度量、正规坐标与偏导数

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曲空间中的张量运算

我们在平直空间中定义的大多数张量运算，在更一般的情形下都保持不变，例如缩并、对称化等。不过有三个重要的例外：偏导数、度量和 Levi-Civita 张量。先来看偏导数。

张量的偏导数通常不再是张量

一个令人遗憾的事实是，张量的偏导数一般不会产生新的张量。我们已经看到，标量的偏导数，也就是梯度，确实是一个 $(0,1)$ 型张量；但更高阶张量的偏导数不具有张量性。考察一形式的偏导数 ${\partial }_{\mu }{W}_{\nu }$，并变换到一个新坐标系，就能看出这一点：

如果 ${\partial }_{\mu }{W}_{\nu }$ 按照 $(0,2)$ 型张量变换，最后一行中的第二项就不该出现。可以看到，它的出现是因为变换矩阵的导数不为零；在平直空间的洛伦兹变换中，这个导数为零。

外导数仍是合法的张量算子

另一方面，外导数算子 $\mathrm{d}$ 作用于一个 $p$-形式时，确实会得到一个反对称的 $(0,p+1)$ 型张量。对 $p=1$，这可以从 (2.26) 看出；造成非张量行为的那一项可以写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.27}\text{)}& W_{\nu }\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}=W_{\nu }\frac{{\partial }^2{x}^{\nu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}\partial x^{{\nu }^{\prime }}}.\end{array}$$

由于偏导数可交换，这个表达式关于 ${\mu }^{\prime }$ 与 ${\nu }^{\prime }$ 对称。而外导数定义为反对称化的偏导数，所以这一项消失（对称表达式的反对称部分为零）。剩下的部分正好满足正确的张量变换定律；推广到任意 $p$ 也很直接。因此，外导数是一个合法的张量算子。不过，它无法充分替代偏导数，因为它只对微分形式有定义。下一节将定义协变导数，可以把它看成偏导数在任意流形上的推广。

度量张量

逆度量与度量的作用

度量张量在弯曲空间中极为重要，因此使用一个新符号 $g_{\mu \nu }$ 表示它（${\eta }_{\mu \nu }$ 则专门保留给闵可夫斯基度量）。对 $g_{\mu \nu }$ 的分量几乎没有限制，只要求它是一个对称的 $(0,2)$ 型张量。通常还要求它非退化，也就是行列式 $g=|g_{\mu \nu }|$ 不为零。这样就可以通过下式定义逆度量 $g^{\mu \nu }$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.28}\text{)}& g^{\mu \nu }{g}_{\nu \sigma }={\delta }_{\sigma }^{\mu }.\end{array}$$

$g_{\mu \nu }$ 的对称性意味着 $g^{\mu \nu }$ 同样对称。和狭义相对论中一样，度量及其逆可以用来升降张量的指标。

要全面体会度量的全部作用，还需要学习数周；不过为了先获得一些直观印象，可以列出 $g_{\mu \nu }$ 的各种用途：(1) 度量提供“过去”和“未来”的概念；(2) 度量允许计算路径长度和固有时；(3) 度量确定两点之间的“最短距离”（因而也确定测试粒子的运动）；(4) 度量取代牛顿引力场 $\varphi$；(5) 度量提供局部惯性系的概念，从而赋予“无转动”以意义；(6) 度量通过定义光速来确定因果关系，任何信号都无法超过这一速度传播；(7) 度量取代牛顿力学中传统的三维欧氏点积；等等。显然，这些想法彼此并非全都独立，但已经足以让我们感受到这个张量的重要性。

线元与坐标变换

在狭义相对论中讨论路径长度时，我们略显草率地引入了线元 $d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$，并用它求路径长度。如今我们知道 $\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 实际上是基对偶向量，于是交替使用“度量”和“线元”这两个词也就很自然，并写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.29}\text{)}& d{s}^2=g_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }.\end{array}$$

（若要完全一致，应当把它写成“$g$”，有时我们确实会这样做；不过更多时候，$g$ 用来表示行列式 $|g_{\mu \nu }|$。）例如，我们知道三维空间在笛卡尔坐标下的欧氏线元为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.30}\text{)}& d{s}^2=(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2+(\mathrm{d}z{)}^2.\end{array}$$

现在可以变换到任意选定的坐标系。例如，在球坐标中有

由此直接得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.32}\text{)}& d{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.\end{array}$$

