能量动量张量与理想流体

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从粒子到连续介质

尽管 $p^{\mu }$ 完整描述了一个粒子的能量和动量，对于延展系统，我们还需要更进一步，定义能量动量张量（有时也称为应力—能量张量）$T^{\mu \nu }$。这是一个对称的 $(2,0)$ 张量，它告诉我们一个系统在能量方面所需知道的一切：能量密度、压强、应力等等。$T^{\mu \nu }$ 的一般定义是“四动量 $p^{\mu }$ 穿过 $x^{\nu }$ 为常数的曲面时的通量”。为了让这个定义更具体，我们来考虑一类非常普遍、可以称为流体的物质——它是由温度、压强、熵、黏度等宏观量描述的物质连续体。事实上，这个定义太过宽泛，以至于用处不大。在广义相对论中，从恒星、电磁场到整个宇宙，几乎所有值得关注的物质类型都可以看作理想流体。Schutz 把理想流体定义为没有热传导和黏性的流体，Weinberg 则把它定义为在自身静止系中呈各向同性的流体；事实证明，这两种观点是等价的。在实际使用中，你可以把理想流体理解为一种能够由压强和密度完全刻画的流体。

尘埃的能量动量张量

为了理解理想流体，我们先从更简单的例子——尘埃——开始。尘埃被定义为一群彼此相对静止的粒子；也可以把它定义为压强为零的理想流体。由于在任何给定惯性系中，所有粒子的速度都相同，我们可以设想在整个时空上定义一个“四速度场” $U^{\mu }(x)$。（实际上，它的各个分量在每一点都相同。）定义粒子数流四向量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.104}\text{)}& N^{\mu }=n{U}^{\mu },\end{array}$$

其中 $n$ 是在粒子静止系中测得的粒子数密度。于是，$N^0$ 是在任意其他参考系中测得的粒子数密度，而 $N^i$ 是沿 $x^i$ 方向的粒子通量。现在设想每个粒子的质量都相同，均为 $m$。那么，在静止系中，尘埃的能量密度为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.105}\text{)}& \rho =nm.\end{array}$$

按照定义，能量密度就能完全描述尘埃。但 $\rho$ 只测量静止系中的能量密度；其他参考系中的情形又如何？我们注意到，在各自的静止系中，$n$ 和 $m$ 都是四向量的第 $0$ 个分量；具体而言，$N^{\mu }=(n,0,0,0)$，而 $p^{\mu }=(m,0,0,0)$。因此，在静止系中测量时，$\rho$ 是指标取 $\mu =0$、$\nu =0$ 时的分量，所属张量为 $p\otimes N$。由此，我们得到尘埃的能量动量张量定义：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.106}\text{)}& T_{\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{\mu \nu }=p^{\mu }{N}^{\nu }=nm{U}^{\mu }{U}^{\nu }=\rho U^{\mu }{U}^{\nu },\end{array}$$

其中，$\rho$ 被定义为静止系中的能量密度。

理想流体的能量动量张量

静止系中的各向同性形式

掌握了尘埃以后，更一般的理想流体也复杂不了多少。请记住，“理想”可以理解为“在自身静止系中各向同性”。这又意味着 $T^{\mu \nu }$ 是对角的——任一动量分量沿与其正交方向的净通量都为零。此外，非零的类空分量必须全都相等，即 $T^{11}=T^{22}=T^{33}$。因此，只有两个相互独立的数：$T^{00}$ 和任意一个 $T^{ii}$；我们可以把前者称为能量密度 $\rho$，把后者称为压强 $p$。（很抱歉，它与动量使用了同一个字母。）因此，在理想流体的静止系中，其能量动量张量具有如下形式：

任意参考系中的协变形式

当然，我们想要一个适用于任何参考系的公式。对于尘埃，我们有 $T^{\mu \nu }=\rho U^{\mu }{U}^{\nu }$，所以不妨先猜测 $(\rho +p)U^{\mu }{U}^{\nu }$，它给出

为了得到想要的答案，我们还必须加上

幸运的是，它有一个显然的协变推广，即 $p{\eta }^{\mu \nu }$。因此，理想流体的能量动量张量一般形式为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.110}\text{)}& T^{\mu \nu }=(\rho +p)U^{\mu }{U}^{\nu }+p{\eta }^{\mu \nu }.\end{array}$$

这个公式对于恒星结构和宇宙学等应用十分重要。

电磁场与标量场

作为进一步的例子，我们来考虑电磁场和标量场理论的能量动量张量。这里完全不作解释，直接给出它们：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.111}\text{)}& T_{\mathrm{e}+\mathrm{m}}^{\mu \nu }=\frac{-1}{4\pi }(F^{\mu \lambda }{F}^{\nu }{}_{\lambda }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}^{\lambda \sigma }{F}_{\lambda \sigma }),\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.112}\text{)}& T_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}}^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \lambda }{\eta }^{\nu \sigma }{\partial }_{\lambda }\varphi {\partial }_{\sigma }\varphi -\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \nu }({\eta }^{\lambda \sigma }{\partial }_{\lambda }\varphi {\partial }_{\sigma }\varphi +m^2{\varphi }^2).\end{array}$$

你可以自行验证，例如，在每种情形中，$T^{00}$ 都等于你所预期的能量密度。

能量动量守恒

除了具有对称性，$T^{\mu \nu }$ 还有一个更加重要的性质：它是守恒的。在这里，守恒表示“散度”为零：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.113}\text{)}& {\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.\end{array}$$

这包含四个方程，对应 $\nu$ 的每一个取值。$\nu =0$ 的方程对应能量守恒，而 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu k}=0$ 表示动量的 $k^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$ 分量守恒。我们不打算一般性地证明这一点；对于每一种具体的物质源，这个证明都可以从该物质所遵循的运动方程得出。事实上，定义 $T^{\mu \nu }$ 的一种方式可以是：“一个单位为能量除以体积、并且守恒的 $(2,0)$ 张量。”例如，你可以对 (1.111) 求散度，并使用前面讨论过的 Maxwell 方程，从而证明电磁场能量动量张量的守恒性。

引力场能量的局域困难

最后说一句题外话：我们已经提到过，在广义相对论中，引力不算作一种“力”。与此相关，引力场也没有能量动量张量。事实上，要为引力场的能量构造一个合理的局部表达式非常困难；人们已经提出了许多方案，但它们各有缺点。虽然这里没有“正确”答案，但当我们提出一些看似合理的问题时，这仍然是一个重要议题，例如：“双星脉冲星因引力辐射而每秒发射多少能量？”

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