第 6 章 更一般的黑洞

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6.1 黑洞动物园

Birkhoff 定理保证，Schwarzschild 度规是广义相对论中唯一的球对称真空解。这一点不该太令人惊讶，因为它使人想起电磁学中的情形：在一个没有电荷的区域里，唯一的球对称场构型就是 Coulomb 场。一旦越出球对称的范围，可能的引力场便有无穷多种。例如，对地球这样的行星而言，外部场会依赖地表各处山脉与山谷的密度和轮廓。我们可以设想把度规分解成多极矩；要精确描述这个场，就必须给定无穷多个系数。

因此，黑洞并不具有这种性质，或许会让人颇感意外。稳态黑洞解只有少数几种，并且只需少数几个参数便可描述。究竟需要哪一组参数，取决于我们在理论中纳入了哪些物质场；若电磁作用是唯一的长程非引力场，便有一条无毛定理：

在与电磁场耦合的广义相对论中，凡是稳态、渐近平坦，而且在事件视界以外无奇性的黑洞解，都完全由质量、电荷与磁荷以及角动量这些参数刻画。

稳态解格外重要，因为我们预期它们就是引力坍缩的终态。另一种可能是某种振荡构型，但振荡会因引力辐射的发射带走能量而最终衰减；事实上，典型的演化会相当迅速地趋向稳态构型。

我们说的是“某一条”无毛定理，而不称它为唯一的无毛定理，因为结论不仅取决于广义相对论，也取决于理论包含的物质内容。在粒子物理标准模型中，电磁作用是唯一的长程场，所以上述定理适用；换用别种场以后，黑洞也可能长出别种“毛”。[^6-1] 人们甚至找到了一些静态（不旋转）黑洞的例子：它们具有轴对称性，却没有完整的球对称性。

[^6-1]: 相关讨论见 M. Heusler, “Stationary Black Holes: Uniqueness and Beyond,” Living Reviews in Relativity 1 (1998), 6，https://doi.org/10.12942/lrr-1998-6。

不过，核心结论仍未改变：刻画黑洞解只需极少数几个参数，而刻画一颗行星之类的物体却可能需要一组无穷多的参数。

正如本章末尾以及第 9 章还会讨论的那样，无毛性质带来了一种令人困惑的局面。在多数物理理论中，我们希望初值问题有良好定义，从而能用某一时刻的状态信息预测（或反推）任意另一时刻的状态。因此，由运动方程的一个解联系起来的任意两个状态，理应需要同样多的信息来加以指定。然而在广义相对论里，我们似乎可以把一团极其复杂的物质压缩成黑洞，最后得到一个完全由质量、电荷与自旋描述的构型。在经典广义相对论中，这件事或许不至于令人太过不安，因为可以认为信息只是藏在事件视界之后，并未真正丢失。可是，一旦考虑量子场论，我们会发现黑洞能够蒸发并最终消失，而信息看起来真的丢失了。可以设想，造成蒸发的外出 Hawking 辐射以某种方式编码了最初用来形成黑洞的状态信息，但这种机制如何实现仍完全不清楚。许多人认为，理解这场“信息丢失悖论”是建立合理量子引力理论的关键一步。

不过，本章将始终停留在经典广义相对论的范围内。我们先一般性地讨论黑洞的性质，尤其是事件视界与 Killing 视界。这一主题可能相当微妙，也很具技术性；这里的处理原则是传达主要观念，而不追求定义或定理证明上的严格性。随后我们讨论带电的 Reissner–Nordström 黑洞与旋转的 Kerr 黑洞所对应的具体解。延续同样的处理方式，我们不会细致推演构造最大延拓时空所需的坐标重定义，只直接画出相应的共形图。希望了解更多细节的读者可参阅 Townsend 的综述文章，[^6-2] 或 Hawking 与 Ellis（1973）以及 Wald（1984）的著作；本章大量借鉴了这些资料。

[^6-2]: P. K. Townsend, “Black Holes: Lecture Notes,” https://arxiv.org/abs/gr-qc/9707012。

6.2 事件视界

黑洞的特征在于：你可以进入，却永远无法离开。因此，它最重要的特征其实并不在中心的奇点，而在边界处的事件视界。事件视界是一张超曲面，它把两类时空点分隔开来：一类能通过类时路径与无穷远相连，另一类则不能。要理解这句话在实践中的含义，我们需要更仔细地思考“无穷远”究竟指什么。在广义相对论中，时空的整体结构可以采取许多不同形式，而“无穷远”的概念也会随之不同。不过，当我们思考真实宇宙中的黑洞时，我们——

——实际上并不关心无限遥远之处发生了什么；我们把无穷远当作“远在黑洞之外”的替代说法，并设想在离黑洞足够远的地方，时空可以用 Minkowski 空间近似。

如第 5 章所述，一个在无穷远处呈 Minkowski 形态的时空称为渐近平坦时空。这个概念在图 6.1 那样的共形图中表现得最清楚。根据附录 H 对 Minkowski 时空共形图的讨论，我们知道共形无穷远分成五部分：未来与过去类时无穷远 $i^{\pm }$、未来与过去类光无穷远 ${\mathcal{I}}^{\pm }$，以及空间无穷远 $i^0$。一个渐近平坦时空（或时空区域）的 ${\mathcal{I}}^{\pm }$ 和 $i^0$ 具有与 Minkowski 时空相同的结构；类时无穷远则不作要求。这种时空具有图 6.1 所示的一般形式。

图 6.1　渐近平坦时空指的是这样一种时空：它在共形图中的无穷远与 Minkowski 时空相符，其中包括未来类光无穷远 ${\mathcal{I}}^{+}$、空间无穷远 $i^0$ 和过去类光无穷远 ${\mathcal{I}}^{-}$。未来事件视界是 ${\mathcal{I}}^{+}$ 之过去的边界。虚线区域表示时空的其余部分；在不同例子中，这一部分可以具有多种不同形态。图中两条相交的类光边界分别标为“未来事件视界”和“过去事件视界”。

有了这幅图，未来事件视界应当如何理解便很清楚：越过这张曲面以后，类时曲线就无法逃向无穷远。回忆一下，一个区域的因果过去 $J^{-}$ 是从该区域沿指向过去的类时路径能够到达的全部点所组成的集合；于是，事件视界也可等价地定义为 $J^{-}({\mathcal{I}}^{+})$——未来类光无穷远的因果过去——的边界。（严格来说，事件视界是这个集合之闭包的边界，但这里不追求严格性。）过去视界有类似的定义。正如最大延拓 Schwarzschild 解所展示的那样，同一时空可以包含多个渐近平坦区域，相应地也可能包含多个事件视界。

从定义立刻可知，事件视界是一张类光超曲面。附录 D 讨论了类光超曲面的性质，这里回顾其主要特征。某张超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 可以由某个函数 $f(x)$ 的等值面 $f(x)=\text{常数}$ 定义。梯度 ${\partial }_{\mu }f$ 是 $\mathrm{\Sigma }$ 的法向量；若法向量为类光向量，这张超曲面便称为类光超曲面，而且法向量同时也与 $\mathrm{\Sigma }$ 相切。类光超曲面可以看成一族类光测地线 $x^{\mu }(\lambda )$ 的集合，这些测地线称为该超曲面的生成线。这些测地线的切向量 ${\xi }^{\mu }$ 与法向量成正比，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.1}\text{)}& {\xi }^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }=h(x)g^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }f.\end{array}$$

因此，它们也充当超曲面的法向量。我们可以选择函数 $h(x)$，使这些测地线以仿射参数参数化；相应的切向量便满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.2}\text{)}& {\xi }_{\mu }{\xi }^{\mu }=0,{\xi }^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\xi }^{\nu }=0.\end{array}$$

对未来事件视界而言，生成线可以终止于过去方向（例如黑洞由恒星坍缩形成时），但在未来方向上总会无限延伸下去；把未来与过去互换，过去事件视界也有相应性质。

事件视界是一个整体概念，所以当别人用任意一组坐标给出一个度规时，要实际找出事件视界可能很困难。幸运的是，本章只研究一类很特殊的度规：它们是稳态的、渐近平坦的，并且包含具有球面拓扑的事件视界。在这样的时空中，可以选择方便的坐标系，以简单方式识别事件视界。对 Schwarzschild 解而言，事件视界所在之处的光锥会“倾倒”，使 $r=2GM$ 成为类光曲面；在较大的 $r$ 处，$r=\text{常数}$ 则是类时曲面。光锥是否倾倒显然依赖坐标（例如在 Kruskal 坐标中就不会发生），不过我们关心的度规都允许作类似的构造。稳态度规有一个在渐近区域为类时的 Killing 向量 ${\partial }_t$，我们可以选取与之适配的坐标，使度规分量与时间无关，即 ${\partial }_t{g}_{\mu \nu }=0$。在 $t=\text{常数}$ 的超曲面上，可以选择坐标 $(r,\theta ,\varphi )$，使无穷远处的度规看起来就是球极坐标下的 Minkowski 空间。当 $r\to \mathrm{\infty }$ 时，$r=\text{常数}$ 的超曲面是拓扑为 $S^2\times \mathbb{R}$ 的类时柱面。

