第 4 章 引力

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4.1 弯曲时空中的物理学

在完成了必要的数学准备之后，我们现在可以考察广义相对论所描述的引力物理了。这个主题自然分成两部分：引力场如何影响物质的行为，以及物质如何决定引力场。在 Newton 引力理论中，这两个要素分别是物体在引力势 $\mathrm{\Phi }$ 中的加速度表达式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.1}\text{)}& \mathbf{a}=-\mathbf{\nabla }\mathrm{\Phi },\end{array}$$

以及用物质密度 $\rho$ 和 Newton 引力常数 $G$ 表示引力势的 Poisson 微分方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.2}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho .\end{array}$$

在广义相对论中，与之对应的陈述将说明：时空曲率怎样作用于物质并显现为引力，以及能量与动量怎样影响时空并产生曲率。对于这两方面，我们当然可以直接从最高层次出发，明白无误地陈述支配弯曲时空中物理过程的定律，再推导它们的后果。不过，我们会尝试采用一种更具启发性的方式：从基本物理原理开始，并论证这些原理如何自然地导向一套几乎唯一的物理理论。

在第 2 章中，我们通过引入 Einstein 等效原理（Einstein Equivalence Principle，EEP）来说明讨论流形的动机：“在足够小的时空区域内，物理定律退化为狭义相对论的物理定律；通过局域实验，不可能探测到引力场的存在。”EEP 源自引力具有普适性这一思想；它以相同方式作用于所有粒子（事实上也作用于一切形式的能量—动量）。正是这种普适性促使 Einstein 提出：我们体验到的引力，是时空曲率的一种表现。这个想法很简单：像引力这样普适的东西，最容易被描述为物质场传播所处背景的一项基本属性，而非一种通常意义上的力。与此同时，把时空认作弯曲流形，还得到这样一种相似性的支持：一方面，我们无法在局域区域中探测到引力；另一方面，在流形上的一点 $p$，我们总能找到局域惯性坐标，使 $g_{\hat{\mu }\hat{\nu }}={\eta }_{\hat{\mu }\hat{\nu }}$ 且 ${\partial }_{\hat{\rho }}{g}_{\hat{\mu }\hat{\nu }}=0$。

更妙的是，这种抽象的哲学思考可以直接化成一套简单方法，用于把物理定律推广到弯曲时空背景中；这套方法称为最小耦合原理。用最直截了当的形式表述，这套方法如下：

1. 取一条在平直时空的惯性坐标中成立的物理定律。
2. 把它写成坐标不变的（张量）形式。
3. 断言由此得到的定律在弯曲时空中仍然成立。

把如此简单的想法展开成三步程序，似乎多少有些夸张。我们只是希望清楚表明，这里没有很复杂的东西。在实际操作中，这套方法通常就是：取一条公认的平直空间定律，把 Minkowski 度规 ${\eta }_{\mu \nu }$ 换成更一般的度规 $g_{\mu \nu }$，并把偏导数 ${\partial }_{\mu }$ 换成协变导数 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }$。因此，那些用逗号和分号分别表示偏导数和协变导数的人，有时把这套方法称为“逗号变分号规则”（Comma-Goes-to-Semicolon Rule）。

作为一个直接的例子，我们可以考虑自由下落（无加速）粒子的运动。在平直空间中，这样的粒子沿直线运动；用方程表示，就是参数化路径 $x^{\mu }(\lambda )$ 的二阶导数为零：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.3}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\lambda }^2}=0.\end{array}$$

在一般坐标中，这并不是一个张量方程；尽管 $\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}\lambda$ 是一个定义良好的向量的分量，二阶导数 ${\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }/\mathrm{d}{\lambda }^2$ 却不是向量分量。你也许确实会觉得这个方程“看起来像张量方程”；然而很容易检验，它在极坐标中甚至不成立——除非你认为自由粒子会沿圆周运动。利用链式法则可以写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.4}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\lambda }^2}=\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}\lambda }{\partial }_{\nu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }.\end{array}$$

现在，如何把它推广到弯曲空间就很清楚了——只需以协变导数替换偏导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.5}\text{)}& \frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}\lambda }{\partial }_{\nu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }⟶\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}\lambda }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }=\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\lambda }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\mu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\rho }}{\mathrm{d}\lambda }\frac{\mathrm{d}{x}^{\sigma }}{\mathrm{d}\lambda }.\end{array}$$

于是我们认出，Newton 关系式（4.3）在广义相对论中的适当版本正是测地线方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.6}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\lambda }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\mu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\rho }}{\mathrm{d}\lambda }\frac{\mathrm{d}{x}^{\sigma }}{\mathrm{d}\lambda }=0.\end{array}$$

因此，在广义相对论中，自由粒子沿测地线运动；我们之前已经提到过这一点，现在你应该稍微更清楚它为什么成立了。

还有一个更直接的例子，而且我们先前已经用到过：平直时空中的能量—动量守恒定律

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.7}\text{)}& {\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.\end{array}$$

把它代入我们的规则，便得到向弯曲时空的适当推广：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.8}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.\end{array}$$

事情的确就这么简单——简单到我们在第 3 章使用这个方程时，完全可以心安理得地不作详细论证。当然，这种简单性丝毫不应减损推广到弯曲时空所带来的深刻后果，膨胀宇宙的例子便展示了这一点。

把一个方程从平直时空推广到弯曲时空是一回事；论证所得结果描述了引力，则是完全不同的另一回事。为此，我们可以说明 Newton 引力理论的通常结果如何纳入这幅图景。我们以三项要求定义 Newton 极限：粒子运动缓慢（相对于光速而言）；引力场很弱（因而可以把它视为平直空间上的微扰）；引力场还是静态的（不随时间变化）。让我们看看这些假设会怎样简化测地线方程，并取固有时 $\tau$ 为仿射参数。“运动缓慢”意味着

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.9}\text{)}& \frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}\tau }\ll \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau },\end{array}$$

因此测地线方程变成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.10}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\tau }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\mu }{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }\right)}^2=0.\end{array}$$

由于场是静态的（${\partial }_0{g}_{\mu \nu }=0$），有关的 Christoffel 符号 ${\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\mu }$ 可简化为

最后，引力场很弱这一条件允许我们把度规分解成 Minkowski 形式加上一个小微扰：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.12}\text{)}& g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu },|h_{\mu \nu }|\ll 1.\end{array}$$

我们在惯性坐标中工作，所以 ${\eta }_{\mu \nu }$ 是度规的标准形式。对于任意坐标，度规微扰 $h_{\mu \nu }$ 的“小量条件”其实没有意义。根据逆度规的定义 $g^{\mu \nu }{g}_{\nu \sigma }={\delta }_{\sigma }^{\mu }$，保留 $h$ 的一阶项可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.13}\text{)}& g^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \nu }-h^{\mu \nu },\end{array}$$

其中 $h^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }{h}_{\rho \sigma }$。事实上，对于 $h$ 的任何确定阶数的对象，我们都可以用 Minkowski 度规来升降指标，因为相应修正只会在更高阶产生贡献。如果你愿意，可以把 $h_{\mu \nu }$ 看成一个在 Minkowski 空间中传播并与其他场相互作用的对称 $(0,2)$ 张量场。

把所有结果合在一起，保留 $h_{\mu \nu }$ 的一阶项，我们得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.14}\text{)}& {\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\mu }=-\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \lambda }{\partial }_{\lambda }{h}_{00}.\end{array}$$

因此测地线方程（4.10）为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.15}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\tau }^2}=\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \lambda }{\partial }_{\lambda }{h}_{00}{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }\right)}^2.\end{array}$$

利用 ${\partial }_0{h}_{00}=0$，它的 $\mu =0$ 分量就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.16}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^{2}t}{\mathrm{d}{\tau }^2}=0.\end{array}$$

也就是说，$\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau$ 是常数。为了考察（4.15）的类空分量，回忆 ${\eta }^{\mu \nu }$ 的类空分量就是 $3\times 3$ 单位矩阵的分量。因此

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.17}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^i}{\mathrm{d}{\tau }^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }\right)}^2{\partial }_i{h}_{00}.\end{array}$$

方程两边都除以 $(\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau {)}^2$，就会把左边的导数从对 $\tau$ 的导数变成对 $t$ 的导数，从而得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.18}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^i}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{1}{2}{\partial }_i{h}_{00}.\end{array}$$

这已经非常像 Newton 引力理论了。事实上，把这个方程与（4.1）比较，就会发现，只要作出如下对应，两者便相同：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.19}\text{)}& h_{00}=-2\mathrm{\Phi },\end{array}$$

换句话说，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.20}\text{)}& g_{00}=-(1+2\mathrm{\Phi }).\end{array}$$

因此我们已经说明，只要度规采取（4.20）的形式，时空曲率确实足以在 Newton 极限中描述引力。当然，我们仍需找出能推出这种形式的度规场方程，并且还要证明：对于单个引力源物体，我们会恢复 Newton 公式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.21}\text{)}& \mathrm{\Phi }=-\frac{GM}{r},\end{array}$$

这些很快就会实现。

我们刚才概述的、把物理定律推广到弯曲时空的直接程序确实存在一些微妙之处，我们将在第 4.7 节讨论。不过，对于眼下的目的，它已经绰绰有余。因此，我们不再耽搁，转而完成任务的另一半：得到广义相对论中度规的场方程。

4.2 Einstein 方程

正如 Maxwell 方程支配电场和磁场如何响应电荷与电流一样，Einstein 场方程支配度规如何响应能量与动量。归根结底，场方程必须作为公设提出并接受实验检验，无法从任何最根本的原理中推导出来；不过，我们可以依据合理性论证来说明它的动机。我们将用两种方式来做这件事：先作一些非正式的类比推理，这与 Einstein 本人的思路很接近；随后从一个作用量出发，推导相应的运动方程。

这套非正式论证始于这样一个认识：我们希望找到一个能够取代 Newton 引力势 Poisson 方程的方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.22}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho ,\end{array}$$

其中 ${\mathrm{\nabla }}^2={\delta }^{ij}{\partial }_i{\partial }_j$ 是空间中的 Laplace 算子，$\rho$ 是质量密度。［（4.21）给出的 $\mathrm{\Phi }$ 的显式形式，是（4.22）在点状质量分布情形下的一个解。］我们要寻找的方程应该具备哪些特征？（4.22）左边是一个作用于引力势的二阶微分算子，右边则是质量分布的一种度量。相对论性推广应当表现为张量之间的方程。我们知道质量密度的张量推广是什么：它就是能量—动量张量 $T_{\mu \nu }$。与此同时，引力势应当由度规张量取代，因为在（4.20）中，为了成功重现引力，我们必须把度规的一个微扰与 Newton 势联系起来。因此可以猜测，新方程会把 $T_{\mu \nu }$ 设为与某个张量成正比，而这个张量含有度规的二阶导数，大致形如

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.23}\text{)}& [{\mathrm{\nabla }}^{2}g{]}_{\mu \nu }\propto T_{\mu \nu },\end{array}$$

当然，我们希望这个方程彻底具有张量形式。

（4.23）的左边并非一个有意义的张量；它只是一种启发性的记号，用来表示我们想要一个对称的 $(0,2)$ 张量，并且它对度规的导数是二阶的。第一个选择也许是让 d'Alembert 算子 $◻={\mathrm{\nabla }}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }$ 作用于度规 $g_{\mu \nu }$，但由于度规相容性，这个结果自动为零。所幸，有一个显然不为零、并由度规的二阶导数（以及一阶导数）构造出来的量：Riemann 张量 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$。回忆一下，Riemann 张量由 Christoffel 符号

及其一阶导数构成，而 Christoffel 符号又由度规及其一阶导数构成，所以 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$ 含有 $g_{\mu \nu }$ 的二阶导数。它的指标数目不合适，但可以把它缩并成指标数恰当的 Ricci 张量 $R_{\mu \nu }$（而且后者还是对称的）。因此，很容易令人猜想引力场方程为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.24}\text{)}& R_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },\end{array}$$

其中 $\kappa$ 是某个常数。事实上，Einstein 的确曾在某个阶段提出过这个方程。遗憾的是，能量守恒会带来问题。如果我们希望保持

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.25}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^{\mu }{T}_{\mu \nu }=0,\end{array}$$

那么根据（4.24），就必须有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.26}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^{\mu }{R}_{\mu \nu }=0.\end{array}$$

这在任意几何中肯定不成立；由 Bianchi 恒等式（3.150）我们已经看到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.27}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^{\mu }{R}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_{\nu }R.\end{array}$$

然而，我们提出的场方程意味着 $R=\kappa g^{\mu \nu }{T}_{\mu \nu }=\kappa T$，把这些结果结合起来便有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.28}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }T=0.\end{array}$$

标量的协变导数就是偏导数，所以（4.28）告诉我们，$T$ 在整个时空中是常数。这极不可信，因为真空中 $T=0$，物质中却有 $T\ne 0$。我们必须再多下点功夫。

