附录 I 平行传播子

返回系列目录 · 上一篇：附录 H 共形图 · 下一篇：附录 J 非坐标基

沿曲线平行移动一个张量的概念，在广义相对论中显然具有核心重要性。设向量 $V^{\mu }$ 沿路径 $x^{\mu }(\lambda )$ 移动，平行移动方程为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.1}\text{)}& \frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{V}^{\nu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\partial }_{\mu }{V}^{\nu }+\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \sigma }{V}^{\sigma }=0.\end{array}$$

可以为这个方程写出显式的一般解。这个解多少有些形式化，但它本身很有趣，而且与量子场论中的一些技术有密切联系。

考虑路径

$$\gamma :\lambda ⟼x^{\sigma }(\lambda ).$$

求解向量 $V^{\mu }$ 的平行移动方程，等价于寻找一个矩阵 $P^{\mu }{}_{\rho }(\lambda ,{\lambda }_0)$，把向量的初值 $V^{\mu }({\lambda }_0)$ 同它在路径下游某处的值联系起来：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.2}\text{)}& V^{\mu }(\lambda )=P^{\mu }{}_{\rho }(\lambda ,{\lambda }_0)V^{\rho }({\lambda }_0).\end{array}$$

矩阵 $P^{\mu }{}_{\rho }(\lambda ,{\lambda }_0)$ 称为平行传播子（parallel propagator），它当然依赖路径 $\gamma$；很难找到一种既能表示这种依赖、又不让 $\gamma$ 看起来像指标的记号。定义

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.3}\text{)}& A^{\mu }{}_{\rho }(\lambda )=-{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \rho }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\lambda },\end{array}$$

其中右端各量在 $x^{\nu }(\lambda )$ 处求值，平行移动方程便成为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.4}\text{)}& \frac{d}{d\lambda }{V}^{\mu }=A^{\mu }{}_{\rho }{V}^{\rho }.\end{array}$$

平行传播子必须适用于任意向量。把式（I.2）代入式（I.4）可知，$P^{\mu }{}_{\rho }(\lambda ,{\lambda }_0)$ 也满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.5}\text{)}& \frac{d}{d\lambda }{P}^{\mu }{}_{\rho }(\lambda ,{\lambda }_0)=A^{\mu }{}_{\sigma }(\lambda )P^{\sigma }{}_{\rho }(\lambda ,{\lambda }_0).\end{array}$$

为求解此方程，先对两边积分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.6}\text{)}& P^{\mu }{}_{\rho }(\lambda ,{\lambda }_0)={\delta }^{\mu }{}_{\rho }+{\int }_{{\lambda }_0}^{\lambda }{A}^{\mu }{}_{\sigma }(\eta )P^{\sigma }{}_{\rho }(\eta ,{\lambda }_0)d\eta .\end{array}$$

容易看出，Kronecker delta 为 $\lambda ={\lambda }_0$ 提供了正确的归一化。

可以迭代求解式（I.6）：把右端反复代回它自身，得到

这个级数的第 $n$ 项是在 $n$ 维直角三角形，也就是 $n$ 单纯形上的积分。前三阶分别为

$$\begin{array}{c}{\int }_{{\lambda }_0}^{\lambda }A({\eta }_1)d{\eta }_1,\\ {\int }_{{\lambda }_0}^{\lambda }{\int }_{{\lambda }_0}^{{\eta }_2}A({\eta }_2)A({\eta }_1)d{\eta }_{1}d{\eta }_2,\\ {\int }_{{\lambda }_0}^{\lambda }{\int }_{{\lambda }_0}^{{\eta }_3}{\int }_{{\lambda }_0}^{{\eta }_2}A({\eta }_3)A({\eta }_2)A({\eta }_1)d^3\eta .\end{array}$$

图 I.1　$n=1,2,3$ 时的 $n$ 单纯形，也就是 $n$ 维直角三角形。积分区域由 $\lambda \ge {\eta }_n\ge \cdots \ge {\eta }_1\ge {\lambda }_0$ 给出。

如果能把这种积分视为在 $n$ 维立方体而非 $n$ 单纯形上进行，事情会简单很多。每个立方体中有 $n!$ 个这样的单纯形，所以必须乘以 $1/n!$ 来补偿增加的体积。不过，还必须把被积函数处理正确。使用矩阵记号时，$n$ 阶被积函数是

$$A({\eta }_n)A({\eta }_{n-1})\cdots A({\eta }_1),$$

并具有特殊次序 ${\eta }_n\ge {\eta }_{n-1}\ge \cdots \ge {\eta }_1$。因此定义路径排序符号 $\mathcal{P}$ 来保证这个条件。表达式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.8}\text{)}& \mathcal{P}[A({\eta }_n)A({\eta }_{n-1})\cdots A({\eta }_1)]\end{array}$$

表示把 $n$ 个矩阵 $A({\eta }_i)$ 排序，使最大的 ${\eta }_i$ 位于最左边，之后的每一个 ${\eta }_i$ 都小于或等于前一个。

于是，式（I.7）的 $n$ 阶项可以表示为

这个表达式没有对矩阵 $A({\eta }_i)$ 作任何实质性断言，它只是一种记号。现在可把式（I.7）写成矩阵形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.10}\text{)}& P(\lambda ,{\lambda }_0)=\mathbf{1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\int }_{{\lambda }_0}^{\lambda }\mathcal{P}[A({\eta }_n)A({\eta }_{n-1})\cdots A({\eta }_1)]d^n\eta .\end{array}$$

这正是指数函数的级数表达式。因此，平行传播子可写成路径排序指数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.11}\text{)}& P(\lambda ,{\lambda }_0)=\mathcal{P}\exp ({\int }_{{\lambda }_0}^{\lambda }A(\eta )d\eta ).\end{array}$$

这仍是一种记号；路径排序指数按式（I.10）的右端定义。把 $A$ 展开，可以更明确地写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I.12}\text{)}& \boxed{P^{\mu }{}_{\nu }(\lambda ,{\lambda }_0)=\mathcal{P}\exp (-{\int }_{{\lambda }_0}^{\lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\eta }d\eta )}.\end{array}$$

即使这个显式公式颇为抽象，拥有它仍然很有用。相同形式的表达式在量子场论中以“Dyson 公式”出现；原因是时间演化算符的 Schrödinger 方程具有与式（I.5）相同的形式。

当路径是一条从某点出发又回到同一点的闭环时，平行传播子给出一个格外有趣的例子。若联络与度规相容，所得矩阵就是作用于该点切空间的 Lorentz 变换。这个变换称为闭环的和乐（holonomy）。知道所有可能闭环的和乐，等价于知道度规。

于是，可以用“环表示”研究广义相对论：基本变量取为和乐，而非显式度规。称为“圈量子引力”（loop quantum gravity）的研究方案试图直接用这些变量量子化广义相对论；这与弦论之类的方案不同，后者会在某个极限中导出广义相对论。沿这个方向已经取得大量数学进展，但根本性障碍仍然存在。[^1]

[^1]: 关于这一方案的综述，见 C. Rovelli, “Loop quantum gravity,” Living Reviews in Relativity 1, 1 (1998)，arXiv:gr-qc/9710008。

PDF 第 495 页为空白页。

---

返回系列目录 · 上一篇：附录 H 共形图 · 下一篇：附录 J 非坐标基