四标架、自旋联络与结构方程

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非坐标正交基

在进入真正的引力理论之前，还有最后一部分形式体系值得介绍。我们将再次考察联络与曲率的形式体系（不过这一次会简洁得多），但改用切空间中一组不由任何坐标系导出的基向量。事实将会表明，这个重点上的微小改变揭示了看待联络与曲率的另一种视角；在这种视角下，它们与粒子物理规范理论的关系透明得多。其实接下来要引入的概念非常直截了当，只是这个主题在记号上如同噩梦，所以看起来比它实际的样子更难。

到目前为止，我们一直利用这样一个事实：点 $p$ 处切空间 $T_p$ 的一个自然基，由该点坐标的偏导数给出，即 ${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$。类似地，余切空间 $T_p^{\ast }$ 的一个基由坐标函数的梯度给出，即 ${\hat{\theta }}^{(\mu )}=\mathrm{d}{x}^{\mu }$。然而，没有任何东西阻止我们建立任意喜欢的基。因此，设想我们在流形的每一点都引入一组基向量 ${\hat{e}}_{(a)}$（指标使用拉丁字母而非希腊字母，以提醒我们它们与任何坐标系都没有关系）。我们要选取这些基向量，使它们在与所研究流形的号差相适应的意义下“正交归一”。也就是说，如果把度规的标准形式写成 ${\eta }_{ab}$，我们要求基向量的内积满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.114}\text{)}& g({\hat{e}}_{(a)},{\hat{e}}_{(b)})={\eta }_{ab},\end{array}$$

其中 $g(,)$ 是通常的度规张量。因此，在洛伦兹时空中，${\eta }_{ab}$ 表示 Minkowski 度规；在具有正定度规的空间中，它则表示欧几里得度规。构成一个正交归一基的这组向量有时称为四标架（tetrad，源自希腊语 tetras，意为“一组四个”）或多重标架（vielbein，源自德语，意为“许多条腿”）。在不同维数下，它偶尔还会变成 vierbein（四）、dreibein（三）、zweibein（二），等等。（正如一般无法找到覆盖整个流形的单个坐标图，我们通常也无法找到一组处处有定义的光滑基向量场。照例，可以在不同坐标片中工作，并确保它们在重叠区域表现良好，从而克服这个问题。）

多重标架与度规

引入基的意义在于，任何向量都可以表示成基向量的线性组合。具体来说，我们可以用新基表示旧基向量 ${\hat{e}}_{(\mu )}={\partial }_{\mu }$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.115}\text{)}& {\hat{e}}_{(\mu )}=e_{\mu }^a{\hat{e}}_{(a)}.\end{array}$$

分量 $e_{\mu }^a$ 构成一个 $n\times n$ 可逆矩阵。（按照我们一贯模糊对象与其分量之间区别的做法，我们会把 $e_{\mu }^a$ 本身称为四标架或多重标架，并且经常使用其复数形式“vielbeins”。）交换指标位置来表示它们的逆矩阵 $e_a^{\mu }$，它们满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.116}\text{)}& e_a^{\mu }{e}_{\nu }^a={\delta }_{\nu }^{\mu },e_{\mu }^a{e}_b^{\mu }={\delta }_b^a.\end{array}$$

这些量就是向量 ${\hat{e}}_{(a)}$ 在坐标基中的分量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.117}\text{)}& {\hat{e}}_{(a)}=e_a^{\mu }{\hat{e}}_{(\mu )}.\end{array}$$

用逆多重标架表示时，(3.114) 变为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.118}\text{)}& g_{\mu \nu }{e}_a^{\mu }{e}_b^{\nu }={\eta }_{ab},\end{array}$$

或等价地

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.119}\text{)}& g_{\mu \nu }=e_{\mu }^a{e}_{\nu }^b{\eta }_{ab}.\end{array}$$

最后这个方程有时会让人说，多重标架是度规的“平方根”。

同样可以在 $T_p^{\ast }$ 中建立一个正交归一单形式基，记作 ${\hat{\theta }}^{(a)}$。我们可以选取它们，使其在如下意义下与基向量相容：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.120}\text{)}& {\hat{\theta }}^{(a)}({\hat{e}}_{(b)})={\delta }_b^a.\end{array}$$

由此立即可知，正交归一单形式与其基于坐标的对应物 ${\hat{\theta }}^{(\mu )}=\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 之间有关系

