测地线、轨道与近日点进动

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奇点与坐标奇性

在探索测试粒子在施瓦西几何中的行为之前，我们应当先谈谈奇点。从 (7.29) 的形式看，度规系数在 $r=0$ 和 $r=2GM$ 处变为无穷大——这表面上显示有些事情出了问题。当然，度规系数是依赖坐标的量，因此不应过分看重它们的取值；完全可能出现一种“坐标奇性”，其根源是某个特定坐标系失效，而非底层流形本身出了问题。平面极坐标的原点就是一个例子：度规 $d{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2$ 在那里退化，逆度规分量 $g^{\theta \theta }=r^{-2}$ 发散，尽管流形上的这一点与其他任何一点并无区别。

如果几何失去控制，我们应寻找何种与坐标无关的信号作为警告？事实证明，这个问题很难回答，甚至已有整本专著讨论广义相对论中奇点的性质。我们不会深入这个问题，而是采用一种简单的判据来判断何时出了问题——即曲率变为无穷大。曲率由 Riemann 张量度量，但要说一个张量何时变为无穷大并不容易，因为它的分量依赖坐标。不过，我们可以从曲率构造各种标量；标量与坐标无关，所以说它们变为无穷大具有明确意义。最简单的这种标量是 Ricci 标量 $R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$，但也可以构造更高阶的标量，例如 $R^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$、$R^{\mu \nu \rho \sigma }{R}_{\mu \nu \rho \sigma }$、$‘R_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\rho \sigma \lambda \tau }{R}_{\lambda \tau }{}^{\mu \nu }‘$，等等。当我们趋近某一点时，只要这些标量中有任何一个变为无穷大（不要求它们全都如此），我们就把该点视为曲率奇点。还应检查该点是否位于“无穷远处”；也就是说，沿一条曲线行进有限距离便应能够到达它。

因此，我们已经得到把一个点视为奇点的充分条件。不过，它并非必要条件；要证明一个给定点没有奇性，通常更加困难。就我们的目的而言，只需检验测地线在所考察点的行为是否良好；若确实如此，便把该点视为非奇异点。对于施瓦西度规 (7.29)，直接计算得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.30}\text{)}& R^{\mu \nu \rho \sigma }{R}_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{12G^2{M}^2}{r^6}.\end{array}$$

这足以使我们相信 $r=0$ 表示一个真正的奇点。在另一个问题位置 $r=2GM$，可以检查发现所有曲率不变量都不会发散。因此，我们开始怀疑它其实并不奇异，只是我们选用了一个糟糕的坐标系。如果可能，最佳做法就是变换到更合适的坐标。很快会看到，在这里确实可以做到，而曲面 $r=2GM$ 在施瓦西度规中的行为十分良好（尽管很有趣）。

稍稍担心过奇点之后，还应指出，施瓦西解在 $r\le 2GM$ 处的行为，对日常问题几乎没有影响。我们推导出的解只在真空中有效，并期望它适用于恒星这类球形物体的外部。然而，对太阳而言，这个天体一直延伸到半径

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.31}\text{)}& R_{\odot }={10}^{6}G{M}_{\odot }.\end{array}$$

因此，$r=2G{M}_{\odot }$ 远在太阳内部，在那里我们并不期望施瓦西度规适用。事实上，真实的恒星内部解具有形式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.32}\text{)}& d{s}^2=-(1-\frac{2Gm(r)}{r})\mathrm{d}{t}^2+{(1-\frac{2Gm(r)}{r})}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2.\end{array}$$

细节可参见 Schutz。这里的 $m(r)$ 是 $r$ 的函数，它趋于零的速度比 $r$ 本身更快，所以根本没有奇点需要处理。不过，确实存在必须使用完整施瓦西度规的天体——黑洞。因此，在本节余下部分，我们将让想象力漫游到太阳系之外极其遥远的地方。

