纤维丛与规范变换

完整译文 · 原 PDF 第 62–103 页 · 本章入口 · 全书入口

黎曼几何与规范理论

现在，我们已经具备了比较黎曼几何中的联络与曲率形式体系和粒子物理规范理论中相应形式体系所需的工具。（这里是一段题外话，希望每个人都能看懂，但它并非本课程不可缺少的组成部分。）在这两种情形中，我们感兴趣的场都取值于分配给时空中每一点的向量空间。黎曼几何中的这些向量空间包括切空间、余切空间，以及由它们构造出的更高阶张量空间。另一方面，规范理论关注的是“内部”向量空间。两者的区别在于，切空间及其相关空间与流形本身密切相连，一旦建立起流形，它们也就得到了自然的定义；内部向量空间则可以具有我们想要的任意维数，并且必须作为流形之外的一项独立附加结构来定义。用数学术语来说，底流形与（定义在每一点上的）内部向量空间的并集是一个纤维丛（fiber bundle），向量空间的每一个副本都称为“纤维”（fiber）（这与我们对切丛的定义完全一致）。

结构群与规范变换

除了底流形（对我们而言就是时空）和纤维，纤维丛定义中的另一项重要成分是“结构群”（structure group）：这是一个作用在纤维上的李群，它描述不同坐标片重叠处的纤维如何缝合在一起。我们不深入细节；四维时空中切丛的结构群一般是 GL$(4,\mathbf{R})$，即实可逆 $4\times 4$ 矩阵群；如果有洛伦兹度规，则可以把它约化为洛伦兹群 SO$(3,1)$。现在设想我们引入一个三维内部向量空间，并用普通旋转把各纤维缝合起来；这个新丛的结构群便是 SO$(3)$。生活在这个丛中的一个场可以记作 ${\varphi }^A(x^{\mu })$，其中 $A$ 从一取到三；在流形的每一点，它都是一个三维向量（一个内部向量，与时空无关）。我们可以随心所欲地选取纤维中的基；这意味着“物理量”在如下局域 SO(3) 变换下应当保持不变：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.145}\text{)}& {\varphi }^A(x^{\mu })\to {\varphi }^{A^{\prime }}(x^{\mu })=O^{A^{\prime }}{}_A(x^{\mu }){\varphi }^A(x^{\mu }),\end{array}$$

其中 $O^{A^{\prime }}{}_A(x^{\mu })$ 是一个依赖于时空的 SO(3) 矩阵。这样的变换称为规范变换（gauge transformation），在这些变换下不变的理论称为“规范理论”（gauge theory）。

规范协变导数

大体上说，要把物理量安排成在规范变换下不变并不困难。唯一的难处出现在考察偏导数 ${\partial }_{\mu }{\varphi }^A$ 时。因为矩阵 $O^{A^{\prime }}{}_A(x^{\mu })$ 依赖于时空，它会给偏导数的变换带来一个不想要的项。到这里，你应该已经能猜到解决方法了：引入一个联络，以修正变换律中的非齐次项。因此，我们把纤维丛上的联络定义为对象 $A_{\mu }{}^A{}_B$，它带有两个“群指标”和一个时空指标。在一般坐标变换（GCT）下，它作为一个单形式变换；在规范变换下，它则按下式变换：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.146}\text{)}& A_{\mu }{}^{A^{\prime }}{}_{B^{\prime }}=O^{A^{\prime }}{}_A{O}_{B^{\prime }}{}^B{A}_{\mu }{}^A{}_B-O_{B^{\prime }}{}^C{\partial }_{\mu }{O}^{A^{\prime }}{}_C.\end{array}$$

（请当心：我们的约定与粒子物理文献中的约定差异大得惊人，所以我连尝试把它们理顺都不打算做。）有了这条变换律，“规范协变导数”

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.147}\text{)}& D_{\mu }{\varphi }^A={\partial }_{\mu }{\varphi }^A+A_{\mu }{}^A{}_B{\varphi }^B\end{array}$$

在规范变换下就会以“张量式”的方式变换；欢迎你亲自检验。（在普通电磁学中，联络就是惯常的矢势。由于结构群 U(1) 是一维的，不需要任何指标。）

曲率、场强与 Wilson 回路

很明显，内部纤维丛上的这种联络概念与切丛上的联络关系极为密切，在我们一直讨论的正交标架图景中尤其如此。例如，变换律 (3.146) 与旋量联络的变换律 (3.134) 完全相同。我们还可以定义一个曲率张量，或称“场强”张量；它是一个二形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{3.148}\text{)}& F^A{}_B=\mathrm{d}{A}^A{}_B+A^A{}_C\wedge A^C{}_B,\end{array}$$

这与 (3.138) 精确对应。我们可以沿路径平行移动对象，也可以作出类似于平行传播子的构造；将一个向量沿闭合曲线平行移动一周所得矩阵的迹，称为“Wilson 回路”（Wilson loop）。

切丛与内部向量丛的区别

我们本来还可以继续发展切丛与内部向量丛之间的联系，但时间有限，我们另有要事要做。让我们转而用强调这两种构造之间的重要区别来结束本节。这一区别源自这样一个事实：切丛与底流形紧密相关，其他纤维丛则是事后附加上去的。说切空间 $p$ 点的一个向量“沿着”一条经过 $p$ 的路径指向，是有意义的；对于内部向量丛，这种说法却毫无意义。因此，内部空间中没有坐标基的对应物——沿曲线的偏导数与内部向量毫无关系。由此又可推出，内部空间中也没有类似于多重标架（vielbein）的对象来联系正交基与坐标基。尤其是，挠率张量只对切丛上的联络有定义，对任何规范理论联络都没有定义；可以把挠率看成多重标架的协变外导数，而内部丛上不存在这样的构造。你应当理解联络这一概念在不同用法之间的联系，同时不要走得过头。

---

← 四标架、自旋联络与结构方程 · 全书入口 · 等效原理与引力红移 →