03｜电磁学的基本量：电荷、电流、场、通量与势

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麦克斯韦方程里出现了六个核心量：

$$\rho ,\mathbf{J},\mathbf{E},\mathbf{B},\varphi ,\mathbf{A}.$$

它们分别描述电荷分布、电荷流动、电场、磁场、标势和矢势。本篇从“一个小区域里有多少电荷”和“单位时间穿过多少电荷”开始，逐步得到这些量之间的关系。

1. 从离散电荷到电荷密度

如果区域内有离散点电荷 $q_1,q_2,\dots$，总电荷是：

$$Q=\sum _i{q}_i.$$

当电荷连续分布时，取一个很小的体积 $\mathrm{\Delta }V$。定义体电荷密度：

$$\rho (\mathbf{x},t)=\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }V}.$$

因此，小体积中的电荷近似为：

$$\mathrm{\Delta }Q\approx \rho \mathrm{\Delta }V.$$

把整个区域分成小块并相加，极限下得到：

$$\boxed{Q={\iiint }_V\rho (\mathbf{x},t)\mathrm{d}V}.$$

例子：均匀带电球

半径为 $R$ 的球内电荷密度为常数 ${\rho }_0$，总电荷为：

这个结果就是“密度乘体积”。

2. 从移动电荷推导电流密度

设单位体积内有 $n$ 个载流子，每个载流子的电荷为 $q$，平均漂移速度为 $\mathbf{v}$。于是：

$$\rho =nq.$$

先考虑载流子垂直穿过面积为 $\mathrm{\Delta }S$ 的小平面。在时间 $\mathrm{\Delta }t$ 内，距离平面不超过 $v\mathrm{\Delta }t$ 的载流子会穿过它。这个薄柱体体积为：

$$\mathrm{\Delta }V=v\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }S.$$

其中包含的电荷为：

$$\mathrm{\Delta }Q=nq\mathrm{\Delta }V=nqv\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }S.$$

电流定义为单位时间通过的电荷：

$$I=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }t}=nqv\mathrm{\Delta }S.$$

因此，电流密度应定义为：

$$\boxed{\mathbf{J}=nq\mathbf{v}=\rho \mathbf{v}}.$$

你可以把这想象成水管里的水流，或者是吹过窗户的风。如果水流是斜着冲过来的，只有正对着截面方向的那部分水能真正穿过去。所以在算流量时，我们只关心垂直穿透表面的那部分：

$$\mathrm{d}I=\mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

在整个截面上积分：

$$\boxed{I={\iint }_S\mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}}.$$

总电流 $I$ 是一个穿过指定曲面的数值；电流密度 $\mathbf{J}(\mathbf{x},t)$ 是定义在空间各点的向量场。

3. 从电荷守恒推导连续性方程

取一个固定体积 $V$。体积内的总电荷为：

$$Q_V(t)={\iiint }_V\rho (\mathbf{x},t)\mathrm{d}V.$$

你可以把这个固定体积想象成一个有几个出水口的水池。如果水（电荷）不能凭空产生，也不会变魔术一样消失，那么水池里水位的下降速度，一定丝毫不差地等于所有出水口往外流水速度的总和：

$$\frac{\mathrm{d}{Q}_V}{\mathrm{d}t}=-{∯}_{\partial V}\mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

代入 $Q_V$，并对右边使用高斯定理：

$${\iiint }_V\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}V=-{\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}\mathrm{d}V.$$

移到同一边：

$${\iiint }_V(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J})\mathrm{d}V=0.$$

既然我们刚才画的这个“水池”可以是宇宙中任何一个随便圈出来的小角落，那么要让这个等式对所有情况都成立，括号里面的内容就必须在每一点都永远等于零：

$$\boxed{\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=0}.$$

这就是局部形式的电荷连续性方程。

• 表示当地电荷密度正在减少；
• 表示当地有净电流向外流出；
• 两项大小相等、符号相反。

4. 电场和磁场怎样被定义

电场和磁场通过带电粒子所受的洛伦兹力定义：

$$\boxed{\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})}.$$

当试探电荷静止时，$\mathbf{v}=0$，所以：

$$\boxed{\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}}.$$

磁力只作用于运动电荷，并且方向同时垂直于 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{B}$。由于：

$$\mathbf{v}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{B})=0,$$

磁力对粒子瞬时速度方向没有分量。它可以改变速度方向，但单独存在时不会改变粒子的动能：

$$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}.$$

你看，算动能变化时磁力那部分神秘地变成零了！这就好比推车上坡，电场就像是在背后一直使劲推你的那个人，能实打实地给你增加能量；而磁场就像是铁轨，它极其霸道地规定了你必须往哪拐弯，但绝不会帮你多出哪怕一丁点的力气去加速。

