曲率实例与测地线偏离

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内禀曲率与外禀曲率

经历了这么多形式体系之后，也许该退一步，通过一些简单例子想一想曲率究竟意味着什么。首先请注意，根据 (3.85)，在 1、2、3 和 4 维中，曲率张量分别有 0、1、6 和 20 个分量。（我们在这些例子里关于曲率所说的一切，都是指与 Christoffel 联络、因而也与度规相联系的曲率。）这意味着一维流形（例如 $S^1$）永远不会弯曲；你觉得圆是弯曲的那种直觉，源于把它想成嵌入某个平坦二维平面中的曲线。（有一种称为“外禀曲率”（extrinsic curvature）的东西，它刻画某个对象嵌入更高维空间的方式。我们的曲率概念是“内禀的”（intrinsic），与这种嵌入无关。）

内禀曲率与外禀曲率的区别在二维中也很重要；在二维，曲率有一个独立分量。（事实上，关于曲率的全部信息都包含在 Ricci 标量这一个分量里。）考虑一个圆柱面 $\mathbf{R}\times S^1$。

圆柱面从嵌入空间中看起来是弯曲的。

尽管从我们的视角看它似乎是弯曲的，但显然可以在圆柱面上赋予一个度规，使其分量在适当的坐标系中为常数——只需把圆柱面展开，并采用平面诱导出的度规即可。在这个度规下，圆柱面是平坦的。（当然，我们也完全可以引入另一个度规，使圆柱面不再平坦；这里想强调的要点是，存在某个能让它变平坦的度规。）同样的说法也适用于环面：

环面可以看成平面正方形区域的两组对边分别粘合。

我们可以把环面看作平面上的一个正方形区域，并把它的两组对边分别等同起来（换句话说，就是 $S^1\times S^1$）；由此很清楚，尽管从嵌入的观点看它是弯曲的，它仍然可以具有平坦度规。

圆锥面是一个二维流形的例子，它恰好只在一个点具有非零曲率。把它展开也可以看清这一点；圆锥面等价于从平面中去掉一个“亏角”（deficit angle），再把切口的两条边等同起来：

去掉平面中的一个亏角并粘合两边，便得到圆锥面。

在从平坦平面的一部分继承而来的这个度规下，圆锥面除了顶点以外处处平坦。考察向量沿不同回路的平行移动便能看出这一点：如果回路不围住顶点，向量经过一周后不会发生总体变换；如果回路围住顶点（比如恰好一周），向量就会转过一个恰好等于亏角的角度。

绕圆锥顶点平行移动一周会使向量转过亏角。

二维球面的曲率

我们最喜欢的例子当然是二维球面，其度规为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.100}\text{)}& d{s}^2=a^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2),\end{array}$$

其中 $a$ 是球面的半径（把球面想成嵌入 ${\mathbf{R}}^3$ 中）。省略具体推导，非零联络系数为

让我们计算 Riemann 张量中一个看来很有希望的分量：

（这里的记号显然并不完美，因为希腊字母 $\lambda$ 是一个需要求和的哑指标，而希腊字母 $\theta$ 和 $\varphi$ 表示特定坐标。）降低一个指标，得到

不难检验，Riemann 张量的所有分量要么为零，要么通过对称性与这个分量相关。接着可以通过 $‘R_{\mu \nu }=g^{\alpha \beta }{R}_{\alpha \mu \beta \nu }‘$ 计算 Ricci 张量。结果为

Ricci 标量的计算同样直截了当：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.105}\text{)}& R=g^{\theta \theta }{R}_{\theta \theta }+g^{\varphi \varphi }{R}_{\varphi \varphi }=\frac{2}{a^2}.\end{array}$$

因此，对于二维流形能够完全刻画曲率的 Ricci 标量，在这个二维球面上处处为常数。这反映了该流形是“最大对称的”（maximally symmetric）；稍后我们会更精确地定义这个概念（不过它的含义正如你所料）。在任意维数中，最大对称空间的曲率都满足（其中 $a$ 为某个常数）

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.106}\text{)}& R_{\rho \sigma \mu \nu }=a^{-2}(g_{\rho \mu }{g}_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }{g}_{\sigma \mu }),\end{array}$$

