红移、光度距离与哈勃定律

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从观测确定宇宙学参数

显然，我们希望通过观测确定若干物理量，从而判断哪一种 FRW 模型与我们的宇宙相对应。我们当然想确定 $H_0$，因为它与宇宙的年龄有关。（对于一个完全由物质主导且 $k=0$ 的宇宙，（8.49）意味着宇宙年龄为 $2/(3H_0)$。其他可能情形会预言类似的关系。）我们也想知道 $\mathrm{\Omega }$，它通过（8.41）决定 $k$。根据 $\mathrm{\Omega }$ 的定义（8.39），这意味着我们既想知道 $H_0$，也想知道 ${\rho }_0$。遗憾的是，这两个量都很难精确测量，尤其是 $\rho$。不过请注意，利用（8.35）可以把减速参数 $q$ 与 $\mathrm{\Omega }$ 联系起来：

因此，如果我们认为自己知道 $w$ 是多少（也就是说，宇宙由什么物质组成），就可以确定 $\mathrm{\Omega }$，办法是测量 $q$。（遗憾的是，我们并不能完全确信自己知道 $w$，而且 $q$ 本身也很难测量。不过，人们正在为此努力。）

FRW 宇宙中的测地运动

为了理解这些量原则上可能如何测得，让我们考察 FRW 宇宙中的测地运动。这里有若干类空 Killing 矢量，却没有能为我们提供守恒能量概念的类时 Killing 矢量。不过，这里存在一个 Killing 张量。如果 $U^{\mu }=(1,0,0,0)$ 是共动观测者的四速度，那么张量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.61}\text{)}& K_{\mu \nu }=a^2(g_{\mu \nu }+U_{\mu }{U}_{\nu })\end{array}$$

满足 ${\mathrm{\nabla }}_{(\sigma }{K}_{\mu \nu )}=0$（你可以自行检验），因此是一个 Killing 张量。这意味着，如果一个粒子的四速度为 $V^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\lambda$，那么量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.62}\text{)}& K^2=K_{\mu \nu }{V}^{\mu }{V}^{\nu }=a^2[V_{\mu }{V}^{\mu }+(U_{\mu }{V}^{\mu }{)}^2]\end{array}$$

沿测地线将保持为常数。我们先针对有质量粒子来思考这一点。此时有 $V_{\mu }{V}^{\mu }=-1$，即

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.63}\text{)}& (V^0{)}^2=1+|\overrightarrow{V}{|}^2,\end{array}$$

其中 $|\overrightarrow{V}{|}^2=g_{ij}{V}^i{V}^j$。所以（8.61）意味着

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.64}\text{)}& |\overrightarrow{V}|=\frac{K}{a}.\end{array}$$

因此，随着宇宙膨胀，相对于共动坐标而言，粒子会“慢下来”。事实上，这是一种实际的减速；一团起初具有很高相对速度的粒子气体会随着宇宙膨胀而冷却。

光子的宇宙学红移

对于零测地线，也会发生类似的现象。在这种情况下 $V_{\mu }{V}^{\mu }=0$，而（8.62）意味着

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.65}\text{)}& U_{\mu }{V}^{\mu }=\frac{K}{a}.\end{array}$$

但是，共动观测者测得的光子频率为 $\omega =-U_{\mu }{V}^{\mu }$。因此，随着宇宙膨胀，以频率 ${\omega }_1$ 发射的光子将以较低的频率 ${\omega }_0$ 被观测到：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.66}\text{)}& \frac{{\omega }_0}{{\omega }_1}=\frac{a_1}{a_0}.\end{array}$$

宇宙学家喜欢用两个事件之间的红移 $z$ 来描述这一现象；它由波长的相对变化定义：

请注意，这种红移不同于通常的多普勒效应；导致红移的是空间的膨胀，与观测者和发射者的相对速度无关。

红移是我们能够测量的量；我们知道遥远星系辐射中各种谱线在静止系里的波长，因此可以判断这些波长从发射时刻 $t_1$ 到观测时刻 $t_0$ 的传播过程中改变了多少。这样，我们就知道了这两个时刻尺度因子的比值。但我们并不知道时刻本身；光子没有聪明到能告诉我们，它们在旅途中经过了多少坐标时间。我们必须付出更多努力才能提取这一信息。

