附录 B 微分同胚与 Lie 导数

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本附录继续上一附录的探索，现在专门研究两个流形其实相同的情形。到目前为止，我们一直强调，映射 $\varphi :M\to N$ 可以把某些对象拉回（A.9），把另一些对象推前（A.10）。这两个方向一般不能同时成立，根源在于 $\varphi$ 未必可逆。若 $\varphi$ 可逆，并且 $\varphi$ 与 ${\varphi }^{-1}$ 都光滑——下文始终默认这一点——那么它就在 $M$ 与 $N$ 之间定义了一个微分同胚（diffeomorphism）。只有当 $M$ 与 $N$ 是同一个抽象流形时，这才可能发生；事实上，两个流形“相同”的定义正是它们之间存在微分同胚。

微分同胚的妙处在于，可以同时利用 $\varphi$ 和 ${\varphi }^{-1}$ 把张量从 $M$ 移到 $N$，从而为任意型张量定义推前和拉回。具体说，设 $M$ 上有一个 $(k,l)$ 型张量场 $T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}$，定义其推前为

其中，${\omega }^{(i)}$ 是 $N$ 上的一形式，$V^{(i)}$ 是 $N$ 上的向量。用分量表示，定义变为

逆矩阵 $\partial x^{\nu }/\partial y^{\beta }$ 可以合法地出现在这里，正是因为 $\varphi$ 可逆。当然，我们也能用显然的方式定义拉回；不过没有必要另外写一组公式，因为 ${\varphi }^{\ast }$ 的拉回与经由逆映射的推前 $[{\varphi }^{-1}{]}_{\ast }$ 相同。

现在可以解释微分同胚与坐标变换的关系：它们是完成同一件事的两种方式。可以把微分同胚称为“主动坐标变换”，把传统坐标变换称为“被动坐标变换”。考虑一个 $n$ 维流形 $M$，其坐标函数为 $x^{\mu }:M\to {\mathbb{R}}^n$。改变坐标时，我们可以直接引入新函数 $y^{\mu }:M\to {\mathbb{R}}^n$，也就是“保持流形上的点不动，改变坐标映射”；也可以引入微分同胚 $\varphi :M\to M$，此时新坐标就是拉回 $({\varphi }^{\ast }x{)}^{\mu }:M\to {\mathbb{R}}^n$，也就是“移动流形上的点，再计算新点的坐标”。

图 B.1 展示了这两种视角。按照这个意义，式（B.2）就是张量变换律，只是换了一个观察角度。

图 B.1　由微分同胚 $\varphi :M\to M$ 诱导的坐标变换。

微分同胚允许我们拉回和推前任意张量，因此也提供了另一种比较流形上不同点处张量的方法。给定微分同胚 $\varphi :M\to M$ 和张量场 $T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}(x)$，可以比较点 $p$ 处的张量值与

$${\varphi }^{\ast }[T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}(\varphi (p))],$$

也就是把 $\varphi (p)$ 处的张量值拉回到 $p$ 之后所得的值。这启发我们在张量场上定义另一类导数算子，用它描述张量沿微分同胚之流的变化率。

为此，一个离散的微分同胚还不够；我们需要一族单参数微分同胚 ${\varphi }_t$。可以把它看成光滑映射

$$\mathbb{R}\times M\to M,$$

使得对每个 $t\in \mathbb{R}$ 都有一个微分同胚 ${\varphi }_t$，并满足

$${\varphi }_s\circ {\varphi }_t={\varphi }_{s+t}.$$

最后这个条件蕴含 ${\varphi }_0$ 是恒等映射。

单参数微分同胚族可以看成由向量场产生，反过来也成立。观察点 $p$ 在整族 ${\varphi }_t$ 作用下的运动，它会描出 $M$ 中的一条曲线；对 $M$ 中每个点都这样做，这些曲线便填满整个流形，不过在微分同胚具有不动点的地方可能出现退化。取每条曲线在 $t=0$ 时的切向量，就定义出一个向量场 $V^{\mu }(x)$。图 B.2 给出了 $S^2$ 上的例子：

$${\varphi }_t(\theta ,\varphi )=(\theta ,\varphi +t).$$

也可以反向进行这个构造，从任意向量场定义一族单参数微分同胚。给定 $V^{\mu }(x)$，把该向量场的积分曲线定义为满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.3}\text{)}& \frac{d{x}^{\mu }}{dt}=V^{\mu }\end{array}$$

的曲线 $x^{\mu }(t)$。这个方程看起来很熟悉，不过这里的理解方向与惯常用法相反：向量已经给定，我们由它来定义曲线。只要没有发生撞上流形边界之类的问题，（B.3）的解就一定存在；证明的要点，是找到一套坐标，把问题化为常微分方程基本定理的情形。