现在设想我们足够巧妙地选择了坐标，使得从无穷远逐渐减小 $r$ 时，$r=\text{常数}$ 的超曲面一直保持类时，直至某个固定的 $r=r_{\mathrm{H}}$；在那里，这张曲面处处为类光。（若坐标选得不巧，$r=\text{常数}$ 的超曲面可能会在某些 $\theta$、$\varphi$ 取值下变成类光或类空，同时在另一些取值下仍为类时。）这显然代表一个事件视界，因为越过它、进入 区域的类时路径再也无法逃回无穷远。要确定 $r=\text{常数}$ 超曲面在何处变成类光很容易：${\partial }_{\mu }r$ 是这类超曲面的法一形式，其范数为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.3}\text{)}& g^{\mu \nu }({\partial }_{\mu }r)({\partial }_{\nu }r)=g^{rr}.\end{array}$$

我们要寻找这个一形式的范数为零之处；因此，在上述坐标中，事件视界 $r=r_{\mathrm{H}}$ 就是 $g^{rr}$ 从正值变为负值的那张超曲面，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.4}\text{)}& g^{rr}(r_{\mathrm{H}})=0.\end{array}$$

这个判据显然适用于 Schwarzschild 解，因为在该解中 $g^{rr}=1-2GM/r$。后面给出 Reissner–Nordström 解和 Kerr 解时，我们也会采用同样适应于视界的坐标。

我们如此重视事件视界，原因在于它们在广义相对论中几乎不可避免。这个结论来自两个有趣结果的结合：奇点几乎不可避免，而奇点又被隐藏在事件视界之后。当然，这两个结果各自在一组适当假设下才成立；要构造无奇点的时空并不困难（Minkowski 时空就是一例），找到没有视界遮蔽的奇点也没有那么困难（下文讨论带电黑洞时会看到这种例子）。不过，我们相信“通有”解中的奇点会藏在视界之后。

奇点的普遍存在由 Hawking 和 Penrose 的奇点定理保证。在这些定理得到证明以前，人们还可以寄希望于：坍缩到 Schwarzschild 奇点只是球对称造成的人为结果，而典型几何将始终无奇（例如 Newton 引力中的情况）。然而 Hawking–Penrose 定理表明，坍缩一旦越过某一点，向奇点演化就无可避免。我们通过测地线不完备性判断奇点存在：流形中有某条测地线无法继续延拓，却在仿射参数的有限取值处终止。判断坍缩已越过无法回头的临界点，则要看是否出现了陷获面。

为了理解陷获面，先设想 Minkowski 空间里一个二球面：它由某个等时切片中与原点径向距离固定的一组点构成。若沿着从这个空间球面射入时空的类光射线追踪，一组（朝内）射线会描出一族逐渐缩小的球面，另一组（朝外）射线会描出一族逐渐扩大的球面。但 Schwarzschild 几何中半径固定且 的球面并非如此：在事件视界以内，从这种球面出发的两组类光射线都会向更小的 $r$ 演化（因为 $r$ 是类时坐标），因而球面面积 $4\pi r^2$ 也都会减小。这正是陷获面的含义：它是一个紧致、类空、二维的子流形，并且在子流形的每一点，向未来发出的两组光线都发生会聚。（“会聚”的正式定义是膨胀量 $\theta$ 为负；见附录 F 对测地线丛的讨论。）

有了这些定义，我们便可陈述奇点定理的一个例子：

设 $M$ 是一个带有通有度规 $g_{\mu \nu }$ 的流形，该度规满足 Einstein 方程并服从强能量条件。若 $M$ 中存在陷获面，则必然存在闭合类时曲线，或者存在奇点（表现为不完备的类时或类光测地线）。

这里的“通有度规”是指，对类时测地线和类光测地线，通有条件都得到满足。对类时测地线，通有条件——

——要求每条切向量为 $U^{\mu }$ 的测地线上至少有一点满足

$$R_{\alpha \beta \gamma \delta }{U}^{\alpha }{U}^{\delta }\ne 0;$$

对类光测地线，通有条件要求每条切向量为 $k^{\mu }$ 的测地线上至少有一点满足

$$k_{[\alpha }{R}_{\beta ]\gamma \delta [ϵ}{k}_{\zeta ]}{k}^{\gamma }{k}^{\delta }\ne 0.$$

这些看似繁复的条件仅仅用于排除一类非常特殊的度规：在那些度规中，曲率始终沿某些方向消失。

奇点定理有许多形式，各自从不同的假设集合出发。它们似乎共同告诉我们：广义相对论中典型的含时解通常终结于奇点。（或者起始于奇点；有些定理蕴含宇宙学奇点的存在，例如大爆炸。）这对广义相对论造成了一定困难，因为理论本身并不真正适用于奇点，而奇点的存在也就意味着理论描述并不完备。面对这一问题，传统态度是寄希望于尚待发现的量子引力理论以某种方式消解经典广义相对论的奇点。

与此同时，我们可以从“奇点隐藏在事件视界之后”这一想法中得到些许安慰。这个信念概括为宇宙监督猜想：

在服从主导能量条件的渐近平坦时空中，从通有且初始无奇的状态出发发生引力坍缩，不会形成裸奇点。

裸奇点指信号能够从中抵达 ${\mathcal{I}}^{+}$ 的奇点，也就是未被事件视界遮蔽的奇点。请注意，这个猜想讨论裸奇点的形成，并未否认其存在；确实有一些解在过去含有类空裸奇点（例如 Schwarzschild 白洞），也有一些解在全部时刻都含有类时奇点（例如下文将讨论的超极端带电黑洞）。宇宙监督猜想尚未得到证明；人们付出了巨大努力寻找令人信服的反例，却仍未成功。要求初始数据在某种意义上“通有”非常重要，因为数值实验已经表明，精细调节的初始条件能够产生裸奇点。精确证明某种形式的宇宙监督猜想，至今仍是经典广义相对论悬而未决的问题之一。[^6-3]

宇宙监督（或某些等价假设）的一个后果是：经典黑洞永远不会缩小，只会增大。黑洞的大小用事件视界的面积衡量；这里所说的面积，是事件视界与一个类空切片之交集的空间面积。于是得到 Hawking 面积定理：

假定弱能量条件与宇宙监督成立，渐近平坦时空中未来事件视界的面积单调不减。

[^6-3]: 关于宇宙监督的综述，见 R. M. Wald, “Gravitational Collapse and Cosmic Censorship,” https://arxiv.org/abs/gr-qc/9710068。

对 Schwarzschild 黑洞，面积随质量单调变化，所以面积定理意味着 Schwarzschild 黑洞的质量只能增加。不过，对旋转黑洞，情况不再如此；它的面积依赖质量与角动量的某种组合，而下文会看到，我们确实可以通过降低黑洞自旋从中提取能量。黑洞的质量也可因量子力学的 Hawking 辐射而减小；其根源在于弯曲时空量子场论能够违反弱能量条件。

6.3 Killing 视界

在 Schwarzschild 度规中，Killing 向量 $K={\partial }_t$ 在事件视界处从类时变为类空。一般而言，如果某个 Killing 向量场 ${\chi }^{\mu }$ 沿一张类光超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 为类光，我们就称 $\mathrm{\Sigma }$ 是 ${\chi }^{\mu }$ 的 Killing 视界。注意，向量场 ${\chi }^{\mu }$ 必定是 $\mathrm{\Sigma }$ 的法向量，因为一张类光曲面不可能有两个线性无关的类光切向量。

Killing 视界的概念在逻辑上独立于事件视界，不过在具有时间平移对称性的时空中，两者密切相关。在某些合理条件下（下文会明确说明），有如下分类：

稳态渐近平坦时空中的每个事件视界 $\mathrm{\Sigma }$，都是某个 Killing 向量场 ${\chi }^{\mu }$ 的 Killing 视界。

若时空是静态的，${\chi }^{\mu }$ 就是在无穷远处代表时间平移的 Killing 向量场 $K^{\mu }=({\partial }_t{)}^{\mu }$。

若时空稳态但不静态，它将具有轴对称性，并有旋转 Killing 向量场 $R^{\mu }=({\partial }_{\varphi }{)}^{\mu }$；此时，${\chi }^{\mu }$ 是线性组合 $K^{\mu }+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}{R}^{\mu }$，其中 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}$ 是某个常数。

例如，下文将考察描述旋转黑洞的 Kerr 度规，其中事件视界是旋转与时间平移两个 Killing 向量某一线性组合的 Killing 视界。在 Kerr 时空中，${\partial }_t$ 变成类光的那张超曲面其实是类时的，因而并非 Killing 视界。

下面准确说明上述分类方案成立所需的条件。[^6-4] Carter 已经证明，对静态黑洞，事件视界是 $K^{\mu }$ 的 Killing 视界；这是纯粹的几何事实，无需调用 Einstein 方程也成立。在稳态情形中，如果假定存在一个旋转 Killing 场 $R^{\mu }$，并且由 $K^{\mu }$ 与 $R^{\mu }$ 张成的二维平面正交于某族二维曲面，那么事件视界就是这两个 Killing 场某一线性组合的 Killing 视界；这个结论同样纯粹来自几何考虑。另一方面，若只假定黑洞是稳态的，一般并不能证明事件视界——

[^6-4]: 相关讨论见 R. M. Wald, “The Thermodynamics of Black Holes,” Living Reviews in Relativity 4, 6 (2001), https://arxiv.org/abs/gr-qc/9912119。