施瓦西几何中的测地线

为了更充分地理解这个度规，第一步是考察测地线的行为。我们需要施瓦西度规的非零 Christoffel 符号：

因此，测地线方程化为以下四个方程，其中 $\lambda$ 是仿射参数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.34}\text{)}& \frac{d^{2}t}{d{\lambda }^2}+\frac{2GM}{r(r-2GM)}\frac{dr}{d\lambda }\frac{dt}{d\lambda }=0,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.36}\text{)}& \frac{d^2\theta }{d{\lambda }^2}+\frac{2}{r}\frac{d\theta }{d\lambda }\frac{dr}{d\lambda }-\sin \theta \cos \theta {\left(\frac{d\varphi }{d\lambda }\right)}^2=0,\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.37}\text{)}& \frac{d^2\varphi }{d{\lambda }^2}+\frac{2}{r}\frac{d\varphi }{d\lambda }\frac{dr}{d\lambda }+2\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{d\theta }{d\lambda }\frac{d\varphi }{d\lambda }=0.\end{array}$$

看来，想通过观察直接解出这组耦合方程，几乎没有希望。幸运的是，施瓦西度规的高度对称性大大简化了我们的任务。我们知道它有四个 Killing 矢量：三个来自球对称性，一个来自时间平移。每一个都会为自由粒子带来一个运动常量；若 $K^{\mu }$ 是 Killing 矢量，则有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.38}\text{)}& K_{\mu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}.\end{array}$$

此外，测地线总还有另一个运动常量；度规适配性意味着，沿路径的量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.39}\text{)}& ϵ=-g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}^{\nu }}{d\lambda }\end{array}$$

保持不变。当然，对有质量粒子，我们通常选择 $\lambda =\tau$，此关系就简化为 $ϵ=-g_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }=+1$。对无质量粒子，始终有 $ϵ=0$。我们还会关心类空测地线（尽管它们不对应粒子的路径），并为其选择 $ϵ=-1$。

对称性与守恒量

先不急着写出与四个 Killing 矢量对应的四个守恒量的显式表达式，让我们想想它们究竟告诉了我们什么。注意，它们所代表的对称性也存在于平坦时空中；在那里，由这些对称性产生的守恒量十分熟悉。时间平移不变性导致能量守恒，空间旋转不变性则导致角动量的三个分量守恒。对于施瓦西度规，情形本质上相同。我们可以把角动量视为一个三维矢量，它具有大小（一个分量）和方向（两个分量）。角动量方向守恒意味着粒子将在一个平面内运动。可以把这个平面选为坐标系的赤道面；如果粒子起初不在这个平面内，只需旋转坐标，直至它落入该平面。因此，导致角动量方向守恒的两个 Killing 矢量意味着

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.40}\text{)}& \theta =\frac{\pi }{2}.\end{array}$$

余下两个 Killing 矢量分别对应能量和角动量的大小。能量来自类时 Killing 矢量 $K={\partial }_t$，即

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.41}\text{)}& K_{\mu }=(-(1-\frac{2GM}{r}),0,0,0).\end{array}$$

其守恒量为角动量大小的 Killing 矢量是 $L={\partial }_{\varphi }$，即

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.42}\text{)}& L_{\mu }=(0,0,0,r^2{\sin }^2\theta ).\end{array}$$

由于 (7.40) 意味着，在我们关心的测地线上 $\sin \theta =1$，所以两个守恒量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.43}\text{)}& (1-\frac{2GM}{r})\frac{dt}{d\lambda }=E,\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.44}\text{)}& r^2\frac{d\varphi }{d\lambda }=L.\end{array}$$

对无质量粒子，可把它们看成能量与角动量；对有质量粒子，则是单位粒子质量的能量与角动量。请注意，(7.44) 的恒定性就是 Kepler 第二定律（相等时间内扫过相等面积）在广义相对论中的对应物。

有效势与轨道分类

这些守恒量合在一起，为理解施瓦西几何中的粒子轨道提供了一种方便的方法。展开 (7.39) 中 $ϵ$ 的表达式，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.45}\text{)}& -(1-\frac{2GM}{r}){\left(\frac{dt}{d\lambda }\right)}^2+{(1-\frac{2GM}{r})}^{-1}{\left(\frac{dr}{d\lambda }\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\varphi }{d\lambda }\right)}^2=-ϵ.\end{array}$$

将它乘以 $(1-2GM/r)$，再使用 $E$ 和 $L$ 的表达式，便得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.46}\text{)}& -E^2+{\left(\frac{dr}{d\lambda }\right)}^2+(1-\frac{2GM}{r})(\frac{L^2}{r^2}+ϵ)=0.\end{array}$$