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.121}\text{)}& {\hat{\theta }}^{(\mu )}=e_a^{\mu }{\hat{\theta }}^{(a)}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.122}\text{)}& {\hat{\theta }}^{(a)}=e_{\mu }^a{\hat{\theta }}^{(\mu )}.\end{array}$$

因此，多重标架 $e_{\mu }^a$ 身兼二职：它既是坐标基向量用正交归一基向量表示时的分量，又是正交归一基单形式用坐标基单形式表示时的分量；逆多重标架同样身兼二职：它既是正交归一基向量用坐标基表示时的分量，又是坐标基单形式用正交归一基表示时的分量。

任何其他向量也可以用它在正交归一基中的分量表示。如果向量 $V$ 在坐标基中写作 $V^{\mu }{\hat{e}}_{(\mu )}$，在正交归一基中写作 $V^a{\hat{e}}_{(a)}$，两组分量之间的关系为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.123}\text{)}& V^a=e_{\mu }^a{V}^{\mu }.\end{array}$$

所以，多重标架让我们能够“在拉丁指标与希腊指标之间来回切换”。张量的一项美妙性质在这里大有帮助：只要看指标的位置，通常就只有一种合理的运算。我们可以继续用任意一种基来表示多指标张量，甚至可以使用混合分量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.124}\text{)}& V^a{}_b=e_{\mu }^a{V}^{\mu }{}_b=e_b^{\nu }{V}^a{}_{\nu }=e_{\mu }^a{e}_b^{\nu }{V}^{\mu }{}_{\nu }.\end{array}$$

回看 (3.118)，可以看到度规张量在正交归一基中的分量正是平坦度规的分量 ${\eta }_{ab}$。（出于这个原因，希腊指标有时称为“弯曲”指标，拉丁指标则称为“平坦”指标。）事实上，我们甚至可以用平坦度规及其逆 ${\eta }^{ab}$ 升降拉丁指标。你可以亲自检验一切都能正常运作（例如，用度规降低指标与从正交归一基切换到坐标基这两个操作彼此对易）。

局域 Lorentz 变换与一般坐标变换

引入一组新的基向量和基单形式，使我们不得不回到最喜欢的主题：变换性质。我们从一开始就谨慎地强调，张量变换律只是一场坐标变换的间接结果；真正的关键在于基的改变。现在有了非坐标基，就可以独立于坐标来改变这些基。唯一的限制是必须保持正交归一性质 (3.114)。我们知道什么样的变换会保持平坦度规——对欧几里得号差的度规而言，它们是正交变换；对洛伦兹号差的度规而言，它们是 Lorentz 变换。因此，我们考虑如下形式的基变换：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.125}\text{)}& {\hat{e}}_{(a)}\to {\hat{e}}_{(a^{\prime })}={\mathrm{\Lambda }}_{a^{\prime }}{}^a(x){\hat{e}}_{(a)},\end{array}$$

其中矩阵 ${\mathrm{\Lambda }}_{a^{\prime }}{}^a(x)$ 表示依赖位置的变换，它们（在每一点）都使度规的标准形式保持不变：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.126}\text{)}& {\mathrm{\Lambda }}_{a^{\prime }}{}^a{\mathrm{\Lambda }}_{b^{\prime }}{}^b{\eta }_{ab}={\eta }_{a^{\prime }{b}^{\prime }}.\end{array}$$

事实上，这些矩阵对应于我们在平坦空间中称作逆 Lorentz 变换的对象（它们作用在基向量上）；和以前一样，我们还有作用于基单形式的普通 Lorentz 变换 ${\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_a$。就分量而言，仍和从前一样：用 ${\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_a$ 变换上指标，用 ${\mathrm{\Lambda }}_{a^{\prime }}{}^a$ 变换下指标。

于是，我们现在可以在空间中的每一点各自施行一次 Lorentz 变换（或普通欧几里得旋转，取决于号差）。因此，这些变换称为局域 Lorentz 变换（local Lorentz transformation），简称 LLT。我们仍然保有改变坐标的通常自由，后者称为一般坐标变换（general coordinate transformation），简称 GCT。两种变换可以同时发生，由此得到混合张量变换律：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.127}\text{)}& T^{a^{\prime }{\mu }^{\prime }}{}_{b^{\prime }{\nu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_a\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}{\mathrm{\Lambda }}_{b^{\prime }}{}^b\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}{T}^{a\mu }{}_{b\nu }.\end{array}$$