度量分量显然与笛卡尔坐标中的形式不同，但空间的全部性质都保持不变。

也许现在正适合指出，大多数参考资料都不会细致地区分“$dx$”和“$\mathrm{d}x$”：前者是无穷小位移的非正式概念，后者则是由坐标函数的梯度给出的严格基一形式。事实上，我们的记号“$d{s}^2$”既不表示某个量的外导数，也不表示某个量的平方；它只是度量张量的传统简写。另一方面，“$(\mathrm{d}x{)}^2$”明确表示 $(0,2)$ 型张量 $\mathrm{d}x\otimes \mathrm{d}x$。

二维球面的度量

二维球面是弯曲空间的一个好例子，可以把它看成 ${\mathbf{R}}^3$ 中所有到原点距离为 1 的点的轨迹。$(\theta ,\varphi )$ 坐标系中的度量，可以通过在 (2.32) 中令 $r=1$、$\mathrm{d}r=0$ 得到：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.33}\text{)}& d{s}^2=\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.\end{array}$$

这与把 $ds$ 解释为无穷小长度完全一致，如图所示。

图 2.18：球面上沿 $\theta$ 与 $\phi$ 方向的无穷小长度共同给出线元。

我们将会看到，度量张量包含描述流形曲率所需的全部信息（至少在黎曼几何中如此；实际上我们还会提到更一般的处理方式）。在闵可夫斯基空间中，可以选择使度量分量为常数的坐标；但曲率是否存在，显然比“度量是否依赖坐标”更加微妙。前面的例子已经表明，即使在平直欧氏空间中，采用球坐标后，度量也会成为 $r$ 和 $\theta$ 的函数。稍后我们会看到，度量分量为常数足以保证空间平直；事实上，在任意平直空间上，总存在一个令度量为常数的坐标系。但我们未必愿意在这种坐标系中工作，甚至可能不知道怎样找到它。因此，我们需要对曲率作出更精确的刻画，后文会引入这种刻画。

度量的典范形式

将 $g_{\mu \nu }$ 化为其典范形式（canonical form），可以得到一种很有用的度量刻画。在这种形式下，度量分量变为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.34}\text{)}& g_{\mu \nu }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(-1,-1,\dots ,-1,+1,+1,\dots ,+1,0,0,\dots ,0),\end{array}$$

其中“diag”表示以给定元素为对角元的对角矩阵。若 $n$ 是流形维数，$s$ 是典范形式中 $+1$ 的个数，$t$ 是 $-1$ 的个数，那么 $s-t$ 称为度量的号差（signature，即正号与负号数量之差），$s+t$ 称为度量的秩（rank，即非零特征值的数量）。如果度量连续，那么度量张量场在每一点的秩和号差都相同；如果度量非退化，其秩就等于维数 $n$。本课程始终处理连续且非退化的度量。

如果全部符号为正（$t=0$），度量称为欧氏的或黎曼的（也可以直接称“正定的”）；如果只有一个负号（$t=1$），则称为洛伦兹的或伪黎曼的；任何同时含有若干 $+1$ 和若干 $-1$ 的度量都称为“不定的”。（所以“欧氏”一词有时意味着空间平直，有时没有这层含义，但它总意味着典范形式严格为正。这个术语不够理想，却已成为标准用法。）广义相对论所关心的时空具有洛伦兹度量。

黎曼正规坐标与局部洛伦兹标架

我们还没有证明度量总能化为典范形式。事实上，在某个点 $p\in M$ 总能做到这一点，但一般只能在这个单独的点做到，无法在 $p$ 的任意邻域内都做到。其实还可以再前进一步：在任意点 $p$，都存在一个坐标系，使得 $g_{\mu \nu }$ 在该点取典范形式，并且所有一阶导数 ${\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }$ 都消失（但无法让所有二阶导数 ${\partial }_{\rho }{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }$ 同时消失）。这样的坐标称为黎曼正规坐标（Riemann normal coordinates），相应的基向量构成一个局部洛伦兹标架（local Lorentz frame）。注意，在黎曼正规坐标（简称 RNC）中，$p$ 点的度量“精确到一阶”都像平直空间的度量。这就是“足够小的时空区域看起来像平直的闵可夫斯基空间”这一想法的严格含义。（此外，同时在 $M$ 的每一点构造一组使度量取典范形式的基向量并不困难；问题在于，这些基一般不是坐标基，也无法变成坐标基。）

局部平直性定理的证明思路

这里不讨论这一陈述的详细证明；可以在 Schutz 一书第 158—160 页找到，那里称它为“局部平直性定理”。（他还把局部洛伦兹标架称为“瞬时共动参考系”，momentarily comoving reference frames，简称 MCRF。）不过，对四维洛伦兹度量这一具体情形，了解证明梗概仍然很有用。其思路是考察度量的变换定律