——具有轴对称性。给定 Einstein 方程以及对物质场的某些条件后，Hawking 能够证明，任意稳态黑洞的事件视界必定是某个向量场的 Killing 视界，而且这样的视界必定是静态的或轴对称的。本章其余部分会按照上述分类成立来叙述；不过，对物质场作出假设一向十分棘手，因此应当记住，原则上也许会发现既非静态又非轴对称的黑洞，其事件视界也可能不是 Killing 视界。

有一点必须指出：虽然稳态渐近平坦时空的事件视界通常是 Killing 视界，但也很容易找到与事件视界毫无关系的 Killing 视界。考虑惯性坐标下的 Minkowski 空间，

$$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2;$$

显然，这个时空没有事件视界。生成 $x$ 方向推进变换的 Killing 向量是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.5}\text{)}& \chi =x{\partial }_t+t{\partial }_x,\end{array}$$

其范数为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.6}\text{)}& {\chi }_{\mu }{\chi }^{\mu }=-x^2+t^2.\end{array}$$

它在类光曲面

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.7}\text{)}& x=\pm t\end{array}$$

上成为类光向量，所以这些曲面都是 Killing 视界。把推进 Killing 向量同平移、旋转 Killing 向量组合起来，还可以在流形中移动这些视界；Killing 视界遍布其中。当然，在更有趣的时空里，Killing 向量场会少得多，相应的视界（若存在）也会有更重大的物理意义。

每个 Killing 视界都可以联系一个称为表面引力的量。考虑 Killing 向量 ${\chi }^{\mu }$ 及其 Killing 视界 $\mathrm{\Sigma }$。由于 ${\chi }^{\mu }$ 是 $\mathrm{\Sigma }$ 的法向量，它沿 Killing 视界满足测地线方程

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.8}\text{)}& {\chi }^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\chi }^{\nu }=-\kappa {\chi }^{\nu },\end{array}$$

右端之所以出现，是因为 ${\chi }^{\mu }$ 的积分曲线未必以仿射参数参数化。参数 $\kappa$ 就是表面引力；除了一张“Killing 向量在其上消失、$\kappa$ 可以改变符号的分岔二球面”以外，它在整个视界上为常数。（例如，Schwarzschild 解的 Kruskal 图中心就会出现这种情形。）利用 Killing 方程 ${\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{\chi }_{\nu )}=0$，以及 ${\chi }_{[\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\chi }_{\sigma ]}=0$ 这一事实（因为 ${\chi }^{\mu }$ 是 $\mathrm{\Sigma }$ 的法向量），可以直接推出表面引力的一个简洁公式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.9}\text{)}& {\kappa }^2=-\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\chi }_{\nu })({\mathrm{\nabla }}^{\mu }{\chi }^{\nu }).\end{array}$$

右端的表达式应在视界 $\mathrm{\Sigma }$ 上求值。建议读者亲自检验这个公式。

原则上，与 Killing 视界联系的表面引力可以任意取值，因为我们总能把一个 Killing 场乘以某个实常数，得到另一个 Killing 场。在静态渐近平坦时空中，可以用下面的条件归一化时间平移 Killing 向量 $K={\partial }_t$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.10}\text{)}& K_{\mu }{K}^{\mu }(r\to \mathrm{\infty })=-1.\end{array}$$

这也随之固定了任何相应 Killing 视界的表面引力。如果处在稳态时空中，Killing 视界联系于时间平移和旋转的一个线性组合，那么固定 $K={\partial }_t$ 的归一化也会固定这个线性组合，所以表面引力仍然唯一。

只有在时空静态时，$\kappa$ 被称为“表面引力”的理由才会变得清楚。在这种情形下，有如下解释：

在静态渐近平坦时空中，表面引力是视界附近静态观测者的加速度，由无穷远处的静态观测者测得。

为了理解这句话，先来考察静态观测者。所谓静态观测者，是指其四速度 $U^{\mu }$ 与时间平移 Killing 场 $K^{\mu }$ 成正比的观测者：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.11}\text{)}& K^{\mu }=V(x)U^{\mu }.\end{array}$$

由于四速度归一化为 $U_{\mu }{U}^{\mu }=-1$，函数 $V$ 就是 Killing 场的大小，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.12}\text{)}& V=\sqrt{-K_{\mu }{K}^{\mu }},\end{array}$$

所以它从 Killing 视界处的零变化到无穷远处的 1。$V$ 有时称为“红移因子”，因为它联系了静态观测者测得的光子发射频率与观测频率。回忆一下，四动量为 $p^{\mu }$ 的光子具有守恒能量 $E=-p_{\mu }{K}^{\mu }$，而四速度为 $U^{\mu }$ 的观测者所测频率为 $\omega =-p_{\mu }{U}^{\mu }$。因此

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.13}\text{)}& \omega =\frac{E}{V},\end{array}$$

静态观测者 1 发出的光子，由静态观测者 2 观测时，其波长 $\lambda =2\pi /\omega$ 满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.14}\text{)}& {\lambda }_2=\frac{V_2}{V_1}{\lambda }_1.\end{array}$$

尤其是在 $V=1$ 的无穷远处，我们将观测到波长 ${\lambda }_{\mathrm{\infty }}={\lambda }_1/V_1$。

现在转向“从无穷远处看到的加速度”这一概念。静态观测者一般不会沿测地线运动；例如，粒子往往会落入黑洞，不会悬停在黑洞旁并保持空间坐标不变。

可以把四加速度 $a^{\mu }=U^{\sigma }{\mathrm{\nabla }}_{\sigma }{U}^{\mu }$ 用红移因子表示为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.15}\text{)}& a_{\mu }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }\ln V,\end{array}$$

这一点很容易验证。加速度的大小为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.16}\text{)}& a=\sqrt{a_{\mu }{a}^{\mu }}=V^{-1}\sqrt{{\mathrm{\nabla }}_{\mu }V{\mathrm{\nabla }}^{\mu }V},\end{array}$$

它在 Killing 视界处趋于无穷大——要让一个物体始终沿静态轨迹运动，需要无穷大的加速度。不过，无穷远处的观测者会发现这个加速度被因子 $V$“红移”；红移后的量恰好就是表面引力。因此我们断言

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.17}\text{)}& \kappa =Va=\sqrt{{\mathrm{\nabla }}_{\mu }V{\mathrm{\nabla }}^{\mu }V},\end{array}$$

并在视界 $\mathrm{\Sigma }$ 上对它求值。可以检验，这个表达式与式 (6.9) 一致。表面引力是零（$V$）与无穷大（$a$）的乘积，但通常有限。所谓观测到的加速度发生红移，我们心中设想的是：从视界处的静止物体向无穷远处的观测者拉一根测试绳，并在绳子的无穷远端测量加速度。（值得花些时间想想，能否把这段启发式论证提升为更严格的论证。）

若时空稳态但不静态，上述考虑出了什么问题？我们仍有一个渐近的时间平移 Killing 向量 $K={\partial }_t$，也可像式 (6.11) 那样，把稳态观测者定义为四速度与 $K^{\mu }$ 平行的观测者；红移仍由式 (6.14) 给出。问题在于，$K^{\mu }$ 不会在 Killing 视界上变成类光，而通常在视界外某张类时曲面上变成类光。满足 $K^{\mu }{K}_{\mu }=0$ 的位置称为稳态极限面（有时也称“能层面”）；在这张曲面以内，$K^{\mu }$ 是类空的，所以即使尚在事件视界以外，也没有观测者能够保持稳态。这种观测者必须相对于 Killing 场运动，但不必朝着黑洞方向运动。根据式 (6.12) 和 (6.14)，稳态观测者的红移会在接近稳态极限面时发散，所以该曲面也称为无限红移面。讨论 Kerr 度规时将看到，稳态极限面与事件视界之间的区域称为能层；在这里，类时路径无可避免地被黑洞的旋转拖曳着一起转动。

在稳态时空中，我们仍会沿用“表面引力”这个名称，并用确实会在事件视界上成为类光的 Killing 向量 ${\chi }^{\mu }$ 来计算它；不过，所得量不能解释为无穷远处看到的稳态观测者引力加速度。

下面把这些概念应用到 Schwarzschild 解，看看它们如何运作。度规为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.18}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=-(1-\frac{2GM}{r})\mathrm{d}{t}^2+{(1-\frac{2GM}{r})}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2,\end{array}$$

相应的 Killing 向量与静态四速度是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.19}\text{)}& K^{\mu }=(1,0,0,0),U^{\mu }=[{(1-\frac{2GM}{r})}^{-1/2},0,0,0],\end{array}$$

所以红移因子为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.20}\text{)}& V=\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}.\end{array}$$

（请注意，这与上一章对红移的计算一致。）根据式 (6.15)，加速度是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.21}\text{)}& a_{\mu }=\frac{GM}{r^2(1-{\displaystyle \frac{2GM}{r}})}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }r,\end{array}$$

其中当然有 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }r={\delta }_{\mu }^r$。因此，加速度的大小为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.22}\text{)}& a=\frac{GM}{r^2{(1-{\displaystyle \frac{2GM}{r}})}^{1/2}}.\end{array}$$

表面引力是在事件视界 $r=2GM$ 处求值的 $\kappa =Va$，而

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.23}\text{)}& Va=\frac{GM}{r^2},\end{array}$$