这无疑是一项进展：我们从一组杂乱的耦合方程出发，得到了关于 $r(\lambda )$ 的单个方程。把它重写为下式，看起来还会更整洁：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.47}\text{)}& \frac{1}{2}{\left(\frac{dr}{d\lambda }\right)}^2+V(r)=\frac{1}{2}{E}^2,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.48}\text{)}& V(r)=\frac{1}{2}ϵ-ϵ\frac{GM}{r}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{GM{L}^2}{r^3}.\end{array}$$

在 (7.47) 中，我们恰好得到了一个经典方程：单位质量的经典粒子具有“能量” $\frac{1}{2}{E}^2$，并在 $V(r)$ 给出的一维势中运动。（真正的单位质量能量是 $E$，但坐标 $r$ 的有效势响应的是 $\frac{1}{2}{E}^2$。）

当然，我们的物理情形与经典粒子的一维运动相去甚远。这里所考察的轨迹是围绕恒星或其他天体的轨道：

图 7.3：粒子绕中心引力源运动；径向行为只描述完整轨道的一部分。

我们感兴趣的量不只有 $r(\lambda )$，还有 $t(\lambda )$ 与 $\varphi (\lambda )$。尽管如此，只要理解径向行为，就能在很大程度上理解所有轨道；把这一行为化为一个我们知道怎样求解的问题，帮助很大。

在 Newton 引力中对轨道作类似分析，也会得到类似结果；一般方程 (7.47) 完全相同，但有效势 (7.48) 中不会出现最后一项。（请注意，这个方程并非关于 $1/r$ 的幂级数，它是精确的。）在势 (7.48) 中，第一项只是一个常数，第二项与 Newton 引力势完全对应，第三项是角动量的贡献，它在 Newton 引力和广义相对论中形式相同。最后一项是广义相对论的贡献；事实将证明，它会造成很大的差异，在 $r$ 较小时尤其如此。

让我们考察图中所示的各种可能轨道。不同的 $V(r)$ 曲线对应不同的 $L$ 值；对于任意一条曲线，可以通过比较 $\frac{1}{2}{E}^2$ 与 $V(r)$ 来判断轨道行为。一般而言，粒子会在势中运动，直至抵达满足 $V(r)=\frac{1}{2}{E}^2$ 的“转向点”，随后开始沿相反方向运动。有时可能根本没有可抵达的转向点，这时粒子会一直走下去。在另一些情况下，粒子可能只是在半径 $r_c=const$ 处作圆周运动；当势是平的，即 $dV/dr=0$ 时，就会出现这种情况。对 (7.48) 求导可知，圆轨道出现于

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.49}\text{)}& ϵGM{r}_c^2-L^2{r}_c+3GM{L}^2\gamma =0,\end{array}$$

其中，在 Newton 引力中 $\gamma =0$，在广义相对论中 $\gamma =1$。若圆轨道对应势的极小值，它就是稳定的；若对应极大值，它就是不稳定的。非圆形的束缚轨道会围绕稳定圆轨道的半径振荡。

图 7.4：Newton 情形下，不同角动量所对应的有效势及允许的径向运动。

图 7.5：广义相对论的有效势多出短程项，因而产生新的轨道结构。

Newton 引力中的轨道

先看 Newton 引力，可知圆轨道出现于

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.50}\text{)}& r_c=\frac{L^2}{ϵGM}.\end{array}$$

对于无质量粒子，$ϵ=0$，所以没有圆轨道；这与图示一致，图中根本不存在任何束缚轨道。尽管在这个坐标系中看得不太清楚，无质量粒子其实沿直线运动，因为 Newton 引力对无质量粒子的力为零。（当然，无质量粒子在 Newton 理论中的地位有些成问题，不过暂且忽略。）用有效势来描述，具有给定能量 $E$ 的光子会从 $r=\mathrm{\infty }$ 入射，并逐渐“减速”（实际下降的是 $dr/d\lambda$，光速并未改变），直到抵达转向点，然后开始向外运动，返回 $r=\mathrm{\infty }$。$L$ 越小，光子在转向之前就会靠得越近；这些轨迹恰好对应光子起初瞄准的方向更接近引力天体。对有质量粒子，在半径 (7.50) 处存在稳定圆轨道，也存在围绕该半径振荡的束缚轨道。如果能量大于渐近值 $E=1$，轨道便不受束缚，描述一个接近恒星、随后又远离的粒子。我们知道，Newton 理论中的轨道是圆锥曲线——束缚轨道是圆或椭圆，非束缚轨道是抛物线或双曲线——不过这里不作证明。