你可以检验这个例子确实满足该式。

请注意，二维球面的 Ricci 标量不仅是常数，而且显然为正。我们说球面是“正曲率的”（当然，这里牵涉了一两个约定；所幸我们的约定彼此配合，使得大家都同意称为正曲率的空间确实具有正的 Ricci 标量）。从生活在一个嵌入更高维欧几里得空间的流形上的观察者视角看，如果他坐在一个正曲率点，空间沿任意方向都以相同的方式从他身边弯离；在负曲率空间中，空间则会沿相反的方向弯离。因此，负曲率空间呈马鞍形。

负曲率空间在不同方向上反向弯曲，呈马鞍形。

测地线偏离

关于实例的趣谈到此为止。在真正引入广义相对论之前，我们还有最后一个主题必须介绍：测地线偏离。你一定听说过，欧几里得（平坦）几何的定义性特征是平行公设：起初平行的直线会永远保持平行。在弯曲空间中，这当然不成立；比如在球面上，起初平行的测地线最终肯定会相交。我们希望对任意弯曲空间中的这种行为作定量描述。

问题在于，“平行”概念无法从平坦空间自然地推广到弯曲空间。我们的做法是构造一个单参数测地线族 ${\gamma }_s(t)$。也就是说，对于每个 $s\in \mathbf{R}$，${\gamma }_s$ 都是一条以仿射参数 $t$ 参数化的测地线。这些曲线的集合定义了一个光滑二维曲面（嵌入任意维数的流形 $M$ 中）。只要选取的测地线族彼此不相交，就可以用 $s$ 和 $t$ 作为这个曲面上的坐标。整个曲面就是点集 $x^{\mu }(s,t)\in M$。我们有两个自然的向量场：测地线的切向量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.107}\text{)}& T^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial t},\end{array}$$

以及“偏离向量”

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.108}\text{)}& S^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial s}.\end{array}$$

这个名称来自一种非正式理解：$S^{\mu }$ 从一条测地线指向邻近的测地线。

$T^\mu$ 沿测地线指向，$S^\mu$ 指向相邻测地线。

$S^{\mu }$ 从一条测地线指向下一条测地线的想法，启发我们定义“测地线的相对速度”

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.109}\text{)}& V^{\mu }=({\mathrm{\nabla }}_{T}S{)}^{\mu }=T^{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{S}^{\mu },\end{array}$$

以及“测地线的相对加速度”

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.110}\text{)}& a^{\mu }=({\mathrm{\nabla }}_{T}V{)}^{\mu }=T^{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{V}^{\mu }.\end{array}$$

这些名称不必过于当真，但这些向量无疑有明确的定义。

因为 $S$ 和 $T$ 是适配于同一坐标系的基向量，它们的对易子为零：

$$[S,T]=0.$$

我们希望考虑挠率为零的通常情形，于是由 (3.70) 有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.111}\text{)}& S^{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{T}^{\mu }=T^{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{S}^{\mu }.\end{array}$$

记住这一点，让我们来计算加速度：

让我们逐行理解这个计算。第一行是 $a^{\mu }$ 的定义，第二行直接来自 (3.111)。第三行只用了 Leibniz 法则。第四行把一个二重协变导数替换成顺序相反的导数再加上 Riemann 张量。第五行再次使用 Leibniz 法则（方向与通常相反），随后抵消两个相同的项，并注意到含 $T^{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{T}^{\mu }$ 的一项为零，因为 $T^{\mu }$ 是测地线的切向量。最后得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.113}\text{)}& a^{\mu }=\frac{D^2}{d{t}^2}{S}^{\mu }=R^{\mu }{}_{\nu \rho \sigma }{T}^{\nu }{T}^{\rho }{S}^{\sigma },\end{array}$$

这就是著名的测地线偏离方程（geodesic deviation equation）。它表达了一个我们或许已经预料到的事实：两条相邻测地线之间的相对加速度正比于曲率。

当然，从物理上说，相邻测地线的加速度被解释为引力潮汐力的表现。这提醒我们，此刻离真正开始做物理已经非常近了。

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