所以 Schwarzschild 黑洞的表面引力为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.24}\text{)}& \kappa =\frac{1}{4GM}.\end{array}$$

质量越大，表面引力反而越小，这或许看起来令人意外；不过看一眼式 (6.23) 就能明白原因。在固定半径处，增大 $M$ 会增大组合 $Va$；但质量增加也会增大 Schwarzschild 半径，后一种效应占了上风。因此，大黑洞的表面引力其实弱于小黑洞；潮汐力也随着黑洞增大而减小，这一点与上述结论一致。

6.4 质量、电荷与自旋

前面已经断言，广义相对论中最一般的稳态黑洞解由质量、电荷与自旋刻画，因此现在应当考虑如何在广义相对论中定义这些量。电荷最容易处理，我们就从这里开始；更多细节可见附录 E 对 Stokes 定理的讨论。下面专门考察电荷，磁荷则可用同样方式处理。

Maxwell 方程把电磁场强张量 $F_{\mu \nu }$ 与电流四向量 $J_e^{\mu }$ 联系起来：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.25}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\nu }{F}^{\mu \nu }=J_e^{\mu }.\end{array}$$

穿过一张类空超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的电荷，由该超曲面上坐标 $x^i$ 的积分给出：

其中 ${\gamma }_{ij}$ 是诱导度规，$n^{\mu }$ 是与 $\mathrm{\Sigma }$ 联系的单位法向量。负号保证：正电荷密度与指向未来的法向量会给出正的总电荷。随后可用 Stokes 定理把电荷写成边界积分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.27}\text{)}& Q=-{\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}{\mathrm{d}}^{2}x\sqrt{{\gamma }^{(2)}}{n}_{\mu }{\sigma }_{\nu }{F}^{\mu \nu },\end{array}$$

其中，边界 $\partial \mathrm{\Sigma }$ 通常是空间无穷远处的一个二球面，具有度规 ${\gamma }_{ij}^{(2)}$ 和指向外侧的法向量 ${\sigma }^{\mu }$。若以对偶张量

$${}^{\ast }{F}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }$$

取代 $F^{\mu \nu }$，便可确定磁荷。因此，计算总电荷时只需知道电磁场在空间无穷远处的行为。附录 E 对 Minkowski 空间中的点电荷作了显式计算，结果一如预期，同时也很好地检验了我们的约定确实自洽。

现在转向渐近平坦时空的总能量（或质量）概念。它比电荷棘手得多：首先，在广义相对论中能量-动量是张量，而电流是向量；其次，能量-动量张量 $T_{\mu \nu }$ 只描述物质的性质，并不描述引力场。不过请回忆第 3 章的讨论：若时空稳态并有类时 Killing 向量场 $K^{\mu }$，我们仍然能够定义守恒的总能量。先构造电流

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.28}\text{)}& J_T^{\mu }=K_{\nu }{T}^{\mu \nu },\end{array}$$

其中 $T^{\mu \nu }$ 是能量-动量张量。由 Killing 方程和 $T^{\mu \nu }$ 的守恒性可知，这个流的散度为零；于是，像处理电荷一样，在类空超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上积分便得到守恒能量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.29}\text{)}& E_T={\int }_{\mathrm{\Sigma }}{\mathrm{d}}^{3}x\sqrt{\gamma }{n}_{\mu }{J}_T^{\mu }.\end{array}$$

这个表达式虽有意思，却显然存在一些不足。例如，考虑 Schwarzschild 度规，它有一个——

——Killing 向量，但 $T^{\mu \nu }$ 处处为零。难道 Schwarzschild 黑洞的能量因此就是零吗？无论从物理还是数学角度看，都有理由怀疑答案是否定的；毕竟，其中存在一个奇点，使积分难以求值。此外，Schwarzschild 黑洞可以由一颗具有确定非零能量的大质量恒星演化而来，我们也希望那份能量得到守恒。因此，值得寻找另一种能量定义，更好地捕捉我们对黑洞时空的直观图景。

暂时仍限于具有类时 Killing 向量 $K^{\mu }$ 的时空，考虑一个新流：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.30}\text{)}& J_R^{\mu }=K_{\nu }{R}^{\mu \nu }.\end{array}$$

利用 Einstein 方程，也可把它写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.31}\text{)}& J_R^{\mu }=8\pi G{K}_{\nu }(T^{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}^{\mu \nu }).\end{array}$$

Ricci 张量并非无散度；取而代之，我们有缩并 Bianchi 恒等式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.32}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{R}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^{\nu }R.\end{array}$$

不过，这个恒等式与 Killing 方程已足以保证新流守恒。直接计算

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.33}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{J}_R^{\mu }=({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{K}_{\nu })R^{\mu \nu }+K_{\nu }({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{R}^{\mu \nu }).\end{array}$$

第一项为零，因为 $R^{\mu \nu }$ 对称，而 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{K}_{\nu }$ 由 Killing 方程可知是反对称的。再利用式 (6.32)，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.34}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{J}_R^{\mu }=\frac{1}{2}{K}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}^{\nu }R=0;\end{array}$$

我们知道最后一项为零，是因为 $R$ 沿 Killing 向量的方向导数为零，见式 (3.178)。

和前面一样，可以定义与这个流联系的守恒能量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.35}\text{)}& E_R=\frac{1}{4\pi G}{\int }_{\mathrm{\Sigma }}{\mathrm{d}}^{3}x\sqrt{\gamma }{n}_{\mu }{J}_R^{\mu },\end{array}$$

其中的归一化是为后文方便而选。能量 $E_R$ 与类空超曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的选择无关，因此是守恒的。与 $E_T$ 相比，这一能量概念有一个重大优点：$E_R$ 可以改写成空间无穷远处二球面上的曲面积分。为此，回忆式 (3.177)：任意 Killing 向量都满足 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{K}^{\mu }=K^{\mu }{R}_{\mu \nu }$；于是流本身可写成全导数，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.36}\text{)}& J_R^{\mu }={\mathrm{\nabla }}_{\nu }({\mathrm{\nabla }}^{\mu }{K}^{\nu }).\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.37}\text{)}& E_R=\frac{1}{4\pi G}{\int }_{\mathrm{\Sigma }}{\mathrm{d}}^{3}x\sqrt{\gamma }{n}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }({\mathrm{\nabla }}^{\mu }{K}^{\nu }).\end{array}$$

注意，把 Killing 方程的指标升起后有 ${\mathrm{\nabla }}^{\mu }{K}^{\nu }=-{\mathrm{\nabla }}^{\nu }{K}^{\mu }$。于是可以像处理电荷时那样再次运用 Stokes 定理，把 $E_R$ 写成空间无穷远处的积分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.38}\text{)}& \boxed{E_R=\frac{1}{4\pi G}{\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}{\mathrm{d}}^{2}x\sqrt{{\gamma }^{(2)}}{n}_{\mu }{\sigma }_{\nu }{\mathrm{\nabla }}^{\mu }{K}^{\nu }}\end{array}$$

这个表达式就是与类时 Killing 向量 $K^{\mu }$ 联系的 Komar 积分；它可解释为稳态时空的总能量。

为了确信方向正确，下面用度规 (6.18) 计算 Schwarzschild 解的 Komar 积分。法向量归一化为 $n_{\mu }{n}^{\mu }=-1$ 与 ${\sigma }_{\mu }{\sigma }^{\mu }=+1$，其非零分量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.39}\text{)}& n_0=-{(1-\frac{2GM}{r})}^{1/2},{\sigma }_1={(1-\frac{2GM}{r})}^{-1/2},\end{array}$$

其余分量均为零。因此

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.40}\text{)}& n_{\mu }{\sigma }_{\nu }{\mathrm{\nabla }}^{\mu }{K}^{\nu }=-{\mathrm{\nabla }}^0{K}^1.\end{array}$$

Killing 向量是 $K^{\mu }=(1,0,0,0)$，所以可以直接算出

无穷远处二球面的度规是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.42}\text{)}& {\gamma }_{ij}^{(2)}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j=r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2),\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.43}\text{)}& \sqrt{{\gamma }^{(2)}}=r^2\sin \theta .\end{array}$$

把所有结果合在一起，Schwarzschild 黑洞的能量是

这当然正是所需结果，也解释了式 (6.35) 中选取的归一化。

尽管得到了正确答案，我们仍应仔细想想刚才究竟发生了什么。具体说来，我们通过在一个类空切片上积分流 $J_R^{\mu }=K_{\nu }{R}^{\mu \nu }$ 得到这个能量，并发现结果可写成空间无穷远处的积分。然而对 Schwarzschild 解，度规满足真空 Einstein 方程 $R_{\mu \nu }=0$；所以积分 $J_R^{\mu }$ 似乎很难产生非零答案，正如式 (6.29) 的情形一样。考察最大延拓 Schwarzschild 解的结构便会意识到，我们可以画出两类类空切片：一类穿过虫洞延伸到第二个渐近区域，另一类终止于奇点。如果切片穿过虫洞，另一个渐近区域会给 $\partial \mathrm{\Sigma }$ 增添一个分支，从而给式 (6.38) 带来另一项贡献；这一贡献会恰好抵消原来的贡献，总能量确实为零。如果切片与奇点相交，我们则不太清楚应当如何处理。

