自旋联络与结构方程
6. 纤维丛与规范变换

下面其余内容是本站为本章编写的导读。

为什么普通导数不够

一个向量场写成

$$V=V^{\nu }{\partial }_{\nu }.$$

沿 $x^{\mu }$ 方向移动时，分量 $V^{\nu }$ 会变化，基向量 ${\partial }_{\nu }$ 也会变化。只对分量求导会漏掉基的变化。

协变导数定义为

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{V}^{\nu }={\partial }_{\mu }{V}^{\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \rho }{V}^{\rho }.$$

联络系数 ${\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \rho }$ 补偿坐标基的变化，使整体按张量变换。

对协向量，修正项符号相反：

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\omega }_{\nu }={\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }-{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }{\omega }_{\rho }.$$

这由缩并的 Leibniz 法则决定。因为 ${\omega }_{\nu }{V}^{\nu }$ 是标量，要求

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }({\omega }_{\nu }{V}^{\nu })={\partial }_{\mu }({\omega }_{\nu }{V}^{\nu })$$

会迫使两个联络项互相抵消。

一般张量每个上指标得到一个加号联络项，每个下指标得到一个减号联络项。

Christoffel 符号不是张量

坐标变换时，${\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }$ 的变换律包含坐标变换的二阶导数。正是这项非张量部分，抵消了 ${\partial }_{\mu }{V}^{\nu }$ 的额外项。

因此可以在一个点选择坐标使

$${\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }(p)=0,$$

却不能由此断言引力或曲率在该点消失。张量若在一个坐标系中为零，就会在所有坐标系中为零；Christoffel 符号没有这个性质。

挠率与度规相容

联络的反对称部分定义挠率（torsion）：

$$T^{\rho }{}_{\mu \nu }={\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }-{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\nu \mu }.$$

标准广义相对论使用无挠联络：

$$T^{\rho }{}_{\mu \nu }=0.$$

同时要求平行移动保持内积，也就是度规相容：

$${\mathrm{\nabla }}_{\rho }{g}_{\mu \nu }=0.$$

这两个条件唯一确定 Levi-Civita 联络。

从度规推导 Levi-Civita 联络

把度规相容条件展开：

$${\partial }_{\mu }{g}_{\nu \rho }={\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }{}_{\mu \nu }{g}_{\sigma \rho }+{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }{}_{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma }.$$

再写出循环置换的三式：

前两式相加再减第三式，使用下方两个指标对称性，得到

$${\mathrm{\Gamma }}_{\rho \mu \nu }=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{g}_{\rho \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\rho \mu }-{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }).$$

升起第一个指标：

$${\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }({\partial }_{\mu }{g}_{\sigma \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }).$$

这条公式把度规的一阶导数转成联络。

平行移动

沿曲线 $x^{\mu }(\lambda )$ 的切向量为

$$U^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }.$$

向量 $V^{\mu }(\lambda )$ 沿曲线平行移动的条件是

$$\frac{D{V}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }\equiv U^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{V}^{\mu }=0.$$

展开为

$$\frac{\mathrm{d}{V}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\nu \rho }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}\lambda }{V}^{\rho }=0.$$

这是一组沿曲线的一阶常微分方程。给定起点向量和路径后，它确定终点向量。弯曲空间中，选择不同路径通常得到不同结果。

测地线

若曲线的切向量沿自身平行移动，曲线就是仿射参数化的测地线：

$$U^{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{U}^{\mu }=0.$$

坐标形式为

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\lambda }^2}+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\nu \rho }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}\lambda }\frac{\mathrm{d}{x}^{\rho }}{\mathrm{d}\lambda }=0.$$

在平直 Cartesian 坐标中 $\mathrm{\Gamma }=0$，它退化为匀速直线运动。

从长度作用量得到测地线

有质量粒子的固有时作用量为

$$S=-m\int \mathrm{d}\tau =-m\int \sqrt{-g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}\mathrm{d}\lambda .$$

对 $x^{\mu }(\lambda )$ 做变分，可以得到测地线方程。若直接采用等价的二次 Lagrangian

$$L=\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu },$$

Euler–Lagrange 方程给出

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }(g_{\rho \nu }{\dot{x}}^{\nu })-\frac{1}{2}{\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }=0.$$