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.35}\text{)}& g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}{g}_{\mu \nu },\end{array}$$

并把等式两边都按待求坐标 $x^{{\mu }^{\prime }}$ 展开为 Taylor 级数。旧坐标 $x^{\mu }$ 的展开形如

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.36}\text{)}& x^{\mu }={\left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}\right)}_p{x}^{{\mu }^{\prime }}+\frac{1}{2}{\left(\frac{{\partial }^2{x}^{\mu }}{\partial x^{{\mu }_1^{\prime }}\partial x^{{\mu }_2^{\prime }}}\right)}_p{x}^{{\mu }_1^{\prime }}{x}^{{\mu }_2^{\prime }}+\frac{1}{6}{\left(\frac{{\partial }^3{x}^{\mu }}{\partial x^{{\mu }_1^{\prime }}\partial x^{{\mu }_2^{\prime }}\partial x^{{\mu }_3^{\prime }}}\right)}_p{x}^{{\mu }_1^{\prime }}{x}^{{\mu }_2^{\prime }}{x}^{{\mu }_3^{\prime }}+\cdots ,\end{array}$$

其他各项也按同样方式展开。（为简单起见，我们已令 $x^{\mu }(p)=x^{{\mu }^{\prime }}(p)=0$。）随后使用一种极其示意性的记法，把 (2.35) 展开到二阶，得到

自由度计数

我们可以让等式两边 $x^{\prime }$ 的同阶项彼此相等。因此，$g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}(p)$ 的分量——描述一个对称双指标张量共需 10 个数——由矩阵 $(\partial x^{\mu }/\partial x^{{\mu }^{\prime }}{)}_p$ 决定。这是一个不受约束的 $4\times 4$ 矩阵，因而有 16 个可自由选择的数。仅从自由度数量来看，这显然足以把 $g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}(p)$ 的 10 个数化为典范形式。（事实上还存在一些限制——仔细完成整个过程会发现，例如号差和秩无法改变。）余下的 6 个自由度，恰好可以解释为洛伦兹群的 6 个参数；我们知道这些变换会保持典范形式不变。

在一阶，我们有导数 ${\partial }_{{\sigma }^{\prime }}{g}_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}(p)$：10 个分量分别有 4 个方向的导数，总共 40 个数。不过，从 (2.37) 的右边可以看出，现在多出了选择 $({\partial }^2{x}^{\mu }/\partial x^{{\mu }_1^{\prime }}\partial x^{{\mu }_2^{\prime }}{)}_p$ 的自由。在这组数中，指标 ${\mu }_1^{\prime }$ 与 ${\mu }_2^{\prime }$ 有 10 种独立取法（由于偏导数可交换，它关于两者对称），而 $\mu$ 有 4 种取法，总计 40 个自由度。这恰好足以决定度量的全部一阶导数，因而可以把它们全都设为零。

然而到了二阶，我们要处理 ${\partial }_{{\rho }^{\prime }}{\partial }_{{\sigma }^{\prime }}{g}_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}(p)$；它既关于 ${\rho }^{\prime }$ 与 ${\sigma }^{\prime }$ 对称，也关于 ${\mu }^{\prime }$ 与 ${\nu }^{\prime }$ 对称，所以共有 $10\times 10=100$ 个数。可供进一步选择的自由度包含在 $({\partial }^3{x}^{\mu }/\partial x^{{\mu }_1^{\prime }}\partial x^{{\mu }_2^{\prime }}\partial x^{{\mu }_3^{\prime }}{)}_p$ 中。它关于三个下指标对称，给出 20 种可能，再乘以上指标的 4 种取法，一共有 80 个自由度——比让度量的二阶导数全都为零所需的数量少 20 个。因此，二阶导数确实无法全部消去；对平直性的偏离必然由代表度量张量场二阶导数的 20 个坐标无关自由度来衡量。稍后用 Riemann 张量刻画曲率时，我们会看到这是怎样实现的；Riemann 张量恰好有 20 个独立分量。

Levi-Civita 对象

既然已经放弃平直空间的假设，我们还需要对原有张量知识作最后一处修改，它涉及 Levi-Civita 张量 ${ϵ}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$。回想一下，这个对象在平直空间中的版本现在记为 ${\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$，其定义为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.38}\text{)}& {\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}=\{\begin{array}{c}+1\mathrm{i}\mathrm{f}{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}01\cdots (n-1),\hfill \\ -1\mathrm{i}\mathrm{f}{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}01\cdots (n-1),\hfill \\ 0\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}.\hfill \end{array}\end{array}$$

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