图 B.2　二维球面上的一个微分同胚：绕其轴旋转。每条纬线都是相应向量场的一条积分曲线，箭头表示 ${\varphi }_t$ 的流动方向。

微分同胚 ${\varphi }_t$ 表示“沿积分曲线流动”，与之关联的向量场称为该微分同胚的生成元。这里有一个容易混淆的用词：向量场及其积分曲线也会出现在类光超曲面的语境中，届时被称作“生成元”的是曲线，而非向量场。初等物理里其实一直在使用积分曲线，只是通常不这样称呼。例如，磁体周围的铁屑勾勒出的“磁通线”，正是磁场向量 $\mathbf{B}$ 的积分曲线。

给定向量场 $V^{\mu }(x)$，我们便有一族由 $t$ 参数化的微分同胚，可以追问：沿积分曲线前进时，一个张量改变得有多快。对每个 $t$，把张量拉回到 $p$ 后的值减去它在 $p$ 处的原值，定义

右端两项都是点 $p$ 处的张量，如图 B.3 所示。于是，张量沿向量场的 Lie 导数定义为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.5}\text{)}& {\mathcal{L}}_V{T}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}=\underset{t\to 0}{lim}\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}_t{T}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}}{t}\right).\end{array}$$

Lie 导数把 $(k,l)$ 型张量场映成 $(k,l)$ 型张量场，并且定义显然与坐标无关。这个定义本质上就是把普通导数的常规定义用到张量的分量函数上，因此它具有线性：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.6}\text{)}& {\mathcal{L}}_V(aT+bS)=a{\mathcal{L}}_{V}T+b{\mathcal{L}}_{V}S,\end{array}$$

并满足 Leibniz 法则：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.7}\text{)}& {\mathcal{L}}_V(T\otimes S)=({\mathcal{L}}_{V}T)\otimes S+T\otimes ({\mathcal{L}}_{V}S),\end{array}$$

其中 $S$ 与 $T$ 是张量，$a$ 与 $b$ 是常数。Lie 导数其实比协变导数更原始，因为它不要求预先指定联络，当然，它需要给定一个向量场。稍加思考就能看出，在函数上它退化为普通方向导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.8}\text{)}& {\mathcal{L}}_{V}f=V(f)=V^{\mu }{\partial }_{\mu }f.\end{array}$$

图 B.3　沿向量场积分曲线的张量变化率，通过以下方式计算：把点 $p$ 处的原张量 $T(p)$，与点 ${\varphi }_t(p)$ 处的 $T$ 作比较；后一个张量先由 ${\varphi }_t^{\ast }$ 拉回到 $p$。

勘误（图 B.3）：作者的官方勘误指出，原图题第二行末尾应为 “$T$ at a point ${\varphi }_t(p)$”；上面的中文已经按此修正。

为了用熟悉的运算表达 Lie 导数对张量的作用，选取一套适应问题的坐标会很方便。具体地，采用坐标

$$x^{\mu }=(x^1,\dots ,x^n),$$

使 $x^1$ 成为沿积分曲线的参数，其余坐标任意选取。此时向量场为

$$V=\frac{\partial }{\partial x^1},V^{\mu }=(1,0,0,\dots ,0).$$

这套坐标的妙处在于，${\varphi }_t$ 的微分同胚等价于从 $x^{\mu }$ 到

$$y^{\mu }=(x^1+t,x^2,\dots ,x^n)$$

的坐标变换。因此，由（A.6）可知，拉回矩阵就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.9}\text{)}& ({\varphi }_t^{\ast }{)}_{\mu }{}^{\nu }={\delta }_{\mu }{}^{\nu },\end{array}$$

而把张量从 ${\varphi }_t(p)$ 拉回到 $p$ 后，其分量就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.10}\text{)}& \begin{array}{r}{\varphi }_t^{\ast }[T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}({\varphi }_t(p))]=T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}(x^1+t,x^2,\dots ,x^n).\end{array}\end{array}$$

勘误（B.9–B.10）：原印刷本把这两个拉回符号的星号排在下方；依作者官方勘误，这里统一使用上标星号 ${\varphi }_t^{\ast }$。

在这套坐标中，Lie 导数变成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.11}\text{)}& {\mathcal{L}}_V{T}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}=\frac{\partial }{\partial x^1}{T}^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l},\end{array}$$

特别地，向量场 $U^{\mu }(x)$ 的 Lie 导数为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.12}\text{)}& {\mathcal{L}}_V{U}^{\mu }=\frac{\partial U^{\mu }}{\partial x^1}.\end{array}$$