自旋联络

把我们关于张量的知识翻译到非坐标基中，大体上只需把多重标架插入正确位置。关键的例外出现在开始对对象求导时。在通常的形式体系中，一个张量的协变导数等于其偏导数加上若干修正项；每个指标对应一项，其中包含张量和联络系数。对于非坐标基，这套步骤依然成立，但要用自旋联络（spin connection）${\omega }_{\mu }{}^a{}_b$ 取代普通联络系数 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$。每个拉丁指标都以通常方式带来一个自旋联络因子：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.128}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}^a{}_b={\partial }_{\mu }{X}^a{}_b+{\omega }_{\mu }{}^a{}_c{X}^c{}_b-{\omega }_{\mu }{}^c{}_b{X}^a{}_c.\end{array}$$

（“自旋联络”这个名称来自这样一个事实：可以用它求旋量的协变导数，而用传统联络系数实际上无法完成这一点。）当拉丁指标与希腊指标混合出现时，我们会同时得到这两类项。

同一个张量应当与其写法无关，这项通常要求让我们可以推导出自旋联络、多重标架和 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\nu }$ 之间的关系。考虑向量 $X$ 的协变导数，先完全使用坐标基：

现在用混合基求出同一个对象，再把它转换到坐标基中：

与 (3.129) 比较可知

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.131}\text{)}& {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\nu }=e_a^{\nu }{\partial }_{\mu }{e}_{\lambda }^a+e_a^{\nu }{e}_{\lambda }^b{\omega }_{\mu }{}^a{}_b,\end{array}$$

或等价地

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.132}\text{)}& {\omega }_{\mu }{}^a{}_b=e_{\nu }^a{e}_b^{\lambda }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\nu }-e_b^{\lambda }{\partial }_{\mu }{e}_{\lambda }^a.\end{array}$$

稍作整理，可以把这个关系写成多重标架的协变导数为零：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.133}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{e}_{\nu }^a=0,\end{array}$$

这有时称为“四标架公设”（tetrad postulate）。请注意，它始终成立；在推导它时，我们不需要对联络作任何假设。具体来说，我们既不需要假设联络与度规相容，也不需要假设联络无挠。

既然可以把联络看成用来修正协变导数变换律的东西，自旋联络本身不服从张量变换律也就不足为奇了。实际上，在 GCT 下，它唯一的希腊下指标确实按正确方式变换，即作为单形式变换。但在 LLT 下，自旋联络作非齐次变换：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.134}\text{)}& {\omega }_{\mu }{}^{a^{\prime }}{}_{b^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_a{\mathrm{\Lambda }}_{b^{\prime }}{}^b{\omega }_{\mu }{}^a{}_b-{\mathrm{\Lambda }}_{b^{\prime }}{}^c{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Lambda }}^{a^{\prime }}{}_c.\end{array}$$

建议你亲自检验，这确实会使协变导数得到正确的变换。

张量值微分形式

到目前为止，我们所做的都只是空洞的形式操作：把早已知道的事情翻译成一套新记号。然而，这番工作确实带给我们两样东西。第一样已经提到过，就是描述时空上的旋量场并求其协变导数的能力；眼下我们不再深入。第二样是一种视角的变化：可以把各种张量看成张量值微分形式。例如，像 $X_{\mu }{}^a$ 这样的对象，通常会被看作以混合指标写出的 $(1,1)$ 张量，但也可以看成一个“向量值单形式”。它有一个希腊下指标，因此我们把它视为单形式；然而对于下指标的每一个取值，它又都是一个向量。类似地，一个关于 $\mu$、$\nu$ 反对称的张量 $A_{\mu \nu }{}^a{}_b$，可以看成“$(1,1)$ 张量值二形式”。于是，凡是带有若干反对称希腊下指标和若干拉丁指标的张量，都可以看成微分形式，只是它取值于张量丛。（普通微分形式只是标量值形式。）这种观点的用处在考察外导数时显现出来。如果想把 $X_{\mu }{}^a$ 看成向量值单形式，我们会忍不住取它的外导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.135}\text{)}& (\mathrm{d}X{)}_{\mu \nu }{}^a={\partial }_{\mu }{X}_{\nu }{}^a-{\partial }_{\nu }{X}_{\mu }{}^a.\end{array}$$