广义相对论中的轨道

在广义相对论中，情况有所不同，但差异只在 $r$ 足够小时出现。由于差别来自 $-GM{L}^2/r^3$ 项，当 $r\to \mathrm{\infty }$ 时，两种理论中的行为完全相同。但当 $r\to 0$ 时，势趋于 $-\mathrm{\infty }$；Newton 情形下则趋于 $+\mathrm{\infty }$。在 $r=2GM$ 处，势总为零；该半径以内是黑洞，稍后会更深入地讨论。对于无质量粒子，势垒总是存在（$L=0$ 时除外，此时势恒等于零）；但能量足够高的光子仍会越过势垒，并不可避免地一路被拖向中心。（请注意，“能量足够高”意为“与其角动量相比足够高”——事实上，光子的频率无关紧要，唯一重要的是它指向的方向。）势垒顶部存在不稳定圆轨道。令 $ϵ=0$、$\gamma =1$，很容易解出 (7.49)，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.51}\text{)}& r_c=3GM.\end{array}$$

图也证实了这一点：$V(r)$ 在 $r=3GM$ 处取得极大值，对每个 $L$ 都是如此。这意味着，光子可以永远沿该半径上的圆周运行，但任何扰动都会使它飞向 $r=0$ 或 $r=\mathrm{\infty }$。

图 7.6：光子的有效势在 $r=3GM$ 处具有对应不稳定圆轨道的峰值。

图 7.7：有质量粒子的角动量决定稳定与不稳定圆轨道是否存在。

对于有质量粒子，依角动量不同，又会出现若干不同区域。圆轨道位于

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.52}\text{)}& r_c=\frac{L^2\pm \sqrt{L^4-12G^2{M}^2{L}^2}}{2GM}.\end{array}$$

当 $L$ 很大时，会有两个圆轨道，一个稳定，一个不稳定。在 $L\to \mathrm{\infty }$ 极限下，它们的半径为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.53}\text{)}& r_c=\frac{L^2\pm L^2(1-6G^2{M}^2/L^2)}{2GM}=(\frac{L^2}{GM},3GM).\end{array}$$

在此极限下，稳定圆轨道越来越远，不稳定圆轨道则趋近 $3GM$，这与无质量情形的行为相呼应。当 $L$ 减小时，两个圆轨道彼此靠近；当 (7.52) 的判别式在

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.54}\text{)}& L=\sqrt{12}GM,\end{array}$$

处消失时，两轨道重合，此时

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.55}\text{)}& r_c=6GM,\end{array}$$

而当 $L$ 更小时，它们会完全消失。因此，$6GM$ 是施瓦西度规中稳定圆轨道可能具有的最小半径。此外，还有从无穷远入射后转向的非束缚轨道，以及围绕稳定圆轨道半径振荡的束缚非圆轨道。请注意，这类轨道在 Newton 引力中会描出精确的圆锥曲线，在广义相对论中却不会如此，尽管要展示这一点，还必须解出关于 $d\varphi /dt$ 的方程。最后，还有从无穷远入射、一路继续到 $r=0$ 的轨道；当能量高于势垒时会发生这种情况，而当 、势垒彻底消失时也会如此。

因此，我们发现施瓦西解在 处具有稳定圆轨道，在 处具有不稳定圆轨道。重要的是要记住，这些只是测地线；受加速的粒子完全可以下探至 $r=3GM$ 以下再重新出来，只要它始终停留在 $r=2GM$ 之外。

广义相对论的经典检验

广义相对论的大多数实验检验都涉及测试粒子在太阳系中的运动，因而涉及施瓦西度规的测地线；这里正适合稍作停顿，考察这些检验。Einstein 提出了三项检验：光线偏折、近日点进动与引力红移。光线偏折在弱场极限下即可观测到，因此算不上对施瓦西几何精确形式的理想检验。人们曾在日食期间观测这种偏折，结果与广义相对论的预言相符（尽管它并非一项格外干净利落的实验）。近日点进动反映了非圆轨道并非闭合椭圆这一事实；在很好的近似下，它们是会发生进动的椭圆，描出一朵花般的图案。