尽管如此，在两种情况下，把式 (6.44) 的结果视为正确答案都是合理的。关键在于，式 (6.38) 只包含空间无穷远处的贡献，所以无论内部发生什么，它都应当是有效的能量表达式。甚至可以设想内部具有含时行为；只要 $K^{\mu }$ 在渐近区域是类时 Killing 向量，Komar 能量就有良好定义。例如，可以考虑一颗初始静态恒星发生球对称引力坍缩。直接在 $\mathrm{\Sigma }$ 上计算积分 (6.35)，将给出合理的总质量，并且在恒星坍缩成黑洞的过程中不应改变（这里设想严格的球对称，因此引力辐射不能把能量带到无穷远）。所以，坍缩前有效的 Komar 积分 (6.38)，在坍缩形成黑洞以后仍可稳妥地解释为能量。当然，在有些问题中我们可能希望允许引力辐射造成能量损失；此时必须仔细处理切片向无穷远的延伸方式。人们可以在未来类光无穷远定义“Bondi 质量”，用它追踪辐射造成的能量损失。

关于 Komar 公式，还有一个担忧：它是否真是我们应当称作“能量”的量？能量通常是与时间平移不变性联系的守恒量。支持这一解释的最好论据很简单：$E_R$ 的确是某种守恒量，并且与 Schwarzschild 解应有的能量相符（也与 Newton 极限下一组质量的能量相符，读者可以验证），那么它还能是什么呢？另一种办法是考虑广义相对论的 Hamilton 形式，在渐近平坦时空中仔细定义时间平移的生成元，再把它认作总能量。这项工作最早由 Arnowitt、Deser 和 Misner 完成，他们的结果称为 ADM 能量。在——

——渐近平坦时空中，我们可以像微扰理论中那样写度规：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.45}\text{)}& g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\end{array}$$

区别在于，这里只要求分量 $h_{\mu \nu }$ 在空间无穷远处很小，无需处处都小。ADM 能量可写成空间无穷远处二球面上的积分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.46}\text{)}& E_{\mathrm{ADM}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}{\mathrm{d}}^{2}x\sqrt{{\gamma }^{(2)}}{\sigma }^i({\partial }_j{h}^j{}_i-{\partial }_i{h}^j{}_j),\end{array}$$

其中，空间指标用 ${\delta }^{ij}$（无穷远处的空间度规）升起。这个公式看起来依赖坐标，但在我们的假设下实际上有良好定义。若 $h_{\mu \nu }$ 在无穷远处与时间无关，可以验证 ADM 能量与 Komar 能量确实相同。这让我们更有信心相信 Komar 积分真正代表能量。不过，ADM 能量在某种意义上更加可靠；例如，若存在与引力非最小耦合的长程标量场，Komar 积分可能遇到麻烦。但就眼前的目的而言，Komar 能量完全够用。

我们希望一个称为“能量”的量具有这样的性质：对任意物理构型，它都应为正；否则，一个零能态就可能衰变成若干正能与负能部分。第 4 章讨论的能量条件给出了物质场正能量的概念，但人们仍可能担心，引力的负贡献会带来问题。幸运的是，广义相对论中有最早由 Schoen 和 Yau 证明的正能量定理：

一个无奇、渐近平坦，并且服从 Einstein 方程与主导能量条件的时空，其 ADM 能量非负。此外，在这类时空中，只有 Minkowski 时空的 ADM 能量为零。

若允许奇点存在，显然会有反例，例如 的 Schwarzschild 解。不过，如果带奇点的时空（例如 的 Schwarzschild 解）是从无奇初始数据演化而来，定理仍然适用。因此，在广义相对论中，我们看来无需担忧负能量的孤立系统。

最后转向自旋（角动量）。有了前面对能量的讨论，处理自旋便十分直接。设有旋转 Killing 向量 $R={\partial }_{\varphi }$。与时间平移情形完全类似，可以定义守恒流

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.47}\text{)}& J_{\varphi }^{\mu }=R_{\nu }{R}^{\mu \nu },\end{array}$$

它会把守恒角动量 $J$ 表示成空间无穷远处的积分。

具体地，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.48}\text{)}& \boxed{J=-\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}{\mathrm{d}}^{2}x\sqrt{{\gamma }^{(2)}}{n}_{\mu }{\sigma }_{\nu }{\mathrm{\nabla }}^{\mu }{R}^{\nu }}\end{array}$$

（遗憾的是，$J$ 同时用来表示流和角动量；同样遗憾的是，$R$ 同时表示旋转 Killing 向量和 Ricci 张量。可用的字母毕竟只有这么多。）与能量的情形一样，即使 $R^{\mu }$ 只在渐近区域是 Killing 向量，这个表达式仍然有效。注意，它的归一化与能量积分不同；例如，可以在弱引力场中对缓慢运动的质量计算这个表达式，从而论证此归一化。

6.5 带电的 Reissner–Nordström 黑洞

现在来考察表示带电黑洞的精确解。这类解与真实的天体物理情形并没有非常密切的关系：现实中，高度带电的黑洞会因与附近物质相互作用而迅速中和。尽管如此，带电黑洞仍展示了更一般情形中的许多重要特征。在这里，问题仍保有完整的球对称性；因此我们知道度规可以写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.49}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=-e^{2\alpha (r,t)}\mathrm{d}{t}^2+e^{2\beta (r,t)}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2.\end{array}$$

但现在不再是真空，因为黑洞具有非零电磁场，后者又充当能量-动量的源。电磁场的能量-动量张量是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.50}\text{)}& T_{\mu \nu }=F_{\mu \rho }{F}_{\nu }{}^{\rho }-\frac{1}{4}{g}_{\mu \nu }{F}_{\rho \sigma }{F}^{\rho \sigma },\end{array}$$

其中 $F_{\mu \nu }$ 是电磁场强张量。由于具有球对称性，最一般的场强张量有如下分量：

其中，$f(r,t)$ 与 $g(r,t)$ 是待由场方程确定的函数，未写出的分量均为零。$F_{tr}$ 对应径向电场，而 $F_{\theta \varphi }$ 对应径向磁场。若你疑惑为何会出现 $\sin \theta$，请回忆：应与 $\theta$、$\varphi$ 无关的是磁场的径向分量

$$B^r={ϵ}^{01\mu \nu }{F}_{\mu \nu }.$$

对球对称度规，

$${ϵ}^{\rho \sigma \mu \nu }=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\widetilde{ϵ}}^{\rho \sigma \mu \nu }$$

正比于 $(\sin \theta {)}^{-1}$，所以 $F_{\theta \varphi }$ 中需要一个 $\sin \theta$ 因子。

作者勘误（适用于印刷页 255–273）：本书采用有理化 Heaviside–Lorentz 电磁单位，但本章带电黑洞部分漏做了相应改写。作者要求这一页起把扫描中的两个电荷符号逐次改成 $Q/(4\pi )$ 与 $P/(4\pi )$。下文所有相关公式、正文、图题与习题均显式采用这两个修正后的量；这项改动优先于扫描本。见作者官方勘误。

这里的场方程包括 Einstein 方程与 Maxwell 方程：

两组方程彼此耦合：电磁场强张量通过能量-动量张量进入 Einstein 方程，而度规又显式进入 Maxwell 方程。

不过，这些困难并非不可克服；采用与真空情形类似的步骤，也能得到带电情形的解。这里不显式推演各个步骤，只引用最终答案。该解称为 Reissner–Nordström（RN）度规，其形式为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.53}\text{)}& \boxed{\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{\Delta }\mathrm{d}{t}^2+{\mathrm{\Delta }}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2}\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.54}\text{)}& \mathrm{\Delta }=1-\frac{2GM}{r}+\frac{G[{\left({\displaystyle \frac{Q}{4\pi }}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{P}{4\pi }}\right)}^2]}{r^2}.\end{array}$$

在这个表达式中，$M$ 仍解释为黑洞质量；按勘误后的记号，$Q/(4\pi )$ 是总电荷，$P/(4\pi )$ 是总磁荷。自然界中从未观测到孤立磁荷（磁单极子），但这并不妨碍我们写出它们若存在时会产生的度规。若各种力在极高能量下“大统一”，便有充分的理论理由认为单极子可能存在，不过它们必定非常重且极为稀少。当然，即使不存在任何单极子，黑洞也可能具有磁荷。事实上，电荷与磁荷以完全相同的方式进入度规，所以在表达式中保留 $P/(4\pi )$ 并不会增添任何复杂性。持保守态度的读者若愿意，也可令 $P/(4\pi )=0$。与这个解联系的电磁场为

这些场的 $1/r^2$ 依赖正是我们在平直空间中熟悉的形式；当然，这里也知道，它依赖于我们对径向坐标的精确选择。

RN 度规在 $r=0$ 处有真正的曲率奇点；计算曲率不变量标量 $R_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\mu \nu \rho \sigma }$ 即可验证。不过，它的视界结构比 Schwarzschild 时空更复杂。前面对事件视界的讨论提出，$g^{rr}=0$ 是定位——

——事件视界的一个有用判据，前提是我们巧妙地选取坐标，使这个条件在某个固定的 $r$ 值处得到满足。幸运的是，式 (6.53) 的坐标具有这种性质，事件视界位于

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.56}\text{)}& g^{rr}(r)=\mathrm{\Delta }(r)=1-\frac{2GM}{r}+\frac{G[{\left({\displaystyle \frac{Q}{4\pi }}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{P}{4\pi }}\right)}^2]}{r^2}=0.\end{array}$$

