06｜狭义相对论：为什么电场和磁场会混合

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麦克斯韦方程预言电磁波以固定速度

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$$

传播。狭义相对论要求所有惯性观察者都测得同一个真空光速 $c$。这会迫使时间和空间按照洛伦兹变换混合，也会迫使电荷与电流、电场与磁场相互混合。

1. 从光速不变推导洛伦兹变换

设惯性系 $S^{\prime }$ 相对 $S$ 沿 $+x$ 方向以速度 $v$ 匀速运动，并令两个坐标系在 $t=t^{\prime }=0$ 时原点重合。

空间和时间的均匀性要求坐标变换是线性的。$S^{\prime }$ 的原点满足 $x=vt$，并且在 $S^{\prime }$ 中始终有 $x^{\prime }=0$，所以 $x^{\prime }$ 必须含有因子 $x-vt$：

$$x^{\prime }=a(x-vt).$$

想象我们在玩一个拉扯弹性网格纸的游戏，既然空间的网格线是直的，那代表时间的那根轴也不能被弯折，所以时间也写成最一般的线性形式：

$$t^{\prime }=bt+dx.$$

用向右传播的光确定一个条件

从共同原点发出的向右光脉冲在 $S$ 中满足：

$$x=ct.$$

在 $S^{\prime }$ 中也必须满足 $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$。代入：

$$a(c-v)t=c(b+dc)t.$$

约去 $t$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1}\text{)}& a(c-v)=cb+d{c}^2.\end{array}$$

用向左传播的光确定另一个条件

向左光脉冲满足：

$$x=-ct,x^{\prime }=-c{t}^{\prime }.$$

代入变换：

$$a(-c-v)t=-c(b-dc)t.$$

整理：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2}\text{)}& a(c+v)=cb-d{c}^2.\end{array}$$

把式 $(1)$ 和式 $(2)$ 相加：

$$2ac=2cb,$$

所以：

$$b=a.$$

用式 $(1)$ 减去式 $(2)$：

$$-2av=2d{c}^2,$$

所以：

$$d=-\frac{av}{c^2}.$$

时间变换变成：

$$t^{\prime }=a(t-\frac{vx}{c^2}).$$

用逆变换确定系数 $a$

相对运动具有对称性。从 $S^{\prime }$ 看，$S$ 以速度 $-v$ 运动，所以逆变换应具有相同系数：

$$x=a(x^{\prime }+v{t}^{\prime }).$$

代入刚才得到的 $x^{\prime }$ 和 $t^{\prime }$：

这对任意 $x$ 都要成立，所以：

$$a^2(1-\frac{v^2}{c^2})=1.$$

定义：

$$\beta \equiv \frac{v}{c},\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}},$$

得到：

$$a=\gamma .$$

最终的洛伦兹变换是：

等价地：

2. 时空间隔为什么不变

计算：

加入 $y,z$ 后：

$$\boxed{c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2=c^2{t}^{\prime 2}-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}}.$$

定义四维位置：

$$x^{\mu }=(ct,x,y,z),$$

以及闵可夫斯基度规：

$${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1),$$

不变量可以写成：

$${\eta }_{\mu \nu }{x}^{\mu }{x}^{\nu }.$$

洛伦兹变换矩阵必须满足：

$$\boxed{{\mathrm{\Lambda }}^{\mathsf{T}}\eta \mathrm{\Lambda }=\eta }.$$

这就是它保持时空间隔不变的矩阵条件。就像你拿一把坚硬的尺子在桌面上随意平移旋转，无论怎么动，尺子上的刻度距离是不变的。这个矩阵条件就是确保我们在四维时空中做坐标“旋转”时，那把丈量时空的“尺子”永远不弯折的铁律。

3. 四维矢量

沿 $x$ 方向的洛伦兹变换矩阵为：

任何四维矢量都按：

$$V^{\prime \mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{V}^{\nu }$$

变换。因此：

你会发现，时间分量与平行于相对运动的空间分量发生了混合。这就像在逆风狂奔时，迎面吹来的风（空间上的相对运动）实实在在地改变了你对雨滴滴落快慢（时间）的感受，空间和时间就这样交织成了一张不可分割的网。

4. 电荷密度与电流密度为什么要组成四维电流

三维连续性方程是：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=0.$$

定义：

$$\boxed{J^{\mu }=(c\rho ,J_x,J_y,J_z)}.$$

四维散度为：

因此：

$$\boxed{{\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0}.$$

若 $J^{\mu }$ 是四维矢量，这条守恒定律在所有惯性系中具有相同形式。

电荷密度与电流怎样混合

对 $J^{\mu }$ 使用洛伦兹变换：

$$c{\rho }^{\prime }=\gamma (c\rho -\beta J_x),$$

所以：

$$\boxed{{\rho }^{\prime }=\gamma (\rho -\frac{v{J}_x}{c^2})}.$$

空间分量为：

$$\boxed{J_x^{\prime }=\gamma (J_x-v\rho )},$$$$J_y^{\prime }=J_y,J_z^{\prime }=J_z.$$