这个表达式显然没有把协变性直接显露出来。不过我们知道，对易子 $[V,U]$ 是定义良好的张量，而且在当前坐标系中

所以，在这套坐标中，$U$ 关于 $V$ 的 Lie 导数与 $V$、$U$ 的对易子具有相同分量；二者都是向量，于是在任意坐标系中都相等：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.14}\text{)}& {\mathcal{L}}_V{U}^{\mu }=[V,U{]}^{\mu }.\end{array}$$

立即可得 ${\mathcal{L}}_{V}U=-{\mathcal{L}}_{U}V$。正因为式（B.14），对易子有时也称为 Lie 括号（Lie bracket）。

为了推导 ${\mathcal{L}}_V$ 对一形式 ${\omega }_{\mu }$ 的作用，先考察它对标量 ${\omega }_{\mu }{U}^{\mu }$ 的作用，其中 $U^{\mu }$ 是任意向量场。首先利用 Lie 导数作用在标量上时退化为向量本身的作用：

再对原标量使用 Leibniz 法则：

令这两个表达式相等，并要求等式对任意 $U^{\mu }$ 成立，可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.17}\text{)}& {\mathcal{L}}_V{\omega }_{\mu }=V^{\nu }{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu }+({\partial }_{\mu }{V}^{\nu }){\omega }_{\nu }.\end{array}$$

与对易子的定义相同，这个表达式完全协变，只是形式上没有立即显出这一点。

用类似步骤，可以定义任意张量场的 Lie 导数。结果为

尽管外观上不明显，这个表达式仍然协变。若希望使用一眼就能看出张量性的等价形式，可以写成

其中 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }$ 可以是任意对称、无挠的协变导数，当然也包括由度规导出的协变导数。若展开（B.19），所有含联络系数的项都会抵消，只留下（B.18）。Lie 导数的这两种公式在不同场合都很有用。一个尤其重要的例子是度规的 Lie 导数：

也就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.21}\text{)}& \boxed{{\mathcal{L}}_V{g}_{\mu \nu }=2{\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{V}_{\nu )}}.\end{array}$$

这里的 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }$ 是由 $g_{\mu \nu }$ 导出的协变导数。

下面把这些思想放进广义相对论的语境。人们经常宣称 GR 是一种“微分同胚不变”的理论。其含义是：若用带有度规 $g_{\mu \nu }$ 和物质场 ${\psi }^i$ 的流形 $M$ 表示宇宙，并取微分同胚 $\varphi :M\to M$，那么

$$(M,g_{\mu \nu },\psi )\text{与}(M,{\varphi }^{\ast }{g}_{\mu \nu },{\varphi }^{\ast }\psi )$$

表示同一个物理情形。微分同胚就是主动坐标变换，所以这也可以视作一种较高阶的说法：理论具有坐标不变性。

这个陈述虽然正确，却很容易引起误解，因为它传递的信息其实很少。任何多少像样的物理理论都具有坐标不变性，包括基于狭义相对论或 Newton 力学的理论；GR 在这方面并不独特。人们谈到 GR 的微分同胚不变性时，通常真正想到的是两个密切相关的概念之一：理论不带“先验几何”，并且时空没有优先坐标系。

第一点来自度规是动力学变量这一事实；联络、体积元等也随之成为动力学对象。与经典力学或 SR 不同，没有任何几何结构事先给定。因此，我们无法固定在一套适配某些绝对几何元素的坐标中，以此简化所有问题。这迫使我们格外谨慎：GR 中两个表面上不同的物质—度规构型，可能由微分同胚相连，因而其实是“同一个”构型。在量子引力的路径积分方法里，我们希望对所有可能构型求和，此时必须避免重复计数，让物理上不可区分的构型贡献多次。相比之下，SR 或 Newton 力学具有一组优先坐标，因而免除了这类歧义。

“GR 没有优先坐标系”常被含混地改说成“GR 坐标不变”“一般协变”或“微分同胚不变”。这些说法都成立，但前一事实包含的物理内容更多。

另一方面，微分同胚不变性也能发挥实际作用。回忆一下，引力与一组物质场 ${\psi }^i$ 耦合时，完整作用量是 GR 的 Hilbert 作用量与物质作用量之和：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.22}\text{)}& S=\frac{1}{16\pi G}{S}_H[g_{\mu \nu }]+S_M[g_{\mu \nu },{\psi }^i].\end{array}$$

