附录 C 子流形

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子流形直观上很容易理解：它是另一个流形的某个子集，其维数可以更低，而且通常确实更低。不过，随之而来的一定形式体系也并不意外。广义相对论中处处会遇到子流形，例如时空的边界、固定时刻的超曲面，以及较大空间在对称性作用下被叶分解后得到的各个空间，因此值得认真理解其机制。

考虑 $n$ 维流形 $M$、$m$ 维流形 $S$（$m\le n$），以及映射 $\varphi :S\to M$。依原书采用的 Wald 式术语，若 $\varphi$ 是 $C^{\mathrm{\infty }}$ 且一一对应，并且逆映射

$${\varphi }^{-1}:\varphi [S]\to S$$

也是 $C^{\mathrm{\infty }}$，就称像 $\varphi [S]$ 是 $M$ 的一个嵌入子流形（embedded submanifold）。若 $\varphi$ 只在局部一一对应、全局上未必如此——也就是说，$\varphi [S]$ 在 $M$ 中可能自交——原书把 $\varphi [S]$ 称为 $M$ 的浸入子流形（immersed submanifold）。未加修饰地谈到“子流形”时，本书设想的是嵌入情形。$n$ 维流形中的 $m$ 维子流形具有余维数（codimension）$n-m$。

定义与术语勘误：这一段已经应用作者的完整官方勘误。原印刷本把 ${\varphi }^{-1}$ 的条件误写成“一一对应”，正确条件是 $C^{\mathrm{\infty }}$；并把 $\varphi [S]$ 多次误排为 $\varphi [M]$。作者还说明，本书追随 Wald 的术语，与常见数学文献不同：本书所谓“浸入子流形”通常只称“浸入”；本书所谓“嵌入子流形”在许多数学文献中只称“浸入子流形”。数学文献中的“嵌入”还要求 $\varphi$ 在 $S$ 与其像之间给出同胚，从而排除像任意接近自交的情形。后文保留本书术语，阅读其他资料时应留意这一区别。

如附录 A 所述，映射 $\varphi :S\to M$ 可以把 $(k,0)$ 型张量从 $S$ 推前到 $M$，也可以把 $(0,l)$ 型张量从 $M$ 拉回到 $S$。特别地，给定点 $q\in S$ 及其像 $\varphi (q)\in M$，切空间

$$T_{\varphi (q)}\varphi [S]$$

自然地等同于 $n$ 维向量空间 $T_{\varphi (q)}M$ 的一个 $m$ 维子空间。从“向量是沿曲线的方向导数”这一概念出发，这件事完全合理：$S$ 中任意曲线 $\gamma :\mathbb{R}\to S$，经复合

$$\varphi \circ \gamma :\mathbb{R}\to M$$

都会定义 $M$ 中的一条曲线，进而定义一个方向导数。类似地，把 $M$ 中的微分形式限制为只作用在子空间 $T_{\varphi (q)}\varphi [S]$ 内的向量上，就能将它们拉回到 $S$。

还有一种定义子流形的方法：把它看成一组函数取某组指定常值的位置。$M$ 的一个 $m$ 维子流形可以由 $n-m$ 个函数 $f^a(x)$ 指定，其中 $a=1,\dots ,n-m$；它是所有满足下列条件的点 $x$ 的集合：

这些函数应当非退化，使所得子流形确实具有维数 $m$。以这种方式定义的子流形是 $M$ 的实际子集，等价于前一定义中的 $\varphi [S]$。为方便起见，后面通常会淡化原空间与它作为子流形之嵌入像之间的区别，直接称其为“子流形 $S$”。

要看清两种定义的关系，设想在 $\varphi [S]\subset M$ 的一个邻域中构造坐标

$$x^{\mu }=\{f^a,y^{\alpha }\},$$

其中包括 $n-m$ 个函数 $f^a$ 和另外 $m$ 个函数 $y^{\alpha }$。把 $y^{\alpha }$ 拉回后，它们便可作为 $S$ 上的坐标；映射 $\varphi :S\to M$ 简单地写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{C.2}\text{)}& \varphi :(y^{\alpha })⟼(f_{\ast }^a,y^{\alpha }).\end{array}$$

二维球面 $S^2$ 是一个简单例子。我们把它定义为 ${\mathbb{R}}^3$ 中距原点为单位距离的点集。在极坐标 $(r,\theta ,\varphi )$ 中，这等价于要求 $r=1$；坐标 $r$ 扮演函数 $f(x)$ 的角色，$\theta$ 和 $\varphi$ 则成为 $S^2$ 上的诱导坐标。

式（B.3）已经提到，指定一个向量场会产生一族积分曲线，而这些曲线就是一维子流形。可以用若干向量场推广这个构造，以定义更高维的子流形。设有 $n$ 维流形 $M$、$m$ 维子流形 $S$，以及 $p$ 个线性无关的向量场 $V_{(a)}^{\mu }$，其中 $p\ge m$。这些向量场“拼合起来定义 $S$”的含义是：每个向量在处处都与 $S$ 相切，使 $V_{(a)}^{\mu }$ 张成每个切空间 $T_{p}S$。此时称 $S$ 是这些向量场的积分子流形。