乘以 $g^{\rho \sigma }$ 并整理，正好得到 Christoffel 形式的测地线方程。

仿射参数

若 $\lambda$ 是仿射参数，线性变换

$${\lambda }^{\prime }=a\lambda +b$$

仍保持测地线方程形式。类时测地线可以用固有时 $\tau$；类光测地线没有固有时，但仍可选择仿射参数。

曲率来自平行移动的路径依赖

在一个小闭合回路上平行移动向量，回到起点后的变化与回路面积成正比：

$$\delta V^{\rho }\sim R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }{V}^{\sigma }\delta x^{\mu }\delta x^{\nu }.$$

等价地，协变导数的交换子为

$$[{\mathrm{\nabla }}_{\mu },{\mathrm{\nabla }}_{\nu }]V^{\rho }=R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }{V}^{\sigma }.$$

展开得到

$$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \sigma }+{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\nu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.$$

虽然单个 $\mathrm{\Gamma }$ 不是张量，这个特殊组合是张量。

Riemann 张量的对称性

降下第一个指标后，Levi-Civita 联络的 Riemann 张量满足

$$R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\sigma \rho \mu \nu }=-R_{\rho \sigma \nu \mu },$$

以及交换指标对的对称性

$$R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\mu \nu \rho \sigma }.$$

第一 Bianchi 恒等式为

$$R_{\rho [\sigma \mu \nu ]}=0.$$

在四维中，一个一般四阶张量有 $4^4=256$ 个分量；这些对称性把独立分量减少到 20 个。

Ricci、标量曲率与 Einstein 张量

缩并 Riemann 张量得到 Ricci 张量：

$$R_{\mu \nu }=R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu }.$$

再缩并得到 Ricci 标量：

$$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }.$$

Einstein 张量定义为

$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }.$$

第二 Bianchi 恒等式

$${\mathrm{\nabla }}_{[\lambda }{R}_{\rho \sigma ]\mu \nu }=0$$

经过缩并给出

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0.$$

这个零散度性质使 $G_{\mu \nu }$ 能够与守恒的能量动量张量相匹配。

Weyl 张量

在 $n\ge 3$ 维，Riemann 张量可以拆成由 Ricci 张量决定的部分和无迹的 Weyl 张量 $C_{\rho \sigma \mu \nu }$。

四维中可写成

Ricci 曲率直接受局部物质源约束，Weyl 曲率包含自由引力场、潮汐作用和引力辐射等信息。真空中 $R_{\mu \nu }=0$ 仍可能有 $C_{\rho \sigma \mu \nu }\ne 0$，Schwarzschild 黑洞就是例子。

二球面的联络与曲率

对半径 $a$ 的二球面

$$\mathrm{d}{s}^2=a^2\mathrm{d}{\theta }^2+a^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2,$$

非零度规偏导只有

$${\partial }_{\theta }{g}_{\varphi \varphi }=2a^2\sin \theta \cos \theta .$$

代入 Christoffel 公式得到

$${\mathrm{\Gamma }}^{\theta }{}_{\varphi \varphi }=-\sin \theta \cos \theta ,$$$${\mathrm{\Gamma }}^{\varphi }{}_{\theta \varphi }={\mathrm{\Gamma }}^{\varphi }{}_{\varphi \theta }=\cot \theta .$$

计算一个独立 Riemann 分量：

$$R^{\theta }{}_{\varphi \theta \varphi }={\partial }_{\theta }{\mathrm{\Gamma }}^{\theta }{}_{\varphi \varphi }-{\mathrm{\Gamma }}^{\theta }{}_{\varphi \varphi }{\mathrm{\Gamma }}^{\varphi }{}_{\theta \varphi }={\sin }^2\theta .$$