当然，也无须费太多功夫，因为我们已经知道一个由 Ricci 张量构造、并自动守恒的对称 $(0,2)$ 张量：Einstein 张量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.29}\text{)}& G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu },\end{array}$$

它总是满足 ${\mathrm{\nabla }}^{\mu }{G}_{\mu \nu }=0$。因此，我们自然会提出

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.30}\text{)}& G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\end{array}$$

作为度规的场方程。（实际上，更常见的写法可能是把 $R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$ 完整写出，而不使用缩写 $G_{\mu \nu }$。）这个方程满足所有显然的要求：右边以一个对称、守恒的 $(0,2)$ 张量表示能量与动量密度，是一个协变表达式；左边则是由度规及其一阶、二阶导数构造的对称、守恒的 $(0,2)$ 张量。剩下的只有确定比例常数 $\kappa$，以及检验结果是否确实重现了

我们所熟知的引力。换言之，这个方程在 Newton 极限下是否预言了引力势的 Poisson 方程？

为了回答这个问题，注意（在四维中）缩并（4.30）两边可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.31}\text{)}& R=-\kappa T,\end{array}$$

利用它，可以把（4.30）改写为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.32}\text{)}& R_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }).\end{array}$$

这仍是同一个方程，只是写法稍有不同。我们希望看看，它能否在弱场、不随时间变化、粒子缓慢运动的极限中预言 Newton 引力。考虑一个作为能量—动量来源的理想流体，它满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.33}\text{)}& T_{\mu \nu }=(\rho +p)U_{\mu }{U}_{\nu }+p{g}_{\mu \nu },\end{array}$$

其中 $U^{\mu }$ 是流体的四速度，$\rho$ 和 $p$ 是静止系中的能量密度和动量密度。事实上，在 Newton 极限中可以忽略压强；粗略地说，当一个物体的组成粒子以接近光速的速度运动时，物体的压强才会变得重要，而根据假设，我们已将这种情况排除在 Newton 极限之外。因此，我们实际考虑的是尘埃的能量—动量张量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.34}\text{)}& T_{\mu \nu }=\rho U_{\mu }{U}_{\nu }.\end{array}$$

我们所考虑的“流体”是某个有质量的天体，例如地球或太阳。我们将在流体静止系中工作，此时

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.35}\text{)}& U^{\mu }=(U^0,0,0,0).\end{array}$$

类时分量可以通过归一化条件 $g_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }=-1$ 确定。按照（4.12）和（4.13），在弱场极限中写成

于是，保留 $h_{\mu \nu }$ 的一阶项可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.37}\text{)}& U^0=1+\frac{1}{2}{h}_{00}.\end{array}$$

不过，这其实谨慎得有些多余，因为我们将把四速度代入（4.34），而能量密度 $\rho$ 已经被视作小量（当 $\rho$ 趋于零时，时空将趋于平直）。所以在我们的近似精度下，可以直接取 $U^0=1$，相应地 $U_0=-1$。于是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.38}\text{)}& T_{00}=\rho ,\end{array}$$

其余所有分量都为零。在这一极限中，静止能量 $\rho =T_{00}$ 将远大于 $T_{\mu \nu }$ 中的其他各项，所以我们要关注（4.32）的 $\mu =0,\nu =0$ 分量。最低非平凡阶的迹为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.39}\text{)}& T=g^{00}{T}_{00}=-T_{00}=-\rho .\end{array}$$

把它代入我们提出的引力场方程（4.32）的 $00$ 分量，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.40}\text{)}& R_{00}=\frac{1}{2}\kappa \rho .\end{array}$$

这是一个把度规的导数与能量密度联系起来的方程。为了得到用度规表示的显式表达式，我们需要计算 $R_{00}=R^{\lambda }{}_{0\lambda 0}$。实际上，由于 $R^0{}_{000}=0$，我们只需计算 $R^i{}_{0i0}$。有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.41}\text{)}& R^i{}_{0j0}={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{00}^i-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{j0}^i+{\mathrm{\Gamma }}_{j\lambda }^i{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{0\lambda }^i{\mathrm{\Gamma }}_{j0}^{\lambda }.\end{array}$$

这里第二项是时间导数，对于静态场它为零。第三、第四项都具有 $(\mathrm{\Gamma }{)}^2$ 的形式；由于 $\mathrm{\Gamma }$ 对度规微扰是一阶的，这两项只在二阶才有贡献，因而可以忽略。剩下 $R^i{}_{0j0}={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{00}^i$。由此得到

与（4.40）比较可见，在 Newton 极限中，（4.30）的 $00$ 分量预言

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.43}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^2{h}_{00}=-\kappa \rho .\end{array}$$

由于（4.19）规定 $h_{00}=-2\mathrm{\Phi }$，只要令 $\kappa =8\pi G$，这就恰好是 Poisson 方程（4.22）。

看来我们的猜想（4.30）成功了。选取能正确恢复 Newton 极限的归一化之后，就可以写出广义相对论的 Einstein 方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.44}\text{)}& \boxed{R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }.}\end{array}$$

它告诉我们，时空曲率如何响应能量—动量的存在。$G$ 当然是 Newton 引力常数，与 $G_{\mu \nu }$ 的迹毫无关系。你可能听说过，Einstein 认为方程左边既漂亮又具有几何意味，而右边多少欠缺一些吸引力。

有时，把 Einstein 方程稍微改写一下会很有用。按照（4.31）和（4.32），对（4.44）取迹可得 $R=-8\pi GT$。把它代回并将迹项移到右边，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.45}\text{)}& \boxed{R_{\mu \nu }=8\pi G(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }).}\end{array}$$

这个方程与（4.44）的差别纯粹在外观上；二者的实质完全相同。我们经常会关心真空中的 Einstein 方程，此时 $T_{\mu \nu }=0$（例如在恒星或行星之外）。于是（4.45）的右边当然消失。因此，真空 Einstein 方程就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.46}\text{)}& \boxed{R_{\mu \nu }=0.}\end{array}$$

它看起来稍微不那么吓人，而且在物理上相当有用。

4.3 Lagrangian 表述

通往 Einstein 方程的另一条道路是最小作用量原理；第 1 章末尾讨论平直时空中的经典场论时，我们已经介绍过它。现在花一点时间把那些结果推广到弯曲时空，再看看什么样的 Lagrangian 适合广义相对论。我们将在 $n$ 维中工作，因为结果不依赖维数；不过，我们会假定度规具有 Lorentz 号差。

考虑一个场论，其中动力学变量是一组场 ${\mathrm{\Phi }}^i(x)$。这个理论的经典解是某个作用量 $S$ 的临界点；作用量通常表示为 Lagrangian 密度 $\mathcal{L}$ 在空间上的积分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.47}\text{)}& S=\int \mathcal{L}({\mathrm{\Phi }}^i,{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^i){\mathrm{d}}^{n}x.\end{array}$$

注意，我们现在设想 Lagrangian 是场及其协变导数（而非偏导数）的函数，这正适合弯曲空间。还要注意，${\mathrm{d}}^{n}x$ 是密度而非张量，所以 $\mathcal{L}$ 也是密度（因为二者的乘积必须是一个定义良好的张量）；我们通常写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.48}\text{)}& \mathcal{L}=\sqrt{-g}\hat{\mathcal{L}},\end{array}$$

其中 $\hat{\mathcal{L}}$ 确实是一个标量。你也许会觉得，干脆忘掉我们称作 $\mathcal{L}$ 的量，只关注 $\hat{\mathcal{L}}$ 会更合理；实际上，这两个量在不同场合都很有用：每当我们要对度规本身作变分时，真正重要的是 $\mathcal{L}$。

相应的 Euler–Lagrange 方程使用标量 $\hat{\mathcal{L}}$；除此之外，它们与平直空间中的方程相同，只需用协变导数替换偏导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.49}\text{)}& \frac{\partial \hat{\mathcal{L}}}{\partial \mathrm{\Phi }}-{\mathrm{\nabla }}_{\mu }\left(\frac{\partial \hat{\mathcal{L}}}{\partial ({\mathrm{\nabla }}_{\mu }\mathrm{\Phi })}\right)=0.\end{array}$$

推导这些方程时，我们使用 Stokes 定理（3.35）：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.50}\text{)}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{V}^{\mu }\sqrt{|g|}{\mathrm{d}}^{n}x={\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}{n}_{\mu }{V}^{\mu }\sqrt{|\gamma |}{\mathrm{d}}^{n-1}x,\end{array}$$

并令变分在无穷远处（边界上）为零。因此，分部积分采取如下形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.51}\text{)}& \int A^{\mu }({\mathrm{\nabla }}_{\mu }B)\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{n}x=-\int ({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{A}^{\mu })B\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{n}x+\text{边界项}.\end{array}$$

例如，第 1 章考察的单个标量场 $\varphi$ 的作用量，推广到弯曲时空后为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.52}\text{)}& S_{\varphi }=\int [-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }({\mathrm{\nabla }}_{\mu }\varphi )({\mathrm{\nabla }}_{\nu }\varphi )-V(\varphi )]\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{n}x,\end{array}$$

它导出运动方程

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.53}\text{)}& ◻\varphi -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\varphi }=0,\end{array}$$

其中协变 d'Alembert 算子为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.54}\text{)}& ◻={\mathrm{\nabla }}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }=g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }.\end{array}$$

与平直时空中一样，组合 $g^{\mu \nu }({\mathrm{\nabla }}_{\mu }\varphi )({\mathrm{\nabla }}_{\nu }\varphi )$ 常简写为 $(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2$。当然，当协变导数作用于标量时，它与偏导数等价；但继续使用 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }$ 记号是明智的，因为你永远不知道自己什么时候会作一次分部积分，突然让导数作用在一个向量上。

完成这项热身之后，我们转向为广义相对论构造作用量。现在的动力学变量是度规 $g_{\mu \nu }$；我们能用度规构造出哪些标量来充当 Lagrangian？我们知道，在任一点都能把度规化为标准形式，并使其一阶导数为零，所以任何非平凡标量都必须至少含有度规的二阶导数。Riemann 张量当然由度规的二阶导数构成；我们先前还论证过，由 Riemann 张量能够构造的唯一独立标量是 Ricci 标量 $R$。有一件事我们没有证明、但确实成立：任何由度规及其一阶、二阶导数的乘积构成的非平凡张量，都可以用度规和 Riemann 张量表示。因此，由度规构造、并且其导数阶数不高于二阶的唯一独立标量，

就是 Ricci 标量。Hilbert 由此认为，它是 Lagrangian 最简单的可能选择，并提出

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.55}\text{)}& S_H=\int \sqrt{-g}R{\mathrm{d}}^{n}x,\end{array}$$

这称为 Hilbert 作用量（有时也称 Einstein–Hilbert 作用量）。我们将会看到，他是对的。

运动方程应当来自作用量对度规的变分。遗憾的是，这个作用量不完全具有（4.47）的形式，因为它无法用 $g_{\mu \nu }$ 的协变导数来表示（那样的导数会直接为零）。所以，我们不会简单地把它代入 Euler–Lagrange 方程，而会直接考察 $S_H$ 在度规发生小变分时的行为。事实上，对逆度规 $g^{\mu \nu }$ 作变分更加方便。由于 $g^{\mu \nu }{g}_{\lambda \nu }={\delta }_{\lambda }^{\mu }$，而 Kronecker delta 在任何变分下都不改变，很容易把度规与逆度规的变分相互表示：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.56}\text{)}& \delta g_{\mu \nu }=-g_{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma }\delta g^{\rho \sigma },\end{array}$$

所以，$g^{\mu \nu }$ 变分下的驻点与 $g_{\mu \nu }$ 变分下的驻点等价。利用 $R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$，有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.57}\text{)}& \delta S_H=(\delta S{)}_1+(\delta S{)}_2+(\delta S{)}_3,\end{array}$$

其中

第二项 $(\delta S{)}_2$ 已经具有“某个表达式乘以 $\delta g^{\mu \nu }$”的形式；让我们更仔细地考察另外两项。

回忆 Ricci 张量是 Riemann 张量的缩并，而后者为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.59}\text{)}& R^{\rho }{}_{\mu \lambda \nu }={\partial }_{\lambda }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \sigma }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\sigma }-(\lambda \leftrightarrow \nu ).\end{array}$$

若要求 Riemann 张量对度规的变分，可以先求联络对度规的变分，再代入这个表达式。不过，让我们先作如下替换，考虑联络的任意变分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.60}\text{)}& {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\rho }⟶{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\rho }+\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\rho }.\end{array}$$

$\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\rho }$ 是两个联络之差，因此它本身是张量。于是可以取它的协变导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.61}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\lambda }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\rho })={\partial }_{\lambda }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\rho })+{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \sigma }^{\rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \nu }^{\sigma }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \mu }^{\rho }-{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\sigma }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }.\end{array}$$