它发生在

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.57}\text{)}& r_{\pm }=GM\pm \sqrt{G^2{M}^2-G[{\left(\frac{Q}{4\pi }\right)}^2+{\left(\frac{P}{4\pi }\right)}^2]}.\end{array}$$

如图 6.2 所示，根据 $G{M}^2$ 与 ${(Q/(4\pi ))}^2+{(P/(4\pi ))}^2$ 的相对大小，方程可能有两个、一个或零个解。因此分别考察各种情形。

图 6.2　Reissner–Nordström 解的函数

$$\mathrm{\Delta }(r)=1-\frac{2GM}{r}+\frac{G[{\left({\displaystyle \frac{Q}{4\pi }}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{P}{4\pi }}\right)}^2]}{r^2};$$

它的零点标示事件视界的位置。图中比较了三条曲线：、，以及 $G{M}^2={(P/(4\pi ))}^2+{(Q/(4\pi ))}^2$；还以虚线画出 $P/(4\pi )=Q/(4\pi )=0$ 的 Schwarzschild 情形。横轴为 $r$，纵轴为 $\mathrm{\Delta }(r)$；两个零点标为 $r_{-}$、$r_{+}$，极值位置标为 $GM$，Schwarzschild 零点标为 $2GM$。

情形一：

在这种情形下，系数 $\mathrm{\Delta }$ 始终为正（从不为零），而度规在 $(t,r,\theta ,\varphi )$ 坐标中一直到 $r=0$ 都完全正则。坐标 $t$ 始终类时，$r$ 始终类空。但 $r=0$ 处仍有奇点，现在它是一条类时线。由于没有事件视界，观测者可以前往奇点，再返回并报告所见，不受任何阻碍。这就是前面讨论过的裸奇点。仔细分析测地线会发现，这个奇点具有排斥性——类时测地线永远不会与 $r=0$ 相交；它们会先接近奇点，随后转向并远离。（类光测地线可以抵达奇点，非测地的类时曲线也可以。）

当 $r\to \mathrm{\infty }$ 时，该解趋近平直时空；而且正如刚才所见，其因果结构看来处处正常。因此，它的共形图与 Minkowski 空间完全相同，只是现在 $r=0$ 是奇点，如图 6.3 所示。

图 6.3　满足 的 Reissner–Nordström 解之共形图。原点处有一个裸奇点。图的左侧竖直波浪线是类时的 $r=0$ 奇点，从 $i^{-}$ 延伸到 $i^{+}$；右侧依次标出 ${\mathcal{I}}^{-}$、空间无穷远 $i^0$ 与 ${\mathcal{I}}^{+}$。

奇点的裸露既冒犯了我们的体面感，也违背宇宙监督猜想。事实上，不应期望由引力坍缩产生满足 的黑洞。粗略地说，这个条件意味着黑洞总能量小于单由电磁场贡献的能量——也就是说，携带电荷的物质必须具有负质量。因此，这个解通常被认为不具物理性。还要注意，这个时空中不存在 Cauchy 面，因为类时线可以始于奇点，也可以终于奇点。

情形二：

我们预期这种情形适用于真实的引力坍缩；电磁场中的能量小于总能量。此时，度规系数 $\mathrm{\Delta }(r)$ 在大 $r$ 与小 $r$ 处为正，在两个零点

$$r_{\pm }=GM\pm \sqrt{G^2{M}^2-G[{\left(\frac{Q}{4\pi }\right)}^2+{\left(\frac{P}{4\pi }\right)}^2]}$$

之间为负。度规在 $r_{+}$ 和 $r_{-}$ 两处都有坐标奇性；两者都可以像 Schwarzschild 情形那样，通过坐标变换消去。

$r=r_{\pm }$ 所定义的两张曲面都是类光的，也都是事件视界。$r=0$ 处的奇点是一条类时线，并非 Schwarzschild 时空中的类空曲面。若你是从远处落入黑洞的观测者，$r_{+}$ 就像 Schwarzschild 度规中的 $2GM$；在这个半径处，$r$ 从类空坐标变成类时坐标，你必然向 $r$ 减小的方向运动。黑洞外部的观察者也会看到同样的——

——现象，就像在不带电黑洞外部所见的那样：落入的观测者看起来运动得越来越慢，红移也越来越强。

不过，从 $r_{+}$ 出发向越来越小的半径不可避免地坠落，只持续到你抵达类光曲面 $r=r_{-}$ 为止；在那里，$r$ 重新变成类空坐标，沿 $r$ 减小方向的运动便可以停止。因此，你不必撞上 $r=0$ 的奇点；这正符合预期，因为 $r=0$ 是一条类时线（所以未必位于你的未来）。事实上，你可以选择继续前往 $r=0$，也可以开始向 $r$ 增大的方向运动，重新穿过 $r=r_{-}$ 的类光曲面。随后 $r$ 会再次成为类时坐标，但取向反转了：你被迫向 $r$ 增大的方向运动。最终，你会再一次被抛出 $r=r_{+}$，这就像从白洞进入宇宙其余部分。从那里，你可以选择再次进入黑洞——这一次，它与最初进入的黑洞不同——并随意重复这趟旅程。这个小故事对应图 6.4 的共形图；当然，也可以选取适当坐标，把 Reissner–Nordström 度规解析延拓到尽可能大的范围，从而更严格地推导此图。

图 6.4　满足 的 Reissner–Nordström 解之共形图。黑洞外部区域有无穷多个副本。图中交替出现由 ${\mathcal{I}}^{\pm }$、$i^0$、$i^{\pm }$ 围成的渐近平坦菱形区域，以及以 $r_{+}$、$r_{-}$ 为类光边界的内部区域；两侧的竖直波浪线为 $r=0$ 类时奇点。虚线示出 $r=\text{常数}$ 曲面，箭头曲线示出可以避开奇点、穿过相继多个区域的类时轨迹。

上面这些内容有多少是科学，又有多少是科幻？大概没有多少属于科学。设想黑洞内部的一位观测者正要穿过 $r_{-}$ 处的事件视界；从这位观测者看到的世界来看，他们能够回望并看见外部（渐近平坦）宇宙的完整历史，至少是从黑洞处能看到的那部分历史。然而，他们只用有限的固有时就看完这段（无限漫长的）历史——因此，当他们接近 $r_{-}$ 时，任何抵达他们的信号都会发生无穷大的蓝移。所以，任何进入 RN 黑洞的非球对称微扰，都很可能剧烈扰动我们刚才描述的几何。实际几何将是什么样很难断言；没有充分理由相信，它必定包含无穷多个通过各种虫洞彼此相连的渐近平坦区域。[^6-5]

[^6-5]: 关于这一问题的一些研究，见 E. Poisson and W. Israel, Physical Review D 41, 1796 (1990)。

情形三：$G{M}^2={(Q/(4\pi ))}^2+{(P/(4\pi ))}^2$

这种情形称为极端 Reissner–Nordström 解。一方面，极端黑洞是个有趣的理论玩具；研究黑洞在量子引力中的作用时，经常考察这个解。在超对称理论中，极端黑洞可以保留某些对称性不被破坏，这会为计算提供很大便利。另一方面，它看来并不稳定，因为只要加入一点点物质，就会进入情形二。

极端黑洞的 $\mathrm{\Delta }(r)$ 只在一个半径 $r=GM$ 处为零。这个半径代表事件视界，但 $r$ 坐标从不成为类时坐标：它在 $r=GM$ 处成为类光坐标，在两侧都是类空坐标。与其他情形一样，$r=0$ 处的奇点是一条类时线。因此，对这个黑洞，你同样可以避开奇点，继续向未来进入渐近平坦区域的更多副本；不过，奇点总在“左侧”。共形图见图 6.5。

图 6.5　极端 Reissner–Nordström 解 $G{M}^2={(Q/(4\pi ))}^2+{(P/(4\pi ))}^2$ 的共形图。原点处有裸奇点，并有无穷多个外部区域。图左侧的竖直波浪线标为 $r=0$；相邻渐近平坦菱形区域由 $r=GM$ 的视界连接，图中还标出了 $r=\mathrm{\infty }$、${\mathcal{I}}^{\pm }$ 与 $i^0$。

极端黑洞有一项迷人性质：在某种意义上，质量恰好被电荷平衡。更具体地说，两个电荷取同号的极端黑洞会因引力彼此吸引，又因电磁力彼此排斥，而两种效应恰好抵消。事实上，可以找到耦合 Einstein–Maxwell 方程的精确解，用稳态构型表示任意多个这样的黑洞。为看清这一点，先回到 Reissner–Nordström 度规本身；为简单起见，只保留电荷，不考虑磁荷。在极端情形下，$G{M}^2={(Q/(4\pi ))}^2$，度规成为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.58}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=-{(1-\frac{GM}{r})}^2\mathrm{d}{t}^2+{(1-\frac{GM}{r})}^{-2}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2.\end{array}$$

定义平移后的径向坐标

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.59}\text{)}& \rho =r-GM,\end{array}$$

度规便具有各向同性形式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.60}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=-H^{-2}(\rho )\mathrm{d}{t}^2+H^2(\rho )[\mathrm{d}{\rho }^2+{\rho }^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2],\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.61}\text{)}& H(\rho )=1+\frac{GM}{\rho }.\end{array}$$