图 7.8：非圆束缚轨道近似为不断转动长轴的椭圆，因此形成花瓣状轨迹。

利用测地线方程，可以把 $d\varphi /d\lambda$ 解成轨道偏心率 $e$ 的幂级数，并由此得到拱点频率 ${\omega }_a$；它定义为 $2\pi$ 除以椭圆完成一整周进动所需的时间。细节可查阅 Weinberg；答案为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.56}\text{)}& {\omega }_a=\frac{3(GM{)}^{3/2}}{c^2(1-e^2)r^{5/2}},\end{array}$$

这里恢复了 $c$，以便与观测比较。（亲自推导最低非零阶是一个很好的练习；在该阶近似下，$e^2$ 项不会出现。）在历史上，水星进动是广义相对论的第一项检验。对水星而言，相关数值为

当然还有 $c=3.00\times {10}^{10}$ cm/sec。由此得到 $‘{\omega }_a=2.35\times {10}^{-14}‘$ sec${}^{-1}$。换句话说，水星轨道的长轴每 100 年进动 $42.9$ 角秒。观测值为 $5601$ 角秒/100 年。不过，其中很大一部分来自地心坐标系中分点的进动，精确地说是 $5025$ 角秒/100 年。其他行星的引力扰动又贡献了 $532$ 角秒/100 年，留下 $43$ 角秒/100 年需要广义相对论解释，而它完成得相当出色。

正如我们已经看到的，引力红移也是弱场极限中存在的一种效应；事实上，任何服从等效原理的引力理论都会预言它。不过，这一点只适用于足够小的时空区域；跨越更大距离时，红移的精确数值将依赖度规，因而依赖正在考察的理论。因此，值得计算施瓦西几何中的红移。考虑两位并不沿测地线运动的观察者，他们固定在空间坐标值 $(r_1,{\theta }_1,{\varphi }_1)$ 与 $(r_2,{\theta }_2,{\varphi }_2)$ 处。根据 (7.45)，观察者 $i$ 的固有时间与坐标时间 $t$ 之间满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.58}\text{)}& \frac{d{\tau }_i}{dt}={(1-\frac{2GM}{r_i})}^{1/2}.\end{array}$$

设观察者 ${\mathcal{O}}_1$ 发出一道光脉冲，传播到观察者 ${\mathcal{O}}_2$；${\mathcal{O}}_1$ 测得光波相邻两个波峰之间的时间为 $\mathrm{\Delta }{\tau }_1$。每个波峰都沿同一条路径前往 ${\mathcal{O}}_2$，只是它们相隔一个坐标时间

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.59}\text{)}& \mathrm{\Delta }t={(1-\frac{2GM}{r_1})}^{-1/2}\mathrm{\Delta }{\tau }_1.\end{array}$$

这个坐标时间间隔沿光子轨迹不会改变，但第二位观察者测得相邻波峰间的时间为

由于这些间隔 $\mathrm{\Delta }{\tau }_i$ 测量的是电磁波两个波峰之间的固有时间，所以观测频率满足

这是频移的精确结果；在 极限下，有

这告诉我们，当 $\mathrm{\Phi }$ 增大时，频率会降低；爬出引力场时正是这种情况，因此会发生红移。可以检查，它与我们先前依据等效原理作出的计算一致。

Einstein 提出三项经典检验之后，人们又提出了广义相对论的更多检验。最著名的当然是上一节讨论过的双星脉冲星。另一项是 Shapiro 发现（并观测到）的引力时间延迟。它所表达的只是：在两个事件之间沿两条不同轨迹流逝的时间未必相同。人们通过让雷达信号从金星和火星反射回来测量了这种效应，结果再次与广义相对论的预言相符。尚未观测到的一种效应是 Lense–Thirring 效应，也叫参考系拖曳效应。长期以来，人们一直在推动一项拟议的卫星计划，称为引力探测器 B（Gravity Probe B）；它将携带精度极高的陀螺仪，使人们可以测量其进动，并分离出广义相对论的贡献。不过，它距离发射还有很长的路要走，而这类项目能否存续，每年都要重新面对考验。

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