5. 通量与环流

向量场穿过曲面 $S$ 的通量定义为：

$${\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{A}}={\iint }_S\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

因此，电通量和磁通量分别是：

$${\mathrm{\Phi }}_E={\iint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$$$${\mathrm{\Phi }}_B={\iint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

就像我们之前说的吹风过窗户一样，点积这个数学操作其实是个非常聪明的“筛选器”，它会自动帮你把那些顺着窗户滑过去的无效风量剔除，只留下真正垂直穿透进去的部分：

$$\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=A\cos \theta \mathrm{d}S.$$

向量场沿曲线 $C$ 的环流定义为：

$${\mathcal{C}}_{\mathbf{A}}={\int }_C\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.$$

闭合曲线上的电场环流

$${\oint }_C\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}$$

这其实就是让你绕着某个圈走上一整圈。如果是电场环流，它算的就是：推着一个电荷在电场里像爬山一样绕一整圈回到原地后，电场到底总共帮你做了多少功，还是你费了多大劲去抵抗它。

6. 静电势是怎样得到的

静电情况下，电场满足：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=0.$$

由斯托克斯定理：

$${\oint }_C\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}={\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0.$$

只要绕圈走一趟白做功，就说明不管你走哪条路从起点到终点，耗费的总力气都一模一样！这就好比你从山脚爬到山顶，不管走哪条蜿蜒的山路，海拔高度差总是固定的。于是我们就可以心安理得地定义一个类似“海拔”的东西——也就是电势差：

$$\varphi (\mathbf{b})-\varphi (\mathbf{a})=-{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.$$

令终点发生小位移 $\mathrm{d}\mathbf{r}$：

$$\mathrm{d}\varphi =-\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}.$$

另一方面，梯度定义给出：

$$\mathrm{d}\varphi =\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}.$$

对任意 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 比较两式，得到：

$$\boxed{\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi }.$$

公式里突然冒出来的负号非常关键。你想啊，水总是顺着最陡峭的斜坡往低处流，电场也是一样的脾气，它永远像个风向标一样，指向那个让“电势海拔”下降最快、最陡的下坡方向。

7. 矢势是怎样得到的

磁场满足：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0.$$

任何旋度的散度都恒为零：

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})=0.$$

在没有拓扑孔洞的局部区域中，反过来也成立：散度为零的光滑向量场可以写成某个向量场的旋度。因此定义矢势 $\mathbf{A}$：

$$\boxed{\mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}}.$$

时间变化的情况下，法拉第定律为：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

代入 $\mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}$：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}.$$

移到左边：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t})=0.$$

既然这个括号里一大坨东西的旋度是零，那它就和之前的静电场一样听话，不存在任何漩涡。我们完全可以把它看作是某个“海拔地形图”的倾斜程度，也就是某个标量的负梯度，所以：

$$\boxed{\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}}.$$

静电公式 $\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi$ 是它在 $\partial \mathbf{A}/\partial t=0$ 时的特例。

8. 势为什么不唯一

令任意光滑函数为 $\chi (\mathbf{x},t)$，进行变换：

$${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\mathrm{\nabla }\chi ,$$$${\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t}.$$

新的磁场为：

新的电场为：

因为空间梯度与时间偏导可交换，额外两项抵消。改变势并未改变可观测的 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$，这种自由度称为规范自由度，第十篇会进一步展开。

9. 真空常数与光速

真空介电常数和真空磁导率分别是 ${\epsilon }_0$ 与 ${\mu }_0$。麦克斯韦方程预言的波速为：

$$\boxed{c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}}.$$

等价地：

$${\mu }_0{\epsilon }_0=\frac{1}{c^2}.$$

第四篇会从四条麦克斯韦方程完整推导这个结果。

10. 本篇关系图

本篇的核心关系是：

下一篇我们会把这些辛苦凑齐的积木全部拼在一起，放进四条麦克斯韦方程里，并像破案一样解释每个源头究竟为什么要长成现在这副模样。

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