由于 $\mathrm{d}{\rho }^2+{\rho }^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$ 正是三维空间中的平直度规，也可把式 (6.60) 写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.62}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=-H^{-2}(\overrightarrow{x})\mathrm{d}{t}^2+H^2(\overrightarrow{x})[\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2],\end{array}$$

其中 $H$ 可写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.63}\text{)}& H=1+\frac{GM}{|\overrightarrow{x}|}.\end{array}$$

在原来的 $r$ 坐标中，极端解的电场可以用向量势 $A_{\mu }$ 表示为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.64}\text{)}& E_r=F_{rt}=\frac{Q}{4\pi r^2}={\partial }_r{A}_0,\end{array}$$

其中向量势的类时分量是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.65}\text{)}& A_0=-\frac{Q}{4\pi r},\end{array}$$

并设其空间分量为零（因为已把磁场设为零）。在新的 $\rho$ 坐标中，再利用极端条件 ${(Q/(4\pi ))}^2=G{M}^2$，它变成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.66}\text{)}& A_0=-\frac{\sqrt{G}M}{\rho +GM},\end{array}$$

等价地，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.67}\text{)}& \sqrt{G}{A}_0=H^{-1}-1.\end{array}$$

不过，现在暂且忘记我们已经知道 $H$ 服从式 (6.61)，只把度规 (6.62) 和静电势 (6.67) 代入 Einstein 方程与 Maxwell 方程；设想 $H$ 与时间无关（${\partial }_{0}H=0$），除此之外不加约束。可以直接证明（见习题），只要任意与时间无关的函数 $H(\overrightarrow{x})$ 满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.68}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^{2}H=0,\end{array}$$

两组方程便可同时成立，其中 ${\mathrm{\nabla }}^2={\partial }_x^2+{\partial }_y^2+{\partial }_z^2$。这正是 Laplace 方程；很容易写出全部在无穷远处行为良好的解，它们具有形式——

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.69}\text{)}& H=1+\sum _{a=1}^N\frac{G{M}_a}{|\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_a|},\end{array}$$

其中，${\overrightarrow{x}}_a$ 定义了某组 $N$ 个空间点。这些点描述 $N$ 个极端 RN 黑洞的位置；它们的质量为 $M_a$，按勘误后的电荷满足 $Q_a/(4\pi )=\sqrt{G}{M}_a$。这个多极端黑洞度规无疑是 Einstein 方程最非凡的精确解之一。

6.6 旋转的 Kerr 黑洞

我们还可以更深入地讨论带电解，不过现在转向旋转黑洞。由于放弃了球对称性，寻找这种度规的精确解困难得多。我们改为寻找这样的解：它们绕旋转轴具有轴对称性，同时还是稳态的（具有一个类时 Killing 向量）。Schwarzschild 解与 Reissner–Nordström 解在广义相对论创立后不久就已发现，而旋转黑洞的解直到 1963 年才由 Kerr 找到。他的结果——Kerr 度规——是下面这一大团表达式：

其中

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.71}\text{)}& \boxed{\mathrm{\Delta }(r)=r^2-2GMr+a^2}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.72}\text{)}& \boxed{{\rho }^2(r,\theta )=r^2+a^2{\cos }^2\theta }.\end{array}$$

两个常数 $M$ 和 $a$ 参数化了所有可能的解。验证质量 $M$ 等于 Komar 能量 (6.38) 很直接，但计算繁琐；而 $a$ 是单位质量的角动量，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.73}\text{)}& a=J/M,\end{array}$$

其中 $J$ 是 Komar 角动量 (6.48)。也很容易加入电荷 $Q/(4\pi )$ 和磁荷 $P/(4\pi )$：只需对 $2GMr$ 作如下替换——

$$2GMr⟶2GMr-G[{\left(\frac{Q}{4\pi }\right)}^2+{\left(\frac{P}{4\pi }\right)}^2].$$

所得结果就是 Kerr–Newman 度规。与之联系的一形式势有如下非零分量：

没有电荷时，所有本质现象仍然存在，所以从现在起令 $Q/(4\pi )=P/(4\pi )=0$。

坐标 $(t,r,\theta ,\varphi )$ 称为 Boyer–Lindquist 坐标。很容易检验，当 $a\to 0$ 时，它们退化为 Schwarzschild 坐标。不过，如果保持 $a$ 不变并令 $M\to 0$，会恢复平直时空，但所用坐标并非常见的极坐标。此时度规变为

可以认出，它的空间部分就是椭球坐标下的平直空间，如图 6.6 所示。它们与 Euclidean 三维空间的 Cartesian 坐标之间满足

度规 (6.70) 有两个一目了然的 Killing 向量：由于度规系数与 $t$、$\varphi$ 无关，$K={\partial }_t$ 和 $R={\partial }_{\varphi }$ 都是 Killing 向量。当然，$R^{\mu }$ 表示该解的轴对称性。向量 $K^{\mu }$ 不与 $t=\text{常数}$ 的超曲面正交；事实上，它与任何超曲面都不正交。因此，这个度规稳态但不——

图 6.6　Kerr 度规采用的椭球坐标 $(r,\theta )$。$r=0$ 是一个二维圆盘；$r=0$ 与 $\theta =\pi /2$ 的交集，是这个圆盘边界上的圆环。图中绘出 $r=\text{常数}$ 的同心椭圆与 $\theta =\text{常数}$ 的正交曲线，并标出焦点间尺度 $a$。

——静态。这很合理：黑洞在旋转，所以并不静态；但它在每个时刻都以完全相同的方式旋转，因而是稳态的。换一种说法，这个度规不可能静态，因为它在时间反演下不具有不变性；时间反演会反转黑洞的角动量。

Kerr 度规还拥有一个 Killing 张量。第 3 章把它定义为满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.77}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{(\lambda }{\sigma }_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n)}=0\end{array}$$

的任意对称 $(0,n)$ 张量 ${\sigma }_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}$。在 Kerr 几何中，可以定义 $(0,2)$ 张量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.78}\text{)}& {\sigma }_{\mu \nu }=2{\rho }^2{l}_{(\mu }{n}_{\nu )}+r^2{g}_{\mu \nu }.\end{array}$$

这个表达式中的两个向量 $l$ 和 $n$（指标已升起）为

两个向量都是类光的，并满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.80}\text{)}& l^{\mu }{l}_{\mu }=0,n^{\mu }{n}_{\mu }=0,l^{\mu }{n}_{\mu }=-1.\end{array}$$

利用这些定义，读者可以自行检验 ${\sigma }_{\mu \nu }$ 是 Killing 张量。

我们已经为 Kerr 选取了这样的坐标：事件视界位于满足 $g^{rr}=0$ 的固定 $r$ 值处。由于 $g^{rr}=\mathrm{\Delta }/{\rho }^2$ 且 ${\rho }^2\ge 0$，这发生在

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.81}\text{)}& \mathrm{\Delta }(r)=r^2-2GMr+a^2=0.\end{array}$$

与 Reissner–Nordström 解一样，有三种可能：、$GM=a$ 与 。最后一种情形含有裸奇点；极端情形 $GM=a$ 也像 Reissner–Nordström 时空一样不稳定。由于这些情形的物理意义较小，下面集中研究 。此时 $\mathrm{\Delta }$ 在两个半径处为零：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.82}\text{)}& r_{\pm }=GM\pm \sqrt{G^2{M}^2-a^2}.\end{array}$$

两个半径都是类光曲面，而且将会发现它们都是事件视界；图 6.7 给出了 Kerr 黑洞的侧视图。对这些曲面的分析与 Reissner–Nordström 情形十分相似；很容易找到贯穿视界的坐标。

由于 Kerr 时空稳态但不静态，$r_{\pm }$ 处的事件视界并非渐近时间平移 Killing 向量 $K={\partial }_t$ 的 Killing 视界。$K^{\mu }$ 的范数为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.83}\text{)}& K^{\mu }{K}_{\mu }=-\frac{1}{{\rho }^2}(\mathrm{\Delta }-a^2{\sin }^2\theta ).\end{array}$$

图 6.7　Kerr 解周围的视界结构（侧视图）。事件视界是类光曲面；越过它们以后，就不可能再返回空间中的某个特定区域。相比之下，稳态极限面除在与事件视界相切的地方（两极）以外都是类时的；越过它以后，观测者便不可能保持稳态。稳态极限面与外事件视界之间的能层是一个可以进入并再次离开、却不能保持稳态的区域。图中由内向外依次标出 $r=0$、内事件视界 $r_{-}$、外事件视界 $r_{+}$ 与稳态极限面；阴影区域为能层。

式 (6.83) 在外事件视界处并不为零；事实上，在 $r=r_{+}$（此处 $\mathrm{\Delta }=0$）有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.84}\text{)}& K^{\mu }{K}_{\mu }=\frac{a^2}{{\rho }^2}{\sin }^2\theta \ge 0.\end{array}$$

因此，除南北两极（$\theta =0,\pi$）处为类光以外，Killing 向量在外视界上已经是类空的。满足 $K^{\mu }{K}_{\mu }=0$ 的点轨迹当然就是稳态极限面，它由

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.85}\text{)}& (r-GM{)}^2=G^2{M}^2-a^2{\cos }^2\theta \end{array}$$