任意给定的一组向量场未必真能拼合成这样的子流形。Frobenius 定理给出了充要条件：一组向量场 $V_{(a)}^{\mu }$ 能拼合成积分子流形，当且仅当任意两个向量场的对易子仍位于这些 $V_{(a)}^{\mu }$ 所张成的空间，即

$$\begin{array}{}\text{(}\text{C.3}\text{)}& [V_{(a)},V_{(b)}{]}^{\mu }={\alpha }^c{V}_{(c)}^{\mu }\end{array}$$

对某组系数 ${\alpha }^c(x)$ 成立。用群论语言说，这些向量场形成一个 Lie 代数。

这里不给出证明，不过这个结果在数学上应当颇为自然。若向量场要拼合成子流形 $S$，它们必须处处保持与 $S$ 相切。对易子 $[V,W]$ 等于 Lie 导数 ${\mathcal{L}}_{V}W$，度量的是沿 $V$ 前进时 $W$ 怎样变化。若这个 Lie 导数离开了各向量张成的空间，$W$ 就开始伸出子流形 $S$。这类例子很常见：第 5.2 节说明了，与球对称性相关的三个 Killing 向量怎样把三维空间叶分解成二维球面。请注意，积分子流形的维数可以小于向量场的数目。关于 Frobenius 定理的进一步讨论，可参见 Schutz（1980）。

Frobenius 定理还有一种很有意思的微分形式表述。先注意，任意 $p$ 个线性无关的一形式 ${\omega }_{\mu }^{(a)}$，都会在 $T_{p}M$ 中定义一个 $(n-p)$ 维向量子空间，称为这组形式的零化子（annihilator）；它由满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{C.4}\text{)}& {\omega }_{\mu }^{(a)}{V}^{\mu }=0\end{array}$$

的向量 $V^{\mu }\in T_{p}M$ 组成，而且这个条件对所有 ${\omega }_{\mu }^{(a)}$ 都成立。因此，可以把问题换一种方式提出：一组一形式 ${\omega }_{\mu }^{(a)}$ 所定义的一组向量子空间，能否拼合成一组子流形的切空间？

文字勘误（C.4 之后）：作者的官方勘误指出，这里应说“拼合成一组子流形”，上文已经采用修正后的说法。

要理解这种拼合何时成立，回忆（C.1）把 $m$ 维子流形定义为 $p=n-m$ 个函数 $f^a(x)$ 取常值的地方。常值函数的外微分 $(d{f}^a{)}_{\mu }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{f}^a$ 为零；若某函数只沿一个子流形保持常数，则

$$\begin{array}{}\text{(}\text{C.5}\text{)}& d{f}^a(V)=V^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{f}^a=0\end{array}$$

对所有与该子流形相切的向量 $V^{\mu }\in T_{p}S$ 成立。反过来也成立：若向量 $V^{\mu }$ 被所有梯度 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{f}^a$ 零化，它就必定与相应子流形 $S$ 相切。

因此，若一组一形式全都是恰当形式，${\omega }_{\mu }^{(a)}={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{f}^a$，那么它们的零化子必定定义子流形，也就是 $f^a$ 保持常数的那些子流形。不过，若 $p$ 个一形式零化某个子空间，那么原来这些形式的任意 $p$ 个线性组合也零化同一个子空间。由此定义：若一组一形式 ${\omega }_{\mu }^{(a)}$ 的每个成员都能表示成一组恰当形式的线性组合，就称它们是曲面形成的（surface-forming）。也就是说，存在函数 $g^a{}_b(x)$ 与 $f^a(x)$，使

$$\begin{array}{}\text{(}\text{C.6}\text{)}& {\omega }_{\mu }^{(a)}=\sum _b{g}^a{}_b{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{f}^b.\end{array}$$

面对一组给定的一形式时，未必容易判断是否存在满足此条件的函数。Frobenius 定理的对偶表述正好解决这个问题：一组一形式 ${\omega }_{\mu }^{(a)}$ 是曲面形成的，当且仅当其零化子中的每一对向量，也都被这些一形式的外微分 $d{\omega }^{(a)}$ 零化。

换言之，${\omega }_{\mu }^{(a)}$ 满足（C.6），当且仅当对任意一对向量 $V^{\mu }$、$W^{\mu }$，只要对所有 $a$ 都有

$${\omega }_{\mu }^{(a)}{V}^{\mu }=0,{\omega }_{\mu }^{(a)}{W}^{\mu }=0,$$

就同时有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{C.7}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{[\mu }{\omega }_{\nu ]}^{(a)}{V}^{\mu }{W}^{\nu }=0.\end{array}$$

满足这个条件的一组形式有时称为“闭的”，这显然推广了单个形式为闭形式的概念；对单个形式而言，闭意味着其外微分为零。这里不证明 Frobenius 定理的对偶表述与向量场表述等价，不过证明显然会涉及让这一组形式作用在向量场对易子（C.3）上。

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