这里以及下文的协变导数，都是相对于 $g_{\mu \nu }$ 而非 $g_{\mu \nu }+\delta g_{\mu \nu }$ 取的。利用这个表达式，再作少量运算，很容易说明变分的一阶项满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.62}\text{)}& \delta R^{\rho }{}_{\mu \lambda \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\lambda }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\rho })-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\rho }).\end{array}$$

建议你亲自验证。因此，（4.58）第一项对 $\delta S$ 的贡献可写为

这里使用了度规相容性，并重新标记了一些哑指标。现在可以代入用 $\delta g^{\mu \nu }$ 表示的 $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\sigma }$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.64}\text{)}& \delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\sigma }=-\frac{1}{2}[g_{\lambda \mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }(\delta g^{\lambda \sigma })+g_{\lambda \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\delta g^{\lambda \sigma })-g_{\mu \alpha }{g}_{\nu \beta }{\mathrm{\nabla }}^{\sigma }(\delta g^{\alpha \beta })],\end{array}$$

由此得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.65}\text{)}& (\delta S{)}_1=\int {\mathrm{d}}^{n}x\sqrt{-g}{\mathrm{\nabla }}_{\sigma }[g_{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}^{\sigma }(\delta g^{\mu \nu })-{\mathrm{\nabla }}_{\lambda }(\delta g^{\sigma \lambda })],\end{array}$$

也欢迎你验证这个结果。不过，（4.63）［或（4.65）］是一个向量的协变散度关于自然体积元的积分；根据 Stokes 定理，它等于无穷远处的边界贡献。令变分在无穷远处消失，就可以把它设为零。因此，这一项对总变分没有贡献。坦率地说，这里我们耍了一点小花招。边界项不只包含度规的变分，还包含它的一阶导数，而后者通常并没有被设为零。对于眼下的目的，这无关紧要；原则上，我们也许确实在意边界上发生的事情，那时就必须在作用量中加入一个额外项来处理这一微妙之处。

为了理解 $(\delta S{)}_3$ 项，我们需要用到以下事实：对任意行列式非零的方阵 $M$，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.66}\text{)}& \ln (\det M)=\mathrm{Tr}(\ln M).\end{array}$$

这里，$\ln M$ 由 $\exp (\ln M)=M$ 定义。对数而言，这一点显而易见；对矩阵而言，则没有那么直接。对此恒等式作变分可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.67}\text{)}& \frac{1}{\det M}\delta (\det M)=\mathrm{Tr}(M^{-1}\delta M).\end{array}$$

我们利用了迹的循环性质，因此无须在意 $M^{-1}$ 与 $\delta M$ 可能并不对易。令矩阵 $M$ 为度规 $g_{\mu \nu }$，使 $\det M=\det g_{\mu \nu }=g$，便有

最后一步使用（4.56），把 $\delta g_{\mu \nu }$ 换成了 $\delta g^{\mu \nu }$。现在直接代入可得

回到（4.58），并记住 $(\delta S{)}_1$ 没有贡献，我们得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.70}\text{)}& \delta S_H=\int {\mathrm{d}}^{n}x\sqrt{-g}[R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }]\delta g^{\mu \nu }.\end{array}$$

回忆作用量的泛函导数满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.71}\text{)}& \delta S=\int \left[\sum _i\left(\frac{\delta S}{\delta {\mathrm{\Phi }}^i}\right)\delta {\mathrm{\Phi }}^i\right]{\mathrm{d}}^{n}x,\end{array}$$

其中 $\{{\mathrm{\Phi }}^i\}$ 是参与变分的一组完备的场（在我们的情形中，只有 $g^{\mu \nu }$）。驻点满足每个 $\delta S/\delta {\mathrm{\Phi }}^i=0$，所以我们恢复了真空中的 Einstein 方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.72}\text{)}& \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_H}{\delta g^{\mu \nu }}=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=0.\end{array}$$

Lagrangian 方法的优势体现在：我们的第一个猜测（实际上几乎是唯一的猜测）就给出了正确答案，而先前采用的却是试错法。这反映出这一技术的两个优雅特征。第一，Lagrangian 是标量，约束比张量更强；第二，可以直接把理论的对称性施加进去（在这里，我们自动导出了一个散度为零的张量；它与微分同胚不变性有关，见附录 B）。

我们推导的是“真空中”的 Einstein 方程，因为只把作用量的引力部分纳入考虑，没有加入物质场的额外项。不过，我们真正希望同时得到非真空场方程。这意味着我们要考虑如下形式的作用量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.73}\text{)}& S=\frac{1}{16\pi G}{S}_H+S_M,\end{array}$$

其中 $S_M$ 是物质的作用量；我们颇有先见之明地把引力作用量归一化，使它给出正确答案。沿用上面的同一套程序，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.74}\text{)}& \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}=\frac{1}{16\pi G}(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu })+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}=0.\end{array}$$

现在，我们大胆地把能量—动量张量定义为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.75}\text{)}& T_{\mu \nu }=-2\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu \nu }}.\end{array}$$

这让我们恢复了完整的 Einstein 方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.76}\text{)}& R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu },\end{array}$$

等价地，$G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$。

为什么应当认为（4.75）真的是能量—动量张量？在某种意义上，理由只在于它是一个对称、守恒、量纲为能量密度的 $(0,2)$ 张量；如果你愿意给它换个名字，也完全可以。不过，它还确实符合我们先入为主的预期。再次考虑标量场的作用量（4.52）。现在对这个作用量作变分时，不对 $\varphi$ 变分，而对逆度规变分：

因此

在平直时空中，它退化为我们在第 1 章中断言的标量场的正确能量—动量张量。

另一方面，在 Minkowski 空间中，能量—动量张量还存在另一种定义；电磁学或场论教材有时会给出这种定义。在这一语境下，能量—动量守恒来自

Lagrangian 在时空平移下的对称性。Noether 定理指出，Lagrangian 的每一种对称性都意味着一条守恒定律的存在；在四种时空平移下的不变性导出张量 $S^{\mu \nu }$，它满足 ${\partial }_{\mu }{S}^{\mu \nu }=0$（四个关系，对应 $\nu$ 的每个取值）。细节可见 Wald（1984）或 Peskin 与 Schroeder（1995）。在平直时空中，对一个依赖某些场 ${\mathrm{\Phi }}^i$ 及其一阶导数 ${\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^i$ 的 Lagrangian 应用 Noether 程序，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.80}\text{)}& S^{\mu \nu }=\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^i)}{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^i-{\eta }^{\mu \nu }\mathcal{L},\end{array}$$

其中隐含了对 $i$ 求和。你可以利用物质场的运动方程检验这个张量是守恒的。$S^{\mu \nu }$ 常被称为“正则能量—动量张量”（canonical energy-momentum tensor）；不过，对我们而言，采用（4.75）更方便，原因有好几个。首先，从作用量推导 Einstein 方程时，实际出现在方程右边的正是（4.75），而（4.80）并不总能推广到弯曲时空。即使在平直空间中，（4.75）也有自身优势：它显然是对称的，而且必定具有规范不变性；（4.80）并不具备这两项保证。因此，我们将坚持以（4.75）作为能量—动量张量的定义。

现在已经导出了 Einstein 方程，本章剩余部分将用于探索它的一些性质。这些讨论很有意思，但并非绝对必要；如果愿意，你可以直接跳到后续各章讨论的应用。

4.4 Einstein 方程的性质

Einstein 方程可以看成度规张量场 $g_{\mu \nu }$ 的一组二阶微分方程。实际上有十个独立方程（因为两边都是对称二指标张量），这看起来恰好对应度规分量这十个未知函数。然而，Bianchi 恒等式 ${\mathrm{\nabla }}^{\mu }{G}_{\mu \nu }=0$ 对函数 $R_{\mu \nu }(x)$ 施加了四个约束，所以（4.44）中真正独立的方程只有六个。事实上这正合适：如果一个度规在坐标系 $x^{\mu }$ 中是 Einstein 方程的解，那么它在任何其他坐标系 $x^{{\mu }^{\prime }}$ 中也应当是解。这意味着 $g_{\mu \nu }$ 中有四个非物理自由度，由四个函数 $x^{{\mu }^{\prime }}(x^{\mu })$ 表示；所以我们应当预期 Einstein 方程只约束六个与坐标无关的自由度。

把它们视为微分方程时，会发现这些方程极其复杂：Ricci 标量和张量是 Riemann 张量的缩并；Riemann 张量包含 Christoffel 符号的导数与乘积；Christoffel 符号又包含逆度规和度规的导数。此外，能量—动量张量 $T_{\mu \nu }$ 通常也会包含度规。这些方程还是非线性的，所以无法把两个已知解叠加成第三个解。因此，要以任何程度的一般性求解 Einstein 方程都非常

困难，通常必须作出一些简化假设。即使在真空中，把能量—动量张量设为零后，所得方程（4.46）仍可能非常难解。最常见的一类简化假设，是认为度规具有相当高的对称性；稍后我们会看到，等距映射如何让问题变得容易。

广义相对论的非线性值得评论。在 Newton 引力理论中，两个点质量产生的势就是各自引力势之和；显然，这一点在弱场极限之外无法延续到广义相对论。这里有一个物理原因：在 GR 中，引力场会与自身耦合。可以把这看成等效原理的后果——如果引力不与自身耦合，那么一个“引力原子”（两个靠相互引力吸引而束缚的粒子）的惯性质量就会因负的束缚能而不同于其引力质量。Einstein 方程的非线性，反映的正是引力对自身的反作用。

Feynman 图提供了一种理解这一点的好方式。在量子场论中，Feynman 图用于计算散射过程的振幅；把不同相互作用的各种贡献相加即可得到振幅，而每一种贡献都由自己的图表示。即使我们不深入到量子化引力、计算散射截面的程度（见本节末尾），仍可把 Feynman 图用作一种简单的记账工具，分清哪些相互作用存在、哪些不存在。一个简单例子是两个电子之间的电磁相互作用；可以认为这种相互作用源自一个虚光子的交换，如图 4.1 所示。

与此相对，不存在两个光子彼此交换另一个光子的图，因为电磁学是线性的（没有反作用）。与此同时，可以认为引力相互作用源自虚引力子（度规的量子化微扰）的交换。非线性表现为：电子和引力子都能

图 4.1　电磁相互作用的 Feynman 图。 图中两条电子线（$e^{-}$）通过一条标为“photon”的波线耦合。在量子场论中，这类图用于计算散射过程的振幅；在这里只把它当成表示某种相互作用的示意图。这张特定图的要点是：光子与电子的耦合造成电子之间的电磁相互作用。相比之下，光子之间没有相互耦合，所以不存在光子彼此相互作用的对应图。

交换虚引力子，从而施加引力，如图 4.2 所示。引力的这一特征并非独有；大多数规范理论都具备它，例如描述强相互作用的量子色动力学。电磁学实际上才是例外：它的线性可追溯到相应规范群 $\mathrm{U}(1)$ 是 Abel 群这一事实。不过，非线性确实标志着对 Newton 理论的偏离。这种差异能够通过实验探测；正如我们将看到的，水星轨道在 GR 和 Newton 引力理论中有所不同，其原因就是引力场会影响自身，而且我们越接近太阳，这种影响就越明显。

图 4.2　引力的 Feynman 图。 左图画出两条电子线通过一条标为“graviton”的虚引力子线相互作用；右图画出多条标为“gravitons”的引力子线彼此耦合。量子化之后，Einstein 方程预言会有称为引力子的粒子。我们还不知道如何以自洽方式完成这种量子化，但引力子的存在足够稳健，预期任何定义良好的方案都会包含它。由于引力与能量—动量耦合，引力子会与每一种粒子相互作用，其中也包括其他引力子。这提供了一种理解 Einstein 理论非线性的方式。

除了复杂和非线性之外，还值得进一步思考 Einstein 方程究竟告诉了我们什么。它显然把能量—动量分布与曲率张量的分量联系起来；但从物理角度看，给定一种源以后，究竟会产生什么样的引力场？回答这个问题的一种方式，是考虑一族相邻类时测地线的膨胀量 $\theta$ 如何演化。设想一小团自由测试粒子沿测地线运动，四速度为 $U^{\mu }$；我们跟踪它们的演化。膨胀量 $\theta ={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{U}^{\mu }$ 告诉我们，在任一时刻，这团粒子的体积正在怎样增大（若 ，则在缩小）。膨胀量的数值显然依赖测试粒子的初始条件。另一方面，引力效应编码在膨胀量的演化中，而这种演化由 Raychaudhuri 方程支配。附录 F 讨论了这个方程；它告诉我们，沿测地线对固有时 $\tau$ 求膨胀量的导数为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.81}\text{)}& \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\tau }=2{\omega }^2-2{\sigma }^2-\frac{1}{3}{\theta }^2-R_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }.\end{array}$$