降指标后

$$R_{\theta \varphi \theta \varphi }=a^2{\sin }^2\theta .$$

二维中 Ricci 张量满足

$$R_{ij}=\frac{1}{a^2}{g}_{ij},$$

标量曲率为

$$R=\frac{2}{a^2}.$$

曲率处处相同，半径越小曲率越大。

坐标弯曲与真实曲率

平面使用极坐标时，Christoffel 符号也不为零：

$$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\varphi }^2.$$

例如

$${\mathrm{\Gamma }}^r{}_{\varphi \varphi }=-r,{\mathrm{\Gamma }}^{\varphi }{}_{r\varphi }=\frac{1}{r}.$$

但把这些项代入 Riemann 张量后全部相消，得到 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=0$。因此：

• 非零 Christoffel 符号可能只来自弯曲坐标；
• 非零 Riemann 张量表示无法通过换坐标消去的内在曲率。

测地线偏离

考虑一族邻近测地线，切向量为 $U^{\mu }$，分离向量为 $S^{\mu }$。它们的相对加速度满足

$$\frac{D^2{S}^{\mu }}{\mathrm{d}{\tau }^2}=R^{\mu }{}_{\nu \rho \sigma }{U}^{\nu }{U}^{\rho }{S}^{\sigma }.$$

单个自由落体观察者在局部感觉不到重力，两个相邻自由落体观察者之间的距离却会因曲率改变。右边就是可测量的潮汐效应。

在 Newton 极限中，这条方程退化为

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{S}^i}{\mathrm{d}{t}^2}\approx -{\partial }_i{\partial }_j\mathrm{\Phi }{S}^j.$$

引力势的一阶导数给出共同加速度，二阶导数给出无法一起消除的相对加速度。

正交标架与 tetrad

坐标基通常不是单位正交基。可以在每一点选择局部标架 $e_a=e_a{}^{\mu }{\partial }_{\mu }$，满足

$$g_{\mu \nu }{e}_a{}^{\mu }{e}_b{}^{\nu }={\eta }_{ab}.$$

逆标架把坐标分量变成局部 Lorentz 分量：

$$V^a=e^a{}_{\mu }{V}^{\mu }.$$

实际观察者携带的钟和正交尺更接近 tetrad，而非任意坐标基。局部测量通常先投影到 tetrad 上。

在非坐标基中，联络由 spin connection ${\omega }^a{}_{b\mu }$ 表示：

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{V}^a={\partial }_{\mu }{V}^a+{\omega }^a{}_{b\mu }{V}^b.$$

它也用于把旋量耦合到弯曲时空。

联络与规范场的类比

电磁势 $A_{\mu }$ 让带电场的导数变成规范协变导数；几何联络 ${\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }$ 让张量的导数变成坐标协变导数。两者的曲率都来自导数交换子：

$$[D_{\mu },D_{\nu }]\sim F_{\mu \nu },$$$$[{\mathrm{\nabla }}_{\mu },{\mathrm{\nabla }}_{\nu }]\sim R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }.$$

类比有助于理解 fiber bundle 语言，但两种联络作用的空间不同，不能把它们当成同一个物理场。

常见误区

把 Christoffel 符号叫作曲率

$\mathrm{\Gamma }$ 可以因坐标选择而出现，Riemann 张量才判断内在曲率。

认为测地线总是两点间最短路径

在 Riemann 空间中，短测地线局部极小化长度；在 Lorentz 时空中，类时测地线局部极大化固有时。较长区间还可能出现共轭点，使极值性质改变。

把 $R_{\mu \nu }=0$ 理解为完全平直

四维真空只要求 Ricci 张量为零，Weyl 张量仍可非零。只有整个 Riemann 张量为零才局部平直。

忘记曲率约定

交换协变导数的顺序或改变 Riemann 定义会改变若干公式的符号。整个推导必须使用同一约定。

本篇自检

1. 联络项为什么能够修复向量偏导数的变换律？
2. 无挠和度规相容怎样唯一确定 Levi-Civita 联络？
3. 平行移动的路径依赖怎样由 Riemann 张量表示？
4. 为什么球坐标平面有非零 $\mathrm{\Gamma }$ 却没有曲率？
5. Ricci 曲率和 Weyl 曲率分别保留了什么信息？
6. 测地线偏离怎样把抽象曲率变成潮汐测量？

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