光度距离

粗略地说，因为光子以光速运动，它的传播时间应当就是它走过的距离。但在一个膨胀的宇宙中，遥远星系的“距离”究竟是什么？共动距离并不是特别有用，因为它无法测量；此外，一般而言星系也不一定共动。我们可以改为定义光度距离：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.68}\text{)}& d_L^2=\frac{L}{4\pi F},\end{array}$$

其中，$L$ 是光源的绝对光度，$F$ 是观测者测得的通量（某个探测器单位时间、单位面积接收到的能量）。这个定义源于如下事实：在平直空间中，对于距离为 $d$ 的光源，通量与光度之比恰好等于以光源为球心的球面面积的倒数，即 $F/L=1/A(d)=1/4\pi d^2$。然而，在 FRW 宇宙中，通量会被稀释。光子数守恒告诉我们，光源发出的光子总数最终都会穿过一个与发射者相距共动距离 $r$ 的球面。这个球面位于物理距离 $d=a_{0}r$ 处，其中 $a_0$ 是观测光子时的尺度因子。但通量还会受到另外两种效应的稀释：单个光子的红移会带来一个 $(1+z)$ 因子；而且光子撞击球面的频率会降低，因为发射时间相隔 $\delta t$ 的两个光子，测得的到达时间间隔将为 $(1+z)\delta t$。因此我们有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.69}\text{)}& \frac{F}{L}=\frac{1}{4\pi a_0^2{r}^2(1+z{)}^2},\end{array}$$

或者

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.70}\text{)}& d_L=a_{0}r(1+z).\end{array}$$

光度距离 $d_L$ 是我们有望测量的量，因为有些天体物理光源的绝对光度是已知的（“标准烛光”）。但是 $r$ 无法观测，所以必须从方程中消去它。在一条零测地线上（为方便起见，选取径向测地线），我们有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.71}\text{)}& 0=d{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+\frac{a^2}{1-k{r}^2}\mathrm{d}{r}^2,\end{array}$$

或者

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.72}\text{)}& {\int }_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)}={\int }_0^r\frac{dr}{(1-k{r}^2{)}^{1/2}}.\end{array}$$

低红移展开与哈勃定律

对于距离不太遥远的星系，我们可以在尺度因子的现今值附近作泰勒展开：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.73}\text{)}& a(t_1)=a_0+(\dot{a}{)}_0(t_1-t_0)+\frac{1}{2}(\ddot{a}{)}_0(t_1-t_0{)}^2+\dots .\end{array}$$

然后可以展开（8.72）两边，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.74}\text{)}& r=a_0^{-1}[(t_0-t_1)+\frac{1}{2}{H}_0(t_0-t_1{)}^2+\dots ].\end{array}$$

现在回想（8.67），展开式（8.73）也就等价于

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.75}\text{)}& \frac{1}{1+z}=1+H_0(t_1-t_0)-\frac{1}{2}{q}_0{H}_0^2(t_1-t_0{)}^2+\dots .\end{array}$$

当 $H_0(t_1-t_0)$ 很小时，可以将它反解为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.76}\text{)}& t_0-t_1=H_0^{-1}[z-(1+\frac{q_0}{2})z^2+\dots ].\end{array}$$

再把它代回（8.74），得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.77}\text{)}& r=\frac{1}{a_0{H}_0}[z-\frac{1}{2}(1+q_0)z^2+\dots ].\end{array}$$

最后，把这个结果用于（8.70），便得到哈勃定律：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.78}\text{)}& d_L=H_0^{-1}[z+\frac{1}{2}(1-q_0)z^2+\dots ].\end{array}$$

因此，测量足够多星系的光度距离和红移，就能让我们确定 $H_0$ 和 $q_0$，进而使我们在判断自己生活于哪一种 FRW 宇宙方面迈出一大步。这些观测本身极为困难，而现实世界中这些参数的数值仍存在激烈争议。在接下来的十年左右，各种新策略以及对旧策略更精确的运用，很可能会一劳永逸地回答这些问题。

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