单独考察时，Hilbert 作用量 $S_H$ 具有微分同胚不变性；若总作用量要保持不变，物质作用量 $S_M$ 也必须具有这一性质。微分同胚下 $S_M$ 的变分可以写为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.23}\text{)}& \delta S_M=\int d^{n}x\frac{\delta S_M}{\delta g_{\mu \nu }}\delta g_{\mu \nu }+\int d^{n}x\frac{\delta S_M}{\delta {\psi }^i}\delta {\psi }^i.\end{array}$$

这里并未考虑场的任意变分，只考虑由微分同胚产生的变分。不过，物质运动方程告诉我们，$S_M$ 关于 ${\psi }^i$ 的变分对任意 $\delta {\psi }^i$ 都为零，因为作用量的引力部分不含物质场。因此，对微分同胚不变理论，（B.23）右端第一项也必须为零。若微分同胚由向量场 $V^{\mu }(x)$ 生成，度规的无穷小变化就是它沿 $V^{\mu }$ 的 Lie 导数。由（B.20），

令 $\delta S_M=0$，便有

由于 $\delta S_M/\delta g_{\mu \nu }$ 已经对称，这里可以去掉 ${\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{V}_{\nu )}$ 的对称化符号。要求（B.25）对任意向量场 $V^{\mu }$ 所生成的微分同胚成立，再使用能量—动量张量的定义（4.75），恰好得到能量—动量守恒律：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.26}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.\end{array}$$

勘误（B.24–B.25）：作者说明，这里的 $V$ 应理解为无穷小向量；也可以把 $V$ 视作有限向量，并在每次出现时乘一个无穷小参数 $ϵ$。原文随后把能量—动量张量的定义误引为（4.73），正确编号是（4.75），上文已经改正。

$T_{\mu \nu }$ 的守恒是很强的结论；看起来似乎令人意外，因为我们只从微分同胚不变性这样一个较弱要求就推导出了它。其实，推导中悄悄加入了一个强得多的假设：物质作用量与引力作用量可以干净地分离，也就是引力作用量中不出现物质场。例如，若有一个标量场既乘在曲率标量前，又出现在物质作用量里——第 4 章讨论的标量—张量理论正是如此——这个假设就会失效，$T_{\mu \nu }$ 也不会单独守恒。

回忆第 3 章关于对称性和 Killing 向量的讨论，当时多次请读者参看附录。现在已经更了解微分同胚，理解对称性就很直接了：如果张量 $T$ 在微分同胚 $\varphi$ 下拉回后保持不变，就称 $\varphi$ 是 $T$ 的一个对称性：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.27}\text{)}& {\varphi }^{\ast }T=T.\end{array}$$

对称性可以是离散的，也常会形成一族单参数对称性 ${\varphi }_t$。若该族由向量场 $V^{\mu }(x)$ 生成，那么（B.27）等价于

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.28}\text{)}& {\mathcal{L}}_{V}T=0.\end{array}$$

由（B.12）可知，若 $T$ 在某族单参数微分同胚下对称，总能找到一套坐标，使 $T$ 的各分量都与其中一个坐标——向量场的积分曲线坐标——无关。逆命题也成立：若所有分量都与某个坐标无关，那么与该坐标关联的偏导向量场就生成 $T$ 的一个对称性。

最重要的对称性是度规的对称性，此时 ${\varphi }^{\ast }{g}_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }$。这种微分同胚称为等距映射（isometry）。若一族单参数等距映射由向量场 $K^{\mu }(x)$ 生成，那么 $K^{\mu }$ 是 Killing 向量场。因此，Killing 向量的条件为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.29}\text{)}& {\mathcal{L}}_K{g}_{\mu \nu }=0,\end{array}$$

或者由（B.20）写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{B.30}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{K}_{\nu )}=0.\end{array}$$

最后这个形式就是 Killing 方程（3.174）。第 3 章已经说明：若时空具有 Killing 向量，就能找到一套坐标，使度规与其中一个坐标无关；沿切向量为 $p^{\mu }$ 的测地线，$p_{\mu }{K}^{\mu }$ 保持常数。有了微分同胚与 Lie 导数的整套工具，Killing 向量的推导也显得优雅得多。

B.1 习题

编号勘误：原书把本题编号误排为“8”；作者的官方勘误说明附录习题编号有误。附录 B 只有这一题，故这里改为第 1 题。

1. 在三维 Euclid 空间中，求出并画出下列向量场的积分曲线：

   $$A=\frac{y-x}{r}\frac{\partial }{\partial x}-\frac{x+y}{r}\frac{\partial }{\partial y},$$

   以及

   $$B=xy\frac{\partial }{\partial x}-y^2\frac{\partial }{\partial y}.$$

   计算 $C={\mathcal{L}}_{A}B$，并画出 $C$ 的积分曲线。

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