右边各项在附录 F 中有仔细说明；$\omega$ 编码测地线的旋转，$\sigma$ 编码剪切，而 $R_{\mu \nu }$ 当然是 Ricci 张量。Raychaudhuri 方程是一个纯几何关系，完全没有

引用 Einstein 方程。不过，把两个方程结合起来，就可以描述能量—动量如何影响测试粒子的运动，因为 Einstein 方程把 $T_{\mu \nu }$ 与 $R_{\mu \nu }$ 联系起来，而 Raychaudhuri 方程又把 $R_{\mu \nu }$ 与 $\mathrm{d}\theta /\mathrm{d}\tau$ 联系起来。

让我们考虑最简单的可能情形：在一小片时空区域内，所有相邻粒子起初彼此相对静止。于是，在这个初始时刻，膨胀、旋转和剪切都为零。进一步建立局域惯性坐标 $x^{\hat{\mu }}$，使 $U^{\hat{\mu }}$ 处在它的静止系中；于是 $U^{\hat{\mu }}=(1,0,0,0)$，且 $R_{\hat{\mu }\hat{\nu }}{U}^{\hat{\mu }}{U}^{\hat{\nu }}=R_{\hat{0}\hat{0}}$。所以（在这些坐标中、这一点上）有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.82}\text{)}& \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\tau }=-R_{\hat{0}\hat{0}}.\end{array}$$

现在转向如下形式的 Einstein 方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.83}\text{)}& R_{\mu \nu }=8\pi G(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }).\end{array}$$

因为我们使用局域惯性坐标，所以

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.84}\text{)}& g_{\hat{\mu }\hat{\nu }}={\eta }_{\hat{\mu }\hat{\nu }},\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.85}\text{)}& T=g^{\hat{\mu }\hat{\nu }}{T}_{\hat{\mu }\hat{\nu }}=-\rho +p_x+p_y+p_z,\end{array}$$

其中 $\rho =T_{\hat{0}\hat{0}}$ 是静止系能量密度，$p_k=T_{\hat{k}\hat{k}}$ 是 $x^{\hat{k}}$ 方向上的压强。因此，（4.82）变成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.86}\text{)}& \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\tau }=-4\pi G(\rho +p_x+p_y+p_z).\end{array}$$

这个方程告诉我们：能量和压强会产生引力场，使起初静止的一团测试粒子体积减小（若 $\rho$ 和各个 $p_i$ 都为正）。换言之，引力具有吸引性。

当然，从（4.86）可以看到，引力并不一定具有吸引性；完全可以设想某种源，使 $\rho +p_x+p_y+p_z$ 为负数。压强的作用显然值得注意。首先，它代表了与 Newton 理论毫不含糊的偏离；在 Newton 理论中，压强不影响引力（它不出现在 Poisson 方程 ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho$ 中）。这种差异在太阳系内很难察觉，因为太阳和行星内部的压强远小于能量密度，而能量密度主要由组成粒子的静止质量贡献。其次，请注意，压强的引力效应与我们更熟悉的直接效应方向相反；正压强的直接效应是把物体推开。在大多数情形中，压强的直接效应明显得多。然而，压强只有在存在压强梯度时才能直接起作用（例如活塞内外的压强发生变化）；引力效应则只依赖压强在局域的取值。假如存在一种处处完全均匀的

压强，它只能通过自身的引力效应被探测到；第 4.5 节讨论的真空能量就是一个例子。

最后再评论一下（4.86）：它与 Einstein 方程完全等价——二者传达完全相同的信息。这个非常具体的关系对任何一组起初静止的测试粒子都成立；要做到这一点，Einstein 方程的全部分量必须成立。因此，如果愿意，可以用文字把 Einstein 方程表述如下：¹“任意一组起初静止的粒子，其体积的膨胀与能量密度和三个压强分量之和的负值成正比。”

所以，Einstein 方程告诉我们：当 $\rho$ 与 $p$ 为正时，能量密度和压强会以某种方式影响 Ricci 张量，使粒子彼此吸引。那么，Riemann 张量中没有纳入 Ricci 张量的那些分量又怎样呢？第 3 章发现，这些分量由 Weyl 张量描述（这里写成四维形式）：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.87}\text{)}& C_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\rho \sigma \mu \nu }+\frac{1}{3}{g}_{\rho [\mu }{g}_{\nu ]\sigma }R-g_{\rho [\mu }{R}_{\nu ]\sigma }+g_{\sigma [\mu }{R}_{\nu ]\rho }.\end{array}$$

Ricci 张量是 Riemann 张量的迹，而 Weyl 张量描述无迹部分；二者合起来完整刻画了曲率。显然，在给定某种确定的能量—动量分布后，Weyl 曲率的选择仍有一定自由，因为没有类似 Einstein 方程的关系，能把 $C^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$ 与 $T_{\mu \nu }$ 代数地联系起来。这正是应有的情形。举例说，设想一个处处为真空的时空，$R_{\mu \nu }=0$。平直 Minkowski 空间是一个可能解，但在空时空中传播的引力波也是一个解（第 7 章将讨论）。

由于只有 $R_{\mu \nu }$ 进入 Einstein 方程，看起来 $C^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$ 的分量似乎完全不受约束。不过请回忆，我们不能在整个流形上任意指定曲率张量的分量；Bianchi 恒等式把它们联系起来：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.88}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{[\lambda }{R}_{\rho \sigma ]\mu \nu }=0.\end{array}$$

正如你在第 3 章习题 10 中证明的，这个恒等式为 Weyl 张量导出如下形式的微分关系：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.89}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^{\rho }{C}_{\rho \sigma \mu \nu }={\mathrm{\nabla }}_{[\mu }{R}_{\nu ]\sigma }+\frac{1}{6}{g}_{\sigma [\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu ]}R.\end{array}$$

右边的 Riemann 张量只通过其缩并——Ricci 标量和 Ricci 张量——出现，而 Einstein 方程可以把它们与 $T_{\mu \nu }$ 联系起来；因此有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.90}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^{\rho }{C}_{\rho \sigma \mu \nu }=8\pi G({\mathrm{\nabla }}_{[\mu }{T}_{\nu ]\sigma }+\frac{1}{3}{g}_{\sigma [\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu ]}T).\end{array}$$

所以，$R_{\mu \nu }$ 与 $T_{\mu \nu }$ 通过 Einstein 方程形成代数关系，而 $C_{\rho \sigma \mu \nu }$ 与 $T_{\mu \nu }$ 则由这个一阶微分方程联系起来。对于给定的

¹ J. C. Baez，“The Meaning of Einstein's Equation”，http://arxiv.org/abs/gr-qc/0103044。

能量—动量分布，可能会有许多个解，每一个由特定的边界条件指定。可以把这个方程看成引力波的传播方程，与 Maxwell 方程 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{F}^{\nu \mu }=J^{\nu }$ 十分相似。

列举了 Einstein 方程的所有这些美好性质之后，公平起见，我们也应当提到一个令人苦恼的特征：众所周知，广义相对论很难与量子力学相协调。GR 是经典场论：动力学变量是定义在时空上的一个场（度规），而由这个场构造的坐标不变量（例如曲率标量）原则上可以按任意精度确定并测量。对于电磁学等其他场论，人们已经充分理解如何从经典理论出发对其量子化，从而得到作用在 Hilbert 空间中波函数上的算符之动力学。对于 GR，通常的程序会同时遭遇技术和概念困难，描述这些困难超出了本书范围。技术困难的一方面是：$G$ 无法像粒子物理标准模型那样“重整化”；当考虑高阶量子效应时，会出现无法被吸收到任何有限个参数中的无穷大。不可重整化并不意味着理论从根本上错误，却强烈暗示我们只应当在某个能标以下认真对待它。

幸运的是，预计量子引力的可观测效应开始变得重要的区域，与我们的日常经验相距甚远（同样也远离实验室能够制造的任何条件）。早在 1899 年，Planck 就注意到，他的常数 $h$——如今我们更常使用 $\hslash =h/2\pi =1.05\times {10}^{-27}{\mathrm{cm}}^2\mathrm{g}/\sec$——可以和 Newton 常数 $G=6.67\times {10}^{-8}{\mathrm{cm}}^3{\mathrm{g}}^{-1}{\sec }^{-2}$ 以及光速 $c=3.00\times {10}^{10}\mathrm{cm}{\sec }^{-1}$ 结合起来，形成一组基本的有量纲量：Planck 质量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.91}\text{)}& m_{\mathrm{P}}={\left(\frac{\hslash c}{G}\right)}^{1/2}=2.18\times {10}^{-5}\mathrm{g},\end{array}$$

Planck 长度

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.92}\text{)}& l_{\mathrm{P}}={\left(\frac{\hslash G}{c^3}\right)}^{1/2}=1.62\times {10}^{-33}\mathrm{cm},\end{array}$$

Planck 时间

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.93}\text{)}& t_{\mathrm{P}}={\left(\frac{\hslash G}{c^5}\right)}^{1/2}=5.39\times {10}^{-44}\sec ,\end{array}$$

以及 Planck 能量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.94}\text{)}& E_{\mathrm{P}}={\left(\frac{\hslash c^5}{G}\right)}^{1/2}=1.95\times {10}^{16}\mathrm{erg},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.95}\text{)}& E_{\mathrm{P}}=1.22\times {10}^{19}\mathrm{GeV}.\end{array}$$

$1\mathrm{GeV}$ 等于 ${10}^9$ 电子伏特，是粒子物理中常用的单位，因为它大约对应一个质子的质量。我们通常令 $\hslash =c=1$，于是这些量在 $m_{\mathrm{P}}=l_{\mathrm{P}}^{-1}=t_{\mathrm{P}}^{-1}=E_{\mathrm{P}}$ 的意义下都无法区分。你会听到人们说“Planck 质量是 ${10}^{19}\mathrm{GeV}$”之类的话，或者干脆说“Planck 标度”。另一个常用量是约化 Planck 标度，${\overline{m}}_{\mathrm{P}}=m_{\mathrm{P}}/\sqrt{8\pi }=2.43\times {10}^{18}\mathrm{GeV}$；它在方程中往往更方便——注意（4.73）中曲率标量的系数是 ${\overline{m}}_{\mathrm{P}}^2/2$。最有可能的是，只有在考虑大于 $m_{\mathrm{P}}$ 的粒子质量、短于 $t_{\mathrm{P}}$ 的时间、小于 $l_{\mathrm{P}}$ 的长度或高于 $E_{\mathrm{P}}$ 的能量时，量子引力才会变得重要；在更低标度上，经典 GR 应当足够。由于这些条件都远离可观测现象，构造一个自洽量子引力理论更多是原则问题，而非实践问题。另一方面，弯曲时空中的量子效应在现实世界中可能很重要；正如第 8 章将讨论的，它们可能在早期宇宙中产生密度涨落，随后增长成我们今天观察到的星系和大尺度结构。

存在一个能在适当极限下涵盖 GR 的完全量子理论之主要候选：弦理论。在弦理论中，我们用称为“弦”的微小一维对象取代电子或光子那样的点粒子；它们可以是闭合环，也可以是开放线段。弦理论最初是作为强核力模型提出的，但人们很快认识到，该理论不可避免地预言一种无质量、自旋为二的粒子——这恰恰是引力量子理论所需要的。弦理论看起来是一套自洽的量子理论，而且它预言引力；不过，我们对它仍有大量不了解之处。尤其是，经典时空如何从基本弦中涌现，仍颇为神秘；它与直接实验之间的联系充其量也很薄弱。尽管如此，弦理论极其丰富而稳健，并有望在可预见的未来成为理论物理的重要组成部分。

4.5 宇宙学常数

广义相对论的一项特征是，引力场的源是完整的能量—动量张量。在非引力物理中，只有能量从一种状态到另一种状态的变化可以测量；能量的归一化是任意的。例如，对于任意常数 $V_0$，势能为 $V(x)$ 的粒子与势能为 $V(x)+V_0$ 的粒子具有完全相同的运动。然而在引力中，能量的实际数值很重要，不能只看不同状态之间的差。

这种行为为真空能量打开了可能性：它是空空间自身特有的一种能量密度。我们也许希望真空具有这样一项性质：它不挑选任何优先方向；只要相应的能量—动量张量在局域惯性坐标中具有 Lorentz 不变性，能量密度仍可不为零。Lorentz 不变性意味着相应的

能量—动量张量应当与度规成正比：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.96}\text{)}& T_{\hat{\mu }\hat{\nu }}^{(\mathrm{vac})}=-{\rho }_{\mathrm{vac}}{\eta }_{\hat{\mu }\hat{\nu }},\end{array}$$

因为 ${\eta }_{\hat{\mu }\hat{\nu }}$ 是唯一 Lorentz 不变的 $(0,2)$ 张量。它很容易从惯性坐标推广到任意坐标：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.97}\text{)}& T_{\mu \nu }^{(\mathrm{vac})}=-{\rho }_{\mathrm{vac}}{g}_{\mu \nu }.\end{array}$$