例如，一个参考系中电荷密度为零但存在电流：

$$\rho =0,J_x\ne 0.$$

在沿导线运动的另一个参考系中：

$${\rho }^{\prime }=-\gamma \frac{v{J}_x}{c^2},$$

一般会出现非零电荷密度。这就是相对论的奇妙之处：就像你原本只看到一条清澈流动的水流（纯电流），但当你顺着水流一起跑起来时，由于时空网格在你眼里发生了倾斜，原本纯粹的“流动”有一部分被挤压投影到了“原地堆积”上，于是你突然看到了电荷的源头。电荷分布与电荷流动，说到底只是同一道时空水流在不同坐标系下的不同显影而已。

5. 电场与磁场为什么也会混合

洛伦兹力为：

$$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{u}\times \mathbf{B}).$$

粒子速度 $\mathbf{u}$ 在不同惯性系中变化，力的分量也按相对论规律变化。要让洛伦兹力定律在所有惯性系中保持相同形式，$\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$ 必须一起变换。

把六个场分量装入反对称矩阵：

若它是二阶张量，则：

$$F^{\prime \mu \nu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }{\mathrm{\Lambda }}^{\nu }{}_{\beta }{F}^{\alpha \beta }.$$

下面计算两个分量，直接看到混合怎样发生。

推导 $E_y^{\prime }$

因为 $y$ 坐标不参与 boost，${\mathrm{\Lambda }}^2{}_{\beta }={\delta }^2{}_{\beta }$：

代入：

$$F^{02}=-\frac{E_y}{c},F^{12}=-B_z,$$

得到：

$$F^{\prime 02}=-\frac{\gamma }{c}(E_y-v{B}_z).$$

又因为 $F^{\prime 02}=-E_y^{\prime }/c$，所以：

$$\boxed{E_y^{\prime }=\gamma (E_y-v{B}_z)}.$$

推导 $B_z^{\prime }$

同理：

由于 $F^{\prime 12}=-B_z^{\prime }$：

$$\boxed{B_z^{\prime }=\gamma (B_z-\frac{v{E}_y}{c^2})}.$$

其他分量用同样的矩阵乘法得到。在这背后，电场和磁场就像是一枚挂在四维时空里不断旋转的风向标。当你站着不动时，你可能只看到它的一面（比如纯电场）；可一旦你跑起来，你的运动“撞”上了这个风向标，它的朝向在你的视野中发生了翻转，于是你不可避免地看到它同时展现出了磁场的面貌。

6. 沿 $x$ 方向 boost 的完整场变换

如果顺着你奔跑的正前方看去，这枚风向标的转轴本身是不会随着你的迎面冲刺而发生弯曲的，所以平行于相对运动方向的场分量保持不变：

$$\boxed{E_x^{\prime }=E_x,B_x^{\prime }=B_x}.$$

但当你转头看向侧面，视野就像是正在艰难地爬一道陡坡。原本纯粹的电场或者磁场，因为你的相对运动而被强行推挤混合在了一起，于是垂直方向上的分量就变成了这样：

用平行、垂直分解可以写得更紧凑：

$${\mathbf{E}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{E}}_{\parallel },{\mathbf{B}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{B}}_{\parallel },$$$$\boxed{{\mathbf{E}}_{⟂}^{\prime }=\gamma ({\mathbf{E}}_{⟂}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})},$$$$\boxed{{\mathbf{B}}_{⟂}^{\prime }=\gamma ({\mathbf{B}}_{⟂}-\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{E}}{c^2})}.$$

这一切揭示了一个极具震撼力的物理图景：一个观察者眼里安静悬浮的纯电场，在另一个跑动起来的观察者眼里，就像是平静的水面被快艇劈开，硬生生激荡出了磁场的漩涡。电场和磁场从来都不是两套独立的法则，它们只是同一个完整的“相对论电磁场”这个多面体，在不同时空网格下的不同投影罢了。

7. 两个洛伦兹不变量

虽然 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 分量会变化，下面两个组合在洛伦兹变换下保持不变：

$$\boxed{\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}={\mathbf{E}}^{\prime }\cdot {\mathbf{B}}^{\prime }},$$$$\boxed{E^2-c^2{B}^2=E^{\prime 2}-c^2{B}^{\prime 2}}.$$

它们后来会分别对应电磁场张量的缩并：

$$F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu },F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }.$$

这些不变量可以判断是否存在某个惯性系，使磁场或电场的某一部分消失。

8. 本篇结论

狭义相对论带来三条关键结论：

1. 光速不变导出洛伦兹变换；
2. 时间与空间会混合，所以 $\rho$ 与 $\mathbf{J}$ 要组成四维电流 $J^{\mu }$；
3. 电场与磁场也会混合，六个分量应组成一个四维反对称张量 $F^{\mu \nu }$。

下一篇会正式构造这个张量，并把四条麦克斯韦方程逐分量压缩成两条协变方程。

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