不难检验，这个对象在 GCT 下会像二形式一样变换（即按照 $(0,2)$ 张量的变换律），但在 LLT 下不会像向量一样变换（Lorentz 变换依赖于位置，这会在变换律中引入一个非齐次项）。不过，明智地使用可以看作单形式的自旋联络，就能修正这个问题。（由于非张量式变换律 (3.134)，它并非张量值单形式。）因此，对象

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.136}\text{)}& (\mathrm{d}X{)}_{\mu \nu }{}^a+(\omega \wedge X{)}_{\mu \nu }{}^a={\partial }_{\mu }{X}_{\nu }{}^a-{\partial }_{\nu }{X}_{\mu }{}^a+{\omega }_{\mu }{}^a{}_b{X}_{\nu }{}^b-{\omega }_{\nu }{}^a{}_b{X}_{\mu }{}^b,\end{array}$$

正如你在家可以验证的那样，会作为一个真正的张量变换。

Maurer–Cartan 结构方程

这套形式体系的一项直接应用，是表示挠率和曲率；这两个张量刻画任意给定的联络。带有两个反对称下指标的挠率，可以看作向量值二形式 $T_{\mu \nu }{}^a$。曲率的最后两个指标总是反对称的，所以它是一个 $(1,1)$ 张量值二形式 $R^a{}_{b\mu \nu }$。利用省略微分形式指标的自由，可以把这两个张量的定义关系写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.137}\text{)}& T^a=\mathrm{d}{e}^a+{\omega }^a{}_b\wedge e^b\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.138}\text{)}& R^a{}_b=\mathrm{d}{\omega }^a{}_b+{\omega }^a{}_c\wedge {\omega }^c{}_b.\end{array}$$

这些称为 Maurer–Cartan 结构方程。它们与通常的定义等价；让我们练习证明挠率的情形，曲率的情形留给你自己检验。我们有

这正是我们最初给出的定义。这里用到了 (3.131)，即用多重标架和自旋联络表示 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$ 的公式。还可以把这些张量所满足的恒等式写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.140}\text{)}& \mathrm{d}{T}^a+{\omega }^a{}_b\wedge T^b=R^a{}_b\wedge e^b\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.141}\text{)}& \mathrm{d}{R}^a{}_b+{\omega }^a{}_c\wedge R^c{}_b-R^a{}_c\wedge {\omega }^c{}_b=0.\end{array}$$

其中第一个是 $R^{\rho }{}_{[\sigma \mu \nu ]}=0$ 的推广，第二个是 Bianchi 恒等式 $‘{\mathrm{\nabla }}_{[\lambda |}{R}^{\rho }{}_{\sigma |\mu \nu ]}=0‘$。（有时这两个方程都称为 Bianchi 恒等式。）

这些表达式的形式带来一种几乎无法抗拒的诱惑：定义一个“协变外导数”，令它作用于张量值形式；先取普通外导数，再针对每一个拉丁指标加入适当的自旋联络项。尽管这里不会这样做，但向这种诱惑投降也没有问题；事实上，可以把 (3.137) 的右侧以及 (3.140)、(3.141) 的左侧看作这样的协变外导数。不过务必小心，(3.138) 不能作这种解释；你无法对自旋联络取任何形式的协变导数，因为它并非张量。

Christoffel 联络的自旋联络

到目前为止，我们的方程都适用于一般联络；现在看看 Christoffel 联络会带来什么。无挠要求就是令 (3.137) 为零；这不会立即给出关于自旋联络系数的任何简单陈述。度规相容性表达为度规的协变导数为零，即 $\mathrm{\nabla }g=0$。当我们在正交归一基中表示度规时，它的分量就是 ${\eta }_{ab}$；由此可以看出这个条件意味着什么：

令它等于零便得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.143}\text{)}& {\omega }_{\mu ab}=-{\omega }_{\mu ba}.\end{array}$$

因此，度规相容性等价于自旋联络关于其拉丁指标的反对称性。（和以前一样，只有两个指标同时在上方或同时在下方时，这样的陈述才有意义。）这两个条件结合起来，使我们能够用多重标架表示自旋联络。确实存在一个显式公式来表达这个解，但在实际计算中，通常更容易直接利用自旋联络的反对称性求解无挠条件

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.144}\text{)}& {\omega }^{ab}\wedge e_b=-\mathrm{d}{e}^a,\end{array}$$

从而找出各个分量。

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