将它与理想流体能量—动量张量 $T_{\mu \nu }=(\rho +p)U_{\mu }{U}_{\nu }+p{g}_{\mu \nu }$ 比较，我们发现真空看起来像一种理想流体，其各向同性压强与能量密度符号相反：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.98}\text{)}& p_{\mathrm{vac}}=-{\rho }_{\mathrm{vac}}.\end{array}$$

能量密度在整个时空中应当是常数，因为梯度不会具有 Lorentz 不变性。

如果把能量—动量张量分解成物质部分 $T_{\mu \nu }^{(\mathrm{M})}$ 和真空部分 $T_{\mu \nu }^{(\mathrm{vac})}=-{\rho }_{\mathrm{vac}}{g}_{\mu \nu }$，Einstein 方程为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.99}\text{)}& R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=8\pi G(T_{\mu \nu }^{(\mathrm{M})}-{\rho }_{\mathrm{vac}}{g}_{\mu \nu }).\end{array}$$

发明 GR 后不久，Einstein 试图寻找一个静态宇宙学模型，因为当时的天文观测看起来正是这样暗示的。结果就是 Einstein 静态宇宙，第 8 章将讨论它。为了让这个静态宇宙学模型在普通物质源存在时满足场方程，需要加入一个称为宇宙学常数 $\mathrm{\Lambda }$ 的新项：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.100}\text{)}& R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }.\end{array}$$

与（4.99）比较可见，宇宙学常数恰好等价于引入真空能量密度

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.101}\text{)}& {\rho }_{\mathrm{vac}}=\frac{\mathrm{\Lambda }}{8\pi G}.\end{array}$$

“宇宙学常数”和“真空能量”两个术语基本可以互换。

我们是否应该预期真空能量非零？我们通过寻找能由度规构造的最简单标量，得到了 Hilbert Lagrangian ${\hat{\mathcal{L}}}_H=R$。当然，还有一个更加简单的标量，也就是常数。利用（4.69），很容易检验作用量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.102}\text{)}& S=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}[\frac{1}{16\pi G}(R-2\mathrm{\Lambda })+{\hat{\mathcal{L}}}_{\mathrm{M}}]\end{array}$$

会导出修正后的方程（4.100）；也可以等价地说，真空 Lagrangian 就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.103}\text{)}& {\hat{\mathcal{L}}}_{\mathrm{vac}}=-{\rho }_{\mathrm{vac}}.\end{array}$$

所以，引入真空能量当然很容易；然而，它以任意常数的形式出现，我们无法洞察它应有的数值。

真空能量归根结底是一个独立的自然常数。（某些理论构成例外，其中超对称或共形不变性等时空对称性支配真空能量的数值；这里我们考虑更加一般的场论。）尽管如此，真空能量会收到多种彼此不同的贡献；如果总值远小于各项贡献，就会显得很奇怪。其中一项贡献来自零点涨落——量子场处于真空态时的能量。

考虑一个简单谐振子：一个粒子在一维势 $V(x)=\frac{1}{2}{\omega }^2{x}^2$ 中运动。在经典理论中，这个系统的真空态是粒子静止并处在势能最低点（$x=0$）的状态，此时能量为零。然而在量子力学中，不确定性原理禁止我们同时把粒子的位置和动量局限起来；于是最低能态具有能量 $E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega$（为清楚起见，这里暂时重新显式写出了 $\hslash$ 因子）。当然，在没有引力时，两个系统实际都具有完全任意的真空能量；我们可以给势能加上任意常数，而不改变理论。但量子涨落已经让零点能偏离了经典预期。

场论中存在完全类似的情形。如果对一个自由量子场作 Fourier 变换（为简单起见忽略相互作用），就会发现它在动量空间中变成无穷多个谐振子，正如第 9 章将讨论的。每个振子的频率为 $\omega =\sqrt{m^2+k^2}$，其中 $m$ 是场的质量，$k$ 是该模式波矢的大小。如果把经典真空能量设为零，每个模式都会贡献 $\hslash \omega /2$ 的量子零点能。形式上，把所有这些贡献相加会得到无穷大。不过，如果我们丢弃动量极高的模式，理由是只在某个紫外动量截断 $k_{max}$ 以下信任理论，那么所得能量密度具有如下形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.104}\text{)}& {\rho }_{\mathrm{vac}}\sim \hslash k_{max}^4.\end{array}$$

这个答案本可由量纲分析猜出；被忽略的数值常数取决于所考虑的具体理论。如果我们确信，普通量子场论一直到约化 Planck 标度 ${\overline{m}}_{\mathrm{P}}=(8\pi G{)}^{-1/2}\sim {10}^{18}\mathrm{GeV}$ 都适用，那么预期贡献的量级为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.105}\text{)}& {\rho }_{\mathrm{vac}}\sim ({10}^{18}\mathrm{GeV}{)}^4\sim {10}^{112}\mathrm{erg}/{\mathrm{cm}}^3.\end{array}$$

场论也可能在更低标度就失效，尽管量子引力是我们认为它会在某个特定标度失效的最有力理由。

正如第 8 章将讨论的，宇宙学观测意味着

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.106}\text{)}& \left|{\rho }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\mathrm{obs})}\right|\le ({10}^{-12}\mathrm{GeV}{)}^4\sim {10}^{-8}\mathrm{erg}/{\mathrm{cm}}^3,\end{array}$$

它远小于刚才导出的朴素预期。（4.105）与（4.106）之比，正是宇宙学常数理论值和观测值之间著名的 $120$ 个数量级差异的由来。我们当然可以设想，裸真空能量经过调节，使净宇宙学常数符合界限（4.106）；但有一个问题：我们不知道有任何特殊对称性能够强制真空能量为零，同时又与已知物理定律保持一致。这个难题就是“宇宙学常数问题”。第 8 章将更深入地讨论真空能量的宇宙学效应。²

4.6 能量条件

有时，我们希望在不指定 $T_{\mu \nu }$ 所来自的物质理论时思考 Einstein 方程。这会留下极大的任意性；例如考虑这个问题：哪些度规服从 Einstein 方程？如果不对 $T_{\mu \nu }$ 施加某些约束，答案是任意度规：只需选定一个度规，计算它的 Einstein 张量 $G_{\mu \nu }$，再要求 $T_{\mu \nu }$ 等于 $G_{\mu \nu }$ 即可。根据 Bianchi 恒等式，它会自动守恒。我们真正关心的是：当能量和动量的来源“符合现实”时——不管这究竟意味着什么——Einstein 方程是否存在解。一种策略是考虑具体种类的源，例如标量场、尘埃或电磁场。不过，我们有时希望理解 Einstein 方程对多种不同源都成立的性质。在这种情况下，施加限制 $T_{\mu \nu }$ 任意性的能量条件会很方便。

能量条件是对能量—动量张量施加的坐标不变限制。因此，我们必须从 $T_{\mu \nu }$ 构造标量；通常的做法是让它与任意类时向量 $t^{\mu }$ 或类光向量 ${\ell }^{\mu }$ 缩并。例如，弱能量条件（weak energy condition，WEC）规定，对所有类时向量 $t^{\mu }$ 都有 $T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0$。为了获得物理直觉，考虑源为理想流体这一特殊情形很有用，此时能量—动量张量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.107}\text{)}& T_{\mu \nu }=(\rho +p)U_{\mu }{U}_{\nu }+p{g}_{\mu \nu },\end{array}$$

其中 $U^{\mu }$ 是流体四速度。让我们用这种形式把 WEC 翻译成物理语言。因为压强各向同性，所以只要 $T_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }\ge 0$，且对某个类光向量 ${\ell }^{\mu }$ 有 $T_{\mu \nu }{\ell }^{\mu }{\ell }^{\nu }\ge 0$，那么 $T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }$ 对所有类时向量 $t^{\mu }$ 都将非负

² 关于真空能量物理与宇宙学的更多内容，见 S. M. Carroll，Liv. Rev. Rel. 4, 1（2001），https://arxiv.org/abs/astro-ph/0004075。

（请自己说服自己；这只是在做向量相加）。于是计算

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.108}\text{)}& T_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }=\rho ,T_{\mu \nu }{\ell }^{\mu }{\ell }^{\nu }=(\rho +p)(U_{\mu }{\ell }^{\mu }{)}^2.\end{array}$$

因此，WEC 意味着 $\rho \ge 0$ 且 $\rho +p\ge 0$。这只是两项听起来很合理的要求：能量密度非负，并且压强相对于能量密度不能过大。当然，我们无须把自己限制在理想流体；这里只是利用理想流体来理解能量条件施加的要求。

存在许多不同的能量条件，适用于不同情形。最常见的几种如下：

• 弱能量条件（Weak Energy Condition，WEC）：正如刚才讨论的，对所有类时向量 $t^{\mu }$，要求 $T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0$；等价地，对理想流体要求 $\rho \ge 0$ 且 $\rho +p\ge 0$。

• 类光能量条件（Null Energy Condition，NEC）：对所有类光向量 ${\ell }^{\mu }$，要求 $T_{\mu \nu }{\ell }^{\mu }{\ell }^{\nu }\ge 0$；等价地，对理想流体要求 $\rho +p\ge 0$。它是 WEC 的一个特殊情形，把类时向量换成类光向量。此时能量密度可以为负，只要有正压强加以补偿。

• 占优能量条件（Dominant Energy Condition，DEC）：它包含 WEC（对所有类时向量 $t^{\mu }$，$T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0$），并附加要求 $T^{\mu \nu }{t}_{\mu }$ 是非类空向量（即 $T_{\mu \nu }{T}^{\nu }{}_{\lambda }{t}^{\mu }{t}^{\lambda }\le 0$）。对于理想流体，这些条件合起来等价于简单要求 $\rho \ge |p|$：能量密度必须非负，并且大于或等于压强的绝对值。

• 类光占优能量条件（Null Dominant Energy Condition，NDEC）：它是只针对类光向量的 DEC 条件；对任意类光向量 ${\ell }^{\mu }$，要求 $T_{\mu \nu }{\ell }^{\mu }{\ell }^{\nu }\ge 0$，且 $T^{\mu \nu }{\ell }_{\mu }$ 是非类空向量。允许的密度和压强与 DEC 相同，但负能量密度只要满足 $p=-\rho$ 也被允许。换句话说，NDEC 排除 DEC 所排除的全部源，唯一例外是负的真空能量。

• 强能量条件（Strong Energy Condition，SEC）：对所有类时向量 $t^{\mu }$，要求

  $$T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge \frac{1}{2}{T}^{\lambda }{}_{\lambda }{t}^{\sigma }{t}_{\sigma };$$

  对理想流体，等价条件是 $\rho +p\ge 0$ 且 $\rho +3p\ge 0$。注意，SEC 并不蕴含 WEC。它蕴含 NEC，同时排除绝对值过大的负压强。由（4.86）可见，正是 SEC 蕴含引力具有吸引性。

图 4.3 展示了这些条件。作为对照，我们还画出了约束 $w\ge -1$，其中 $w=p/\rho$ 称为状态方程参数。它在宇宙学中是一个有用概念；宇宙学中的源常具有状态方程 $p=w\rho$，并把 $w$ 取为常数（当然，无论 $w$ 是否为常数，它都可以定义

）。如果把讨论限制在 $\rho \ge 0$ 的源，那么上面提到的任意一种能量条件都会蕴含 $w\ge -1$。

图 4.3　理想流体的能量条件。 六幅图都以能量密度 $\rho$ 为横轴、压强 $p$ 为纵轴，阴影表示允许区域，依次为：（a）弱能量条件 WEC；（b）类光能量条件 NEC；（c）占优能量条件 DEC；（d）类光占优能量条件 NDEC；（e）强能量条件 SEC；（f）约束 $w\ge -1$。作比较用的虚线对应 $p=\pm \rho$；这里 $w=p/\rho$ 是状态方程参数。

大多数普通的经典物质形式，包括标量场和电磁场，都服从 DEC（见习题），因而也服从限制更弱的条件（WEC、NEC、NDEC）。SEC 在某些奇点定理的证明中很有用，但某些物质形式会违反它，例如有质量标量场。事实证明，量子场通常可以违反我们列出的任意能量条件；不过，即使对量子场，也可能存在涉及某片时空区域上积分的不等式仍然成立。这是目前正在研究的领域。

严格地说，能量条件与能量守恒没有关系；Bianchi 恒等式保证，无论我们

是否对 $T^{\mu \nu }$ 施加任何额外约束，都有 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$。能量条件的用途，是排除我们认为“非物理”的其他性质，例如能量以超过光速的速度传播，或者空空间自发衰变成正能量区和负能量区，二者彼此补偿。特别地，Hawking 与 Ellis（1973）证明了一条守恒定理：大意是，如果能量—动量张量服从 DEC，并在某个类空区域中为零，那么在该区域的未来依赖域中，它必然处处为零（未来依赖域的定义见第 2.7 节）。所以，能量既不能凭空自发出现，也不能偷偷溜出光锥。该定理不包含逆命题（违反 DEC 的源未必违反因果性），因此需要谨慎。

4.7 再论等效原理

本节将更仔细地考察等效原理的基础与后果；第 4.1 节曾利用它说明最小耦合程序的动机，把物理学推广到弯曲时空。我们将看到，等效原理既不是不可侵犯的物理定律，甚至也算不上数学上严谨的陈述；在更基本的层次上，它源自广义相对论的性质：广义相对论是一套在宏观距离上有效的有效场论，而我们的任务是判断，在这样的理论中，应当预期物质与度规之间存在何种耦合。

在实践中，人们常援引等效原理，为以下四种想法中的任意一种提供理由：

1. 物理定律应当用一般协变形式表达（或者至少能够用这种形式表达）。
2. 时空上存在一个度规，我们把它的曲率解释成引力。
3. 不存在任何其他与引力相似的场。
4. 物质场与曲率的相互作用是最小的：其中不包含与 Riemann 张量或其缩并的直接耦合。

这四种非常不同的陈述各自具有非常不同的地位：第一种没有实质内容；第二种既深刻又几乎肯定正确；第三种很有意思，而且可以检验；第四种只是一个有用的近似。下面依次考察。

第一种陈述有时称为协变性原理。它几乎没有内容。“一般协变”只意味着，坐标变换之下，一个方程的所有项都以相同方式变换，从而使方程形式与坐标无关。由于张量变换律具有普适性，实现这个目标最直接的方式就是让方程明显具有张量形式。当然，只要我们知道某条定律可以改写成与坐标无关的形式，用一个并非一般协变的形式来表达它也没有任何问题。

另一方面，只要定律从一开始就定义良好，就总能把它写成与坐标无关的形式。以某种方式运行的物理系统并不知道你用哪个坐标系描述它；因此，任何配得上“物理定律”这个称呼的东西（区别于该定律的某一种具体表述）都必须与坐标无关。坚持显式的坐标无关性，并未说明怎样让定律适应弯曲时空；正如我们已经看到的，无论几何如何，明显具有张量形式的方程都保持相同形式。

考虑第 1 章写出的平直时空 Maxwell 方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.109}\text{)}& {\partial }_{\mu }{F}^{\nu \mu }=J^{\nu }.\end{array}$$

右边是一个定义良好的张量，左边因为出现偏导数而不是。没有关系，因为我们知道这个方程只在 Minkowski 空间的惯性坐标中成立。同一条定律的坐标不变表达式是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.110}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{F}^{\nu \mu }=J^{\nu }.\end{array}$$

无须援引任何物理原理，也能断定这是 Minkowski 空间中的正确表述：它是在惯性坐标中与（4.109）等价的唯一张量方程。不过，它并非向弯曲时空的唯一推广，因为我们还可以设想含有 $F_{\mu \nu }$ 与 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$ 乘积的新项；这类附加项的地位正由最小耦合假设，也就是上面清单的第四点直接处理。尽管如此，仅仅使事物“张量化”或“一般协变化”，只是逻辑必然性的简单要求，并非某个可以想象通过实验推翻的物理原理。（同一想法的另一个版本是“微分同胚不变性”，见附录 B。）

上面清单中，据称由等效原理推出的第二项后果要深刻得多，而且绝非显而易见。尽管受到等效原理启发，这一几何洞见仍是 Einstein 的重大突破。第 2 章开头讨论过为什么这种洞见有充分依据：等效原理意味着引力具有普适性；普适性又意味着无法在小时空区域内测量引力场；而把引力等同于时空几何的效应，则最直接地实现了这一特征。这几步都是动机充分的建议，并非严格推导出的后果；一旦提出“存在一个度规，其曲率产生引力”这一想法，就可以把它与实验比较，检验其效用。正如已经提到的，它以优异成绩通过了检验。不断积累的证据（例如第 2 章讨论的引力红移）都与这一想法一致：如果时空几何是弯曲的，理想化的尺和钟就会表现出应有的行为。尽管如此，不应设想我们能证明一个具备所需性质的度规确实存在；我们提出假设，用越来越精确的实验检验它，并推断它的适用范围。

事实上，最终要把广义相对论与量子力学协调起来，这项要求使许多人认为，度规最终会被揭示为一个从更基本的自由度集合中派生出的概念。对眼下的目的而言，这种终极解决方案并不重要；弯曲度规这一想法的效用已经得到远超合理怀疑的证明，我们会继续拓展我们对它的性质的理解，直到遭遇不可逾越的障碍（理论上的或经验上的）。

作者勘误（印刷页 179）： 扫描版此处把 “our understanding” 误排成 “out understanding”；译文已按作者官方勘误采用 “our”。

既然我们确信，引力效应最好归因于时空上某个度规的曲率，那么如果实验探测到等效原理表面上的违反，我们会得出什么结论？例如，可以设想一个实验发现，物体朝向地球或太阳的加速度确实会依赖测试体的组成，哪怕依赖程度极其微弱。（目前对这类异常加速度最好的限制，要求它们小于引力所致加速度的 ${10}^{-12}$。³）在这种情况下，不会有人真想宣布广义相对论已被彻底摧毁、必须从头再来。我们会回到“测试体”的定义，其中包含测试体不带电这一条件。比如说，电子不是好的测试体，因为除引力之外，周围的电磁场也会把它推来推去。类似地，对于声称电中性的测试体出现的任何假想异常加速度，迄今最直接的解释会是：我们发现了一个新的长程场，而测试体实际上带有这个场对应的“电荷”。为了至今仍未被探测到，这个场要么耦合得非常弱，要么必须以近乎普适的方式耦合，从而模仿引力效应。举例说，可以设想与能量—动量张量的迹耦合的标量场，或者与重子数耦合的向量场。普通测试体的质量几乎与其重子数成正比；重子数统计物体中的质子和中子数目。因此，有时可以方便地把“等效原理检验”看成对上面第三种陈述的检验——不存在任何其他与引力相似的场（如果一个场是长程的，并且以近乎普适的方式与质量耦合，就称它与引力相似）。同样，发现这一假设受到违反，最直接的解释会是发现了新的“第五种力”，而非否定 Einstein 的思想。至于改进当前实验后，我们是否应当预期发现这样的新场，很难判断：一方面，很容易构造带有新长程力的模型；另一方面，这些力通常会强到早就应当被探测到。在现阶段，保持开放态度仍然值得。

除了度规本身的存在之外，等效原理的核心在于我们的第四种表述：物质场与曲率的相互作用是最小的，不包含与 Riemann 张量或其缩并的直接耦合。例如，可以考虑下面这个传统测地线方程的可能替代形式：

³ Y. Su 等，Phys. Rev. D 50, 3614（1994）。

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.111}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\lambda }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\mu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\rho }}{\mathrm{d}\lambda }\frac{\mathrm{d}{x}^{\sigma }}{\mathrm{d}\lambda }=\alpha ({\mathrm{\nabla }}_{\sigma }R)\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }\frac{\mathrm{d}{x}^{\sigma }}{\mathrm{d}\lambda },\end{array}$$

其中 $R$ 是 Ricci 标量，$\alpha$ 是耦合常数。这个方程在平直时空中同样退化为直线运动，却允许我们通过测量对 ${\mathrm{\nabla }}_{\sigma }R$ 的耦合，在小区域内直接探测时空曲率。那么，自然为何选择简单的测地线方程？迈向答案的第一步，是考虑耦合 $\alpha$ 的量纲。由于 $c=1$，空间与时间具有相同单位，所以可以把长度作为基本量纲。此时，度规、逆度规以及 $\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}\lambda$ 都是无量纲的。偏导算子的量纲是长度的倒数，协变导数也一样。Christoffel 符号含有度规的一阶导数，因而量纲为长度的倒数；类似地，Riemann 张量、Ricci 张量和 Ricci 标量的量纲都是长度倒数的平方：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.112}\text{)}& \left[\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }\right]=[g_{\mu \nu }]=[g^{\mu \nu }]=L^0,[{\mathrm{\nabla }}_{\mu }]=[{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\mu }]=L^{-1},[R]=L^{-2}.\end{array}$$

为保持一致，耦合 $\alpha$ 的量纲必须是长度的平方：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.113}\text{)}& [\alpha ]=L^2.\end{array}$$

因此，$\alpha$ 的平方根定义了一个长度标度；这个长度标度应当是多少？我们无法确定，但有充分理由相信它应当极小。理由有两个。其一，$\alpha$ 所表示的耦合源自引力，所以对有关长度标度唯一合理的预期是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.114}\text{)}& \alpha \sim l_{\mathrm{P}}^2,\end{array}$$

其中 $l_{\mathrm{P}}$ 是 Planck 长度。另一个理由只是把这种“还能是什么？”的推理变得更加精细。尽管广义相对论是经典理论，在更深层次上，我们预期它只是描述某种底层量子力学结构的有效场论。即使不知道这种结构是什么，一个普遍预期（源自我们对那些已经理解的量子场论的经验）是：有效经典极限应当包含所有可能的相互作用，而带量纲的长度参数表示新自由度开始变得重要的标度（回忆第 1 章末尾关于有效场论的讨论）。例如，弱相互作用的 Fermi 理论包含一个长度标度；如今我们知道，它对应电弱对称性破缺的标度，$W$ 与 $Z$ 玻色子在这个标度变得相关。因为我们确实预期新的引力物理会在 Planck 标度之前出现，所以与引力有关的高阶相互作用应当被 Planck 长度的适当幂次所压低。

这种压低究竟有多强？一种衡量方法，是把 $l_{\mathrm{P}}$（因而也把参数 $\alpha$ 的可能取值）与地球附近典型的引力长度标度作比较。地球上的引力强度由引力加速度 $a_g=980\mathrm{cm}/{\sec }^2$ 刻画。为了构造一个具有长度量纲的量，定义

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.115}\text{)}& l_{\oplus }=\frac{c^2}{a_g}\sim {10}^{18}\mathrm{cm},\end{array}$$

这里的符号 $\oplus$ 表示地球（并非直和）。于是，高阶引力效应的相对强度由下式衡量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.116}\text{)}& \frac{l_{\mathrm{P}}}{l_{\oplus }}\sim {10}^{-51}.\end{array}$$

事实上，由于预期 $\alpha \sim l_{\mathrm{P}}^2$，压低因子的量级会达到 ${10}^{-102}$。所以，似乎没有多少必要担心这类耦合可能扮演的角色。不过，仍应把剧烈偏离的可能性放在心上；近期关于大额外维的想法，已经打开了在粒子加速器中观测直接引力相互作用的可能。归根结底，单靠纯粹思考无法解决这些问题；只有实验才能在各种替代方案之间作出裁决。

4.8 替代引力理论

广义相对论已经通过许多种实验检验。尽管如此，我们下一次进行的实验总有可能揭示出相对于 Einstein 原始表述的偏离。因此，让我们简要考察广义相对论可以怎样修改。修改方式不计其数，这里考虑四种不同可能：

• 引力标量场；
• 额外空间维；
• 作用量中的高阶项；
• 非 Christoffel 联络。

一类常见的替代模型称为引力的标量—张量理论，因为它们同时包含度规张量 $g_{\mu \nu }$ 和标量场 $\lambda$。特别地，标量场直接与曲率标量耦合，并不只与度规耦合（等效原理看起来会暗示后一种情形）。作用量可以写成引力部分、纯标量部分和物质部分之和：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.117}\text{)}& S=S_{fR}+S_{\lambda }+S_{\mathrm{M}},\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.118}\text{)}& S_{fR}=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}f(\lambda )R,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.119}\text{)}& S_{\lambda }=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}[-\frac{1}{2}h(\lambda )g^{\mu \nu }({\partial }_{\mu }\lambda )({\partial }_{\nu }\lambda )-U(\lambda )],\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.120}\text{)}& S_{\mathrm{M}}=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}{\hat{\mathcal{L}}}_{\mathrm{M}}(g_{\mu \nu },{\psi }_i).\end{array}$$

这里，$f(\lambda )$、$h(\lambda )$ 和 $U(\lambda )$ 是定义理论的函数；物质 Lagrangian ${\hat{\mathcal{L}}}_{\mathrm{M}}$ 依赖度规和一组物质场 ${\psi }_i$，却不依赖 $\lambda$。通过变量变换总可以令 $h(\lambda )=1$，但这里保留它，以方便同文献中的模型比较。

这个理论的运动方程包括引力方程（对度规作变分得到）、标量方程（对 $\lambda$ 作变分得到），以及相应的物质方程。先从引力方程开始；沿用普通 Hilbert 作用量（4.55）的步骤即可推导它。考虑度规的微扰

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.121}\text{)}& g^{\mu \nu }⟶g^{\mu \nu }+\delta g^{\mu \nu }.\end{array}$$

按照第 4.3 节的程序，作用量引力部分的变分为

对于 Hilbert 作用量，$f$ 是常数，所以最后两项是全导数；通过分部积分可以把它们化成曲面积分项，从而忽略。现在，分部积分（两次）会拾取 $f$ 的导数，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.123}\text{)}& \delta S_{fR}=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}[f(\lambda )G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }◻f-{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }f]\delta g^{\mu \nu },\end{array}$$

其中 $G_{\mu \nu }$ 是 Einstein 张量。像往常一样，我们舍弃了曲面积分项；不过，这里的边界贡献存在一些微妙之处，讨论见 Wald（1984）。把 $S_{\lambda }$ 与 $S_{\mathrm{M}}$ 的贡献也包括进来，引力运动方程于是为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.124}\text{)}& G_{\mu \nu }=f^{-1}(\lambda )(\frac{1}{2}{T}_{\mu \nu }^{(\mathrm{M})}+\frac{1}{2}{T}_{\mu \nu }^{(\lambda )}+{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }f-g_{\mu \nu }◻f),\end{array}$$

其中能量—动量张量为 $T_{\mu \nu }^{(i)}=-2(-g{)}^{-1/2}\delta S_i/\delta g^{\mu \nu }$；特别地，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.125}\text{)}& T_{\mu \nu }^{(\lambda )}=h(\lambda ){\mathrm{\nabla }}_{\mu }\lambda {\mathrm{\nabla }}_{\nu }\lambda -g_{\mu \nu }[\frac{1}{2}h(\lambda )g^{\rho \sigma }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }\lambda {\mathrm{\nabla }}_{\sigma }\lambda +U(\lambda )].\end{array}$$

观察（4.124）中 $T_{\mu \nu }^{(\mathrm{M})}$ 的系数可见，当标量场为常数（或实际上近似为常数）时，可以认定 $f(\lambda )=1/(16\pi G)$，这也与原始作用量（4.118）相符。与此同时，如果 $\lambda$ 在时空中逐点发生轻微变化，就会把它解释成一个依赖时空的 Newton 常数。控制这种变化的动力学由 $\lambda$ 的运动方程决定；很容易推导出

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.126}\text{)}& h◻\lambda +\frac{1}{2}{h}^{\prime }{g}^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }\lambda {\mathrm{\nabla }}_{\nu }\lambda -U^{\prime }+f^{\prime }R=0,\end{array}$$

其中撇号表示对 $\lambda$ 求导。注意，如果令 $h(\lambda )=1$，让标量具有通常的动能项，$\lambda$ 就服从通常的标量场运动方程，只是多出一项与曲率标量的耦合。在现实世界中，我们不希望 $f(\lambda )$ 变化太多，因为这会在太阳系内对 GR 的经典实验检验、以及原初核合成等宇宙学检验中产生可观测后果。可以用两种方式保证这一点：选择 $U(\lambda )$，使势能存在一个极小值，并让 $\lambda$ 在没有大量能量输入时无法偏离太远——换言之，$\lambda$ 质量很大；或者选择 $f(\lambda )$ 与 $h(\lambda )$，使 $\lambda$ 的大幅变化只会引起 Newton 常数有效值的相对小幅变化。

最早的标量—张量模型之一称为 Brans–Dicke 理论；在我们的记号中，它对应如下选择：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.127}\text{)}& f(\lambda )=\frac{\lambda }{16\pi },h(\lambda )=\frac{\omega }{8\pi \lambda },U(\lambda )=0,\end{array}$$

其中 $\omega$ 是耦合常数。标量—张量作用量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.128}\text{)}& S_{\mathrm{BD}}=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}[\frac{\lambda }{16\pi }R-\frac{\omega }{16\pi }{g}^{\mu \nu }\frac{({\partial }_{\mu }\lambda )({\partial }_{\nu }\lambda )}{\lambda }].\end{array}$$

在 Brans–Dicke 理论中，标量场无质量；但在 $\omega \to \mathrm{\infty }$ 极限下，这个场不再具有动力学，普通 GR 得以恢复。当时太阳系检验给出的界限意味着 ，所以如果确实存在这样的标量场，它与 Ricci 标量的耦合必定很弱。

处理标量—张量理论的一种常见方法，是作共形变换，把理论化成看起来像普通 GR 的形式。定义共形度规

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.129}\text{)}& {\tilde{g}}_{\mu \nu }=16\pi \tilde{G}f(\lambda )g_{\mu \nu },\end{array}$$

其中 $\tilde{G}$ 将成为共形 frame 中的 Newton 常数。利用附录 G 的共形变换公式，（4.118）的作用量 $S_{fR}$

变成

与往常一样，这里作了分部积分并舍弃曲面积分项。因此在共形 frame 中，曲率标量独自出现，没有乘以 $\lambda$ 的任何函数。这个 frame 有时称为 Einstein frame，因为共形度规 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 的 Einstein 方程采取通常形式。带有原始度规 $g_{\mu \nu }$ 的 frame 称为 Jordan frame，有时也称为 弦 frame。（弦理论通常预言标量—张量理论，而非普通 GR；弦世界面响应度规 $g_{\mu \nu }$。）

在继续分析共形变换后的理论之前，考虑选择

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.131}\text{)}& f(\lambda )=e^{\lambda /\sqrt{3}},h(\lambda )=0,U(\lambda )=0,\end{array}$$

也就是对 $f(\lambda )$ 作一个特定选择，同时关掉 $S_{\lambda }$ 中的纯标量项。此时注意到，Einstein frame 的作用量（4.130）实际上含有标量的通常动能项，尽管 Jordan frame 的作用量（4.118）中并没有这一项。即使 $\lambda$ 没有显式动能项，这个理论的自由度除度规之外仍包含一个传播标量。第 7 章考察引力场的自由度后，这一点应当会更加清楚。届时我们会发现，度规 $g_{\mu \nu }$ 除预期的张量（自旋 2）自由度外，实际上还包含标量（自旋 0）和向量（自旋 1）自由度；不过，在标准 Hilbert 作用量下，这些自由度受到约束，并不能自由传播。我们刚才发现，在作用量中给 $R$ 乘上一个标量，会使标量自由度“活”起来；这一点在 Einstein frame 中显式呈现。

如果确实选择加入纯标量作用量 $S_{\lambda }$，则得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.132}\text{)}& S_{fR}+S_{\lambda }=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-\tilde{g}}[\frac{\tilde{R}}{16\pi \tilde{G}}-\frac{1}{2}K(\lambda ){\tilde{g}}^{\rho \sigma }({\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{\rho }\lambda )({\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{\sigma }\lambda )-\frac{U(\lambda )}{(16\pi \tilde{G}{)}^2{f}^2(\lambda )}],\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.133}\text{)}& K(\lambda )=\frac{1}{16\pi \tilde{G}{f}^2}[fh+3(f^{\prime }{)}^2].\end{array}$$

定义新标量场 $\varphi$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.134}\text{)}& \varphi =\int K^{1/2}\mathrm{d}\lambda ,\end{array}$$

便可以让作用量呈现完全通常的形式。用 $\varphi$ 表示，作用量变为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.135}\text{)}& S_{fR}+S_{\lambda }=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-\tilde{g}}[\frac{\tilde{R}}{16\pi \tilde{G}}-\frac{1}{2}{\tilde{g}}^{\rho \sigma }({\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{\rho }\varphi )({\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{\sigma }\varphi )-V(\varphi )],\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.136}\text{)}& V(\varphi )=\frac{U(\lambda (\varphi ))}{(16\pi \tilde{G}{)}^2{f}^2(\lambda (\varphi ))}.\end{array}$$

令人惊讶的是，在 Einstein frame 中，我们得到了一套完全普通的弯曲时空标量场理论。只要 $f(\lambda )$ 行为良好，就可以用变量 $({\tilde{g}}_{\mu \nu },\varphi )$ 代替 $(g_{\mu \nu },\lambda )$；这里的含义是：对新变量作变分，与从原始运动方程（4.124）、（4.126）出发，再作变换（4.129）、（4.134）等价。

最后，加入物质作用量（4.120）。对 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 作变分，会得到 Einstein frame 中的能量—动量张量。在原始变量 $(g_{\mu \nu },\lambda )$ 中，我们知道 $S_{\mathrm{M}}$ 与 $\lambda$ 无关；但现在它会同时依赖两个新变量 $({\tilde{g}}_{\mu \nu },\varphi )$，可以利用链式法则刻画这种依赖。还假设 $S_{\mathrm{M}}$ 对 $g_{\mu \nu }$ 的依赖只是代数依赖，不通过它的导数。这对普通标量场或规范场物质成立；对费米子，情况会更加复杂，这里不作讨论。我们得到

物质与 $\varphi$ 的耦合也可以用类似技巧求得；它来自 $S_{\mathrm{M}}$ 对 $\varphi$ 的变分，并使用 $g^{\alpha \beta }=16\pi \tilde{G}f{\tilde{g}}^{\alpha \beta }$：

这里

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.139}\text{)}& {\tilde{T}}^{(\mathrm{M})}={\tilde{g}}^{\alpha \beta }{\tilde{T}}_{\alpha \beta }^{(\mathrm{M})}=\frac{1}{(16\pi \tilde{G}f{)}^2}{g}^{\alpha \beta }{T}_{\alpha \beta }^{(\mathrm{M})}\end{array}$$

是共形 frame 中能量—动量张量的迹。

对（4.135）的 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 和 $\varphi$ 作变分，会得到与 Einstein 方程以及一个 $\varphi$ 方程等价的运动方程。引力方程是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.140}\text{)}& {\tilde{G}}_{\mu \nu }=8\pi \tilde{G}({\tilde{T}}_{\mu \nu }^{(\mathrm{M})}+{\tilde{T}}_{\mu \nu }^{(\varphi )}),\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.141}\text{)}& {\tilde{T}}_{\mu \nu }^{(\varphi )}={\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{\mu }\varphi {\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{\nu }\varphi -{\tilde{g}}_{\mu \nu }[\frac{1}{2}{\tilde{g}}^{\rho \sigma }{\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{\rho }\varphi {\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{\sigma }\varphi +V(\varphi )],\end{array}$$

标量场方程是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.142}\text{)}& \widetilde{◻}\varphi -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\varphi }=\frac{1}{2f}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\varphi }{\tilde{T}}^{(\mathrm{M})}.\end{array}$$

既然（4.140）看起来就像同时带有物质源和标量场源的 Einstein 方程，我们为什么还要费事把这套标量—张量理论称为 GR 的替代理论？难道它不只是用不同变量写成的同一理论吗？事实上二者并不相同，因为在 Einstein frame 中，$S_{\mathrm{M}}$ 依赖 $\varphi$。特别地，物理测试粒子将沿 $g_{\mu \nu }$ 的测地线运动，而这些测地线通常与 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 的测地线不重合。测试粒子“看到”的是原始度规。所以，我们可以在原始变量 $(g_{\mu \nu },\lambda )$ 中工作，此时引力场方程被改变；也可以采用新变量 $({\tilde{g}}_{\mu \nu },\varphi )$，此时物质的运动方程被改变。无论采用哪种方式，原则上都存在相对于普通 GR 毫不含糊、可以测量的偏离。

修改广义相对论的另一种方式，是允许额外空间维存在；事实上，额外维的物理后果与标量—张量理论的后果密切相关。这里说的额外维，不只是指在更高维空间中考虑 GR；我们考虑的是这样的模型：尽管总维数实际上为 $4+d$，时空在大尺度上看起来仍是四维的。实现这一点最简单的方式，是让额外的 $d$ 个维度在某个流形上“紧致化”；这里正要考察这种可能。⁴ 这类模型称为 Kaluza–Klein 理论。

令 $G_{ab}$ 为一个 $(4+d)$ 维时空的度规，坐标为 $X^a$，其中指标 $a,b$ 从 $0$ 取到 $d+3$。

⁴ 我们沿用 S. M. Carroll、J. Geddes、M. Hoffman 与 R. M. Wald，Phys. Rev. D 66, 024036（2002），https://arxiv.org/abs/hep-th/0110149 的分析。额外维的原始论文出自 Kaluza 与 Klein：T. Kaluza，Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) K1, 966（1921）；O. Klein，Z. Phys. 37, 895（1926）［Surveys High Energy Phys. 5, 241（1926）］；O. Klein，Nature 118, 516（1926）。

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.143}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=G_{ab}\mathrm{d}{X}^a\mathrm{d}{X}^b=g_{\mu \nu }(x)\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }+b^2(x){\gamma }_{ij}(y)\mathrm{d}{y}^i\mathrm{d}{y}^j,\end{array}$$

其中 $x^{\mu }$ 是四维时空中的坐标，$y^i$ 是额外维流形上的坐标；我们取额外维流形为度规 ${\gamma }_{ij}$ 的极大对称空间。当然，额外维的几何实际上是动力学对象，应当通过求解完整运动方程来确定；但我们将把（4.143）作为简化拟设。（在更完整的处理中，应当把紧致几何的动力学模式展开成 Fourier 级数，并证明眼下忽略的模式，其质量大于我们选择考察的整体尺度模式。）作用量是 $(4+d)$ 维 Hilbert 作用量加上一个物质项：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.144}\text{)}& S=\int {\mathrm{d}}^{4+d}X\sqrt{-G}(\frac{1}{16\pi G_{4+d}}R[G_{ab}]+{\hat{\mathcal{L}}}_{\mathrm{M}}),\end{array}$$

其中 $\sqrt{-G}$ 是 $G_{ab}$ 的行列式之负值的平方根，$R[G_{ab}]$ 是 $G_{ab}$ 的 Ricci 标量，${\hat{\mathcal{L}}}_{\mathrm{M}}$ 是已经提出度规行列式因子的物质 Lagrangian 密度。

作者勘误（印刷页 187）： 扫描版在（4.144）后误写为 “minus the square root of the determinant”；作者勘误将其改为 “the square root of minus the determinant”。译文已按修正后的含义表述。

第一步是对作用量（4.144）作维数约化。这里的意思是实际完成额外维上的积分；之所以可行，是因为我们假定额外维尺度因子 $b$ 与 $y^i$ 无关。因此，可以把所有量都用 $g_{\mu \nu }$、${\gamma }_{IJ}$ 和 $b(x)$ 表示，对额外维积分，最终得到一个有效四维理论。由度规（4.143）有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.145}\text{)}& \sqrt{-G}=b^d\sqrt{-g}\sqrt{\gamma },\end{array}$$

并可计算这个度规的曲率标量，得到

其中 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }$ 是与四维度规 $g_{\mu \nu }$ 对应的协变导数。以 $\mathcal{V}$ 表示 $b=1$ 时额外维的体积；它由下式给出：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.147}\text{)}& \mathcal{V}=\int {\mathrm{d}}^{d}y\sqrt{\gamma }.\end{array}$$

四维 Newton 常数 $G_4$ 通过计算作用量中曲率标量的系数来确定；可得 $G_4$ 与其高维对应量之间的关系：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.148}\text{)}& \frac{1}{16\pi G_4}=\frac{\mathcal{V}}{16\pi G_{4+d}}.\end{array}$$

于是剩下

这里为方便起见作了分部积分，并引入 ${\gamma }_{ij}$ 的曲率参数 $\kappa$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.150}\text{)}& \kappa =\frac{R[{\gamma }_{ij}]}{d(d-1)}.\end{array}$$

与（4.117）—（4.120）比较可见，维数约化后的作用量恰好是标量—张量理论的作用量；额外维的大小扮演标量场的角色。因此，我们可以作变量变换和共形变换，让它呈现更加通常的形式：

这会把约化作用量变成 Einstein frame 中与引力耦合的标量场作用量。沿用讨论标量—张量理论时概述的同一程序，得到

其中已经丢掉全导数项。

为了把 $\beta$ 变成标准归一化的标量场，再作最后一次变量变换：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.153}\text{)}& \varphi =\sqrt{\frac{d(d+2)}{2}}{\overline{m}}_{\mathrm{P}}\beta ,\end{array}$$

其中约化 Planck 质量为 ${\overline{m}}_{\mathrm{P}}=(8\pi G_4{)}^{-1/2}$。于是得到

标量 $\varphi$ 称为 dilaton 或 radion，它刻画额外维流形的大小。

（4.154）的最后两项表示势 $V(\varphi )$ 的负值。如果忽略物质项 ${\hat{\mathcal{L}}}_{\mathrm{M}}$，dilaton 的行为将只依赖 $\kappa$ 的符号。若额外维流形平直（$\kappa =0$），势消失，我们只有一个无质量标量场；这种可能性与上面提到的标量—张量理论实验约束冲突。如果存在曲率（$\kappa \ne 0$），势没有极小值：当 时，场会滚向 $-\mathrm{\infty }$；当 时，场会滚向 $+\mathrm{\infty }$。但 $\varphi \propto \ln b$，所以这意味着额外维的尺度因子 $b(x)$ 要么缩小到零，要么变得任意大；两种情况都会毁掉额外维保持稳定的希望。不过，通过选择适当的物质 Lagrangian，以及额外维中适当的场构型，可以实现稳定性。

现在转向另一类替代理论：其 Lagrangian 对度规导数的阶数高于二阶。可以设想如下形式的作用量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.155}\text{)}& S=\int {\mathrm{d}}^{n}x\sqrt{-g}(R+{\alpha }_1{R}^2+{\alpha }_2{R}_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+{\alpha }_3{g}^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }R{\mathrm{\nabla }}_{\nu }R+\cdots ),\end{array}$$

其中各个 $\alpha$ 是耦合常数，省略号代表由曲率张量、它的缩并及其导数能够构造的所有其他标量。传统上，人们会忽略这类项；合理的理由是，它们只会让一套在美学上已经赏心悦目、在经验上已经成功的理论更加复杂。从经典角度说，还有一项更实质性的反对理由。通常形式的 Einstein 方程为度规导出一个适定的初值问题：在初始时刻指定坐标和动量，就可以用来预言未来演化。加入高阶导数项后，除这些数据外，还需要给出动量的一定阶数的导数；理论的性质会发生剧烈改变。

不过，也有充分理由考虑这些附加项。正如简短讨论量子引力时提到的，自洽量子化广义相对论的一项技术障碍，是理论不可重整化：加入高阶量子效应会导出无穷大的答案。事实证明，选取适当的高阶 Lagrangian 项组合，的确可以使理论变得可重整化，从而为构造自洽量子理论带来一线希望。⁵ 遗憾的是，重整化付出的代价过高：这些模型通常含有负能量的场激发（鬼场）。因此，所谓真空态（空空间）会不稳定地衰变成正能量和负能量模式，这既与经验事实不符，也有悖理论判断。

尽管如此，当前占主导地位的观点认为，GR 是一套在 Planck 标度以下能量上有效的有效理论，我们实际上应当纳入所有可能的

⁵ 例如见 K. S. Stelle，Phys. Rev. D 16, 953（1977）。

高阶项；不过，正如第 4.7 节讨论等效原理时所论证的，这些项会被 Planck 标度的适当幂次压低。因此，它们只有在刻画曲率的长度标度接近 Planck 标度时才会变得重要，而任何可想象的实验都远未达到那里。所以，高阶项在原则上很有趣，在实践中却不重要。另一方面，类似推理会让我们预期一个巨大的真空能量项，因为它比 Hilbert 作用量阶数更低；我们知道事实并非如此，所以仍应保持开放态度。

作者勘误（印刷页 190）： 本页第一行扫描版漏掉了 “be”，原文 “they will suppressed” 应为 “they will be suppressed”；译文已按勘误补正。

作为广义相对论的最后一种替代方案，应当提到这样一种可能：联络实际上可以不由度规导出，并以基本场的身份独立存在。有一道习题会要求你证明，可以考虑广义相对论的通常作用量，但把它同时视为度规 $g_{\mu \nu }$ 和无挠联络 ${\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\lambda }$ 的函数；对这类作用量中的联络作变分所得运动方程，会推出 ${\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\lambda }$ 其实正是与 $g_{\mu \nu }$ 对应的 Christoffel 联络。我们也可以放弃联络无挠的要求，这时挠率张量可能带来额外的传播自由度。这类理论很少受到关注，其基本原因只是：挠率本身是张量，没有任何东西能把它与其他非引力张量场区分开来。因此，考虑“无挠联络理论（它会导出 GR）加上任意多个张量场”并不会真正失去一般性，而这些张量场爱叫什么都可以。当我们考虑放弃度规相容性要求时，同样的道理仍适用——任意联络都能写成一个度规相容联络加上张量修正，所以任何这类理论都等价于 GR 加上额外张量场，实在不配称为一种“广义相对论替代理论”。

4.9 习题

1. 弯曲空间中的电磁场

弯曲空间中电磁场的 Lagrangian 密度为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.156}\text{)}& \mathcal{L}=\sqrt{-g}(-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }+A_{\mu }{J}^{\mu }),\end{array}$$

其中 $J^{\mu }$ 是守恒电流。

（a）通过对度规作泛函微分，导出能量—动量张量。

（b）考虑给 Lagrangian 加入新项

$${\mathcal{L}}^{\prime }=\beta R^{\mu \nu }{g}^{\rho \sigma }{F}_{\mu \rho }{F}_{\nu \sigma }.$$

存在这一项时，Maxwell 方程如何改变？Einstein 方程呢？电流是否仍然守恒？

作者勘误（印刷页 190，习题 1）： 这里应明确假设 $A_{\mu }{J}^{\mu }$ 项不对能量—动量张量作出贡献。例如，对带电点粒子，这一假设成立，因为 $J^{\mu }$ 含有一个隐含的 $1/\sqrt{-g}$ 因子，如（4.157）定义的 delta 函数。

2. Palatini 表述

我们已经说明，怎样对 Hilbert 作用量中的度规作变分来导出 Einstein 方程。也可以把度规与联络视为独立自由度，分别对它们作变分来导出方程；这种方法称为

Palatini 表述。也就是说，我们考虑作用量

$$S=\int {\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }(\mathrm{\Gamma }),$$

其中把 Ricci 张量视为完全由联络构造，不使用度规。对度规作变分会给出通常的 Einstein 方程，只不过这里的 Ricci 张量来自一个事先与度规没有任何关系的联络。从一开始就假设联络是对称的（无挠），证明：对这个作用量中的联络系数作变分，会导出联络必须度规相容这一要求，也就是说，它必须是 Christoffel 联络。记住，Stokes 定理把向量协变散度的积分与边界上向量的积分联系起来，但对一般协变导数并不成立。最佳策略是把联络系数写成 Christoffel 符号 ${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\lambda }$ 与一个张量 $C^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ 之和：

$${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }={\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\lambda }+C^{\lambda }{}_{\mu \nu },$$

然后证明 $C^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ 必须为零。

3. 点粒子的能量—动量张量

流形 $M$ 上的四维 $\delta$ 函数定义为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.157}\text{)}& {\int }_{M}F(x^{\mu })\left[\frac{{\delta }^{(4)}(x^{\sigma }-y^{\sigma })}{\sqrt{-g}}\right]\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x=F(y^{\sigma }),\end{array}$$

其中 $F(x^{\mu })$ 是任意函数。另一方面，无压理想流体（尘埃）的能量—动量张量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.158}\text{)}& T^{\mu \nu }=\rho U^{\mu }{U}^{\nu },\end{array}$$

其中 $\rho$ 是能量密度，$U^{\mu }$ 是四速度。考虑由单个粒子组成的这样一种流体；粒子沿世界线 $x^{\mu }(\tau )$ 运动，$\tau$ 为固有时。该流体的能量—动量张量于是为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{4.159}\text{)}& T^{\mu \nu }(y^{\sigma })=m{\int }_M\left[\frac{{\delta }^{(4)}(y^{\sigma }-x^{\sigma }(\tau ))}{\sqrt{-g}}\right]\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}\tau }\mathrm{d}\tau ,\end{array}$$

其中 $m$ 是粒子的静止质量。证明：能量—动量张量的协变守恒 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$，意味着 $x^{\mu }(\tau )$ 满足测地线方程。

4. 场的能量条件

证明：电磁学与标量场理论的能量—动量张量满足占优能量条件，因而也满足弱能量条件、类光能量条件和类光占优能量条件。证明它们还满足 $w\ge -1$。

5. 静态时空与尘埃

如果存在一个与类空超曲面正交的类时 Killing 向量，时空就是静态的。（更多讨论见附录 D 和 F，其中包括 Raychaudhuri 方程的定义。）

作者勘误（印刷页 191，习题 5）： 扫描版笼统写作 “the Appendices”；作者勘误明确为“附录 D 和 F”，译文已采用具体指向。

（a）一般而言，如果向量场 $v^{\mu }$ 与一组由 $f=\text{常数}$ 定义的超曲面正交，就可以把这个向量写成 $v_{\mu }=h{\mathrm{\nabla }}_{\mu }f$（这里 $f$ 与 $h$ 都是函数）。证明这意味着

$$v_{[\sigma }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{v}_{\nu ]}=0.$$

（b）设有一种零压强理想流体（尘埃），它生成 Einstein 方程的一个解。证明：只有当流体四速度平行于那个类时（且与超曲面正交的）Killing 向量时，度规才可能是静态的。

（c）利用 Raychaudhuri 方程证明：当压强为零、能量密度大于零时，Einstein 方程不存在静态解。

6. Killing 向量与 Maxwell 方程

令 $K$ 为 Killing 向量场。证明：如果度规是 Einstein 方程的真空解，那么势为 $A_{\mu }=K_{\mu }$ 的电磁场满足 Maxwell 方程。这里稍微耍了点花招：如果电磁场强非零，时空就并非真空；不过，我们假设场强足够小，不会显著影响几何。

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