给出；外事件视界则由

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.86}\text{)}& (r_{+}-GM{)}^2=G^2{M}^2-a^2\end{array}$$

给出。因此，两张曲面之间有一个称为能层的区域。在能层内部，你必须沿黑洞旋转的方向（$\varphi$ 方向）运动；不过，你仍然可以朝事件视界靠近或远离它（而且离开能层毫无困难）。显然，即使尚未穿过视界，能层中也可能发生有趣的事情；稍后还会详细讨论。

在急着画共形图以前，需要先理解真正曲率奇点的性质。在这个时空中，奇点不在 $r=0$ 处，而在 $\rho =0$ 处（曲率不变量 $R_{\rho \sigma \mu \nu }{R}^{\rho \sigma \mu \nu }$ 在那里发散）。由于 ${\rho }^2=r^2+a^2{\cos }^2\theta$ 是两个显然非负的量之和，它只能——

——在两者都为零时消失，即

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.87}\text{)}& r=0,\theta =\frac{\pi }{2}.\end{array}$$

这个结果看起来有些奇怪，但请记住，$r=0$ 在空间中对应一个圆盘，而非一个点；点集 $r=0,\theta =\pi /2$ 实际上是这个圆盘边缘的圆环。旋转“软化”了 Schwarzschild 奇点，把它铺展成一个环。

如果穿进环内，会发生什么？仔细的解析延拓（这里不作推演）会揭示：你将进入另一个渐近平坦时空，但它并非原来那个时空的完全副本。新时空由 的 Kerr 度规描述。结果，$\mathrm{\Delta }$ 永不为零，也不存在视界。图 6.8 的共形图与 Reissner–Nordström 解非常相似，区别在于现在可以穿过奇点。由于 Kerr 度规没有球对称性，这幅共形图并不完全——

图 6.8　满足 的 Kerr 解之共形图。与类似的带电解一样，黑洞外部区域有无穷多个副本。图中交替出现 $r=+\mathrm{\infty }$ 与 $r=-\mathrm{\infty }$ 的类光无穷远，并由 $r_{+}$、$r_{-}$ 的视界相连；竖直的 $r=0$ 线只代表环所在的部分，类时轨迹可以绕过或穿越其余 $r=0$ 圆盘，进入负 $r$ 区域。图中还示出了若干 $r=\text{常数}$ 曲面与类时轨迹。

——像先前那些情形那样忠实；图上的一个点代表固定的 $t$ 与 $r$，而在不同 $\theta$ 值下会具有不同几何。

这些彼此分离、通过黑洞与我们所在区域相连的渐近平坦区域，已经具有通常的奇异之处；此外，环奇点附近还有额外的病态结构：闭合类时曲线。考虑沿 $\varphi$ 方向绕行的轨迹，同时保持 $\theta$、$t$ 不变，并让 $r$ 取一个绝对值很小的负值；沿这种路径的线元为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.88}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2\approx a^2(1+\frac{2GM}{r})\mathrm{d}{\varphi }^2,\end{array}$$

当 $r$ 是绝对值很小的负数时，它为负。这些路径本身是闭合的，所以显然是闭合类时曲线（CTC）。于是你可以在过去遇见自己，并承担由此带来的一切后果。

当然，我们对 Kerr 解析延拓所说的一切，都受制于讨论 Schwarzschild 与 Reissner–Nordström 时提到的同样警告：真实的引力坍缩大概不会产生这些古怪时空。尽管如此，拥有精确解总是很有用。此外，对 Kerr 度规来说，即使留在事件视界以外也会发生奇特现象；现在就来讨论这些现象。

先更仔细地考察黑洞的角速度。显然，传统的角速度定义必须稍加修改，才能用于时空度规这样抽象的对象。考虑 Kerr 黑洞赤道面（$\theta =\pi /2$）中，在某个半径 $r$ 处沿 $\varphi$ 方向发射的光子。发射瞬间，它的动量在 $r$ 或 $\theta$ 方向都没有分量，所以轨迹为类光的条件是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.89}\text{)}& \mathrm{d}{s}^2=0=g_{tt}\mathrm{d}{t}^2+g_{t\varphi }(\mathrm{d}t\mathrm{d}\varphi +\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}t)+g_{\varphi \varphi }\mathrm{d}{\varphi }^2.\end{array}$$

立即求解可得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.90}\text{)}& \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}=-\frac{g_{t\varphi }}{g_{\varphi \varphi }}\pm \sqrt{{\left(\frac{g_{t\varphi }}{g_{\varphi \varphi }}\right)}^2-\frac{g_{tt}}{g_{\varphi \varphi }}}.\end{array}$$

若在 Kerr 度规的稳态极限面上计算这个量，便有 $g_{tt}=0$，两个解是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.91}\text{)}& \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}=0,\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}=\frac{a}{2G^2{M}^2+a^2}.\end{array}$$

非零解与 $a$ 同号；我们把它解释为光子沿黑洞旋转的同一方向绕黑洞运动。零解意味着，逆着黑洞旋转方向发射的光子在这套坐标中完全不动。注意，我们并未给出光子轨迹的完整解，只表明它的瞬时速度为零。这是“惯性系拖曳”现象的一个例子；第 7 章的一道习题还会进一步探讨它。

有质量粒子的运动必定比光子慢，因此一旦进入稳态极限面以内，就必然被黑洞的旋转拖着一起运动。当接近 $r_{+}$ 处的外事件视界时，这种拖曳仍会继续；可以把事件视界自身的角速度 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}$ 定义为粒子在视界处的最小角速度。直接由式 (6.90) 得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.92}\text{)}& {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}={\left(\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}\right)}_{-}(r_{+})=\frac{a}{r_{+}^2+a^2}.\end{array}$$

6.7 Penrose 过程与黑洞热力学

黑洞热力学是广义相对论中最迷人、也最神秘的主题之一。不过，要抵达那里，先从一件看似非常直接的事情开始：Kerr 度规中的测地线运动。我们知道，考虑与 Killing 向量 $K={\partial }_t$ 和 $R={\partial }_{\varphi }$ 联系的守恒量，会简化这一讨论。就当前目的而言，只需研究有质量粒子；可以使用四动量

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.93}\text{)}& p^{\mu }=m\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau },\end{array}$$

其中 $m$ 是粒子的静质量。于是，可以把粒子的实际能量与角动量作为两个守恒量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.94}\text{)}& E=-K_{\mu }{p}^{\mu }=m(1-\frac{2GMr}{{\rho }^2})\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }+\frac{2mGMar}{{\rho }^2}{\sin }^2\theta \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}\tau },\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.95}\text{)}& L=R_{\mu }{p}^{\mu }=-\frac{2mGMar}{{\rho }^2}{\sin }^2\theta \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }+\frac{m(r^2+a^2{)}^2-m\mathrm{\Delta }{a}^2{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}{\sin }^2\theta \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}\tau }.\end{array}$$

这些定义与上一章使用的守恒量定义不同；在那里，$E$ 与 $L$ 取为单位质量的能量与角动量。当然，两种定义下它们都是守恒的。

$E$ 的定义中之所以有负号，是因为在无穷远处 $K^{\mu }$ 和 $p^{\mu }$ 都是类时的，所以它们的内积为负，而我们希望能量为正。然而在能层内部，$K^{\mu }$ 变成类空；于是可以设想存在满足

的粒子。

意识到所有位于稳态极限面以外的粒子都必须具有正能量，可以在一定程度上减轻我们的不安；因此，能层内的负能粒子要么留在能层中，要么在试图逃离时被加速，直至能量变为正值。

不过，这一认识仍然提供了从旋转黑洞提取能量的方法，称为 Penrose 过程。想法很简单：你在能层外备好一块大石头，朝黑洞跳去。把“你与石头”这一系统的四动量记为 $p^{(0)\mu }$，那么能量 $E^{(0)}=-K_{\mu }{p}^{(0)\mu }$ 肯定为正，并且在你沿测地线运动时守恒。进入能层以后，你用尽全力，以一种非常特定的方式把石头扔出去。把你的动量记为 $p^{(1)\mu }$，石头的动量记为 $p^{(2)\mu }$；在抛出的瞬间，动量像狭义相对论中一样守恒：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.97}\text{)}& p^{(0)\mu }=p^{(1)\mu }+p^{(2)\mu }.\end{array}$$

与 Killing 向量 $K_{\mu }$ 缩并，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.98}\text{)}& E^{(0)}=E^{(1)}+E^{(2)}.\end{array}$$

不过，若设想你有任意大的力量（以及任意高的准确度），就能按照式 (6.96) 安排投掷，使 。此外，Penrose 证明，可以像图 6.9 所示那样安排初始轨迹和投掷方式，使你随后沿测地线返回稳态极限面以外的外部宇宙。由于你的能量沿途守恒，最终将有——

图 6.9　Penrose 过程（俯视图）。一个物体落向 Kerr 黑洞，并在能层内分裂成两部分（位于稳态极限面以内、外事件视界以外）。一部分以负能量 $E^{(2)}$ 落入视界，另一部分则逃向无穷远，而且其能量大于最初落入物体的能量。图中标出入射四动量 $p^{(0)\mu }$、落入视界的 $p^{(2)\mu }$ 与逃逸的 $p^{(1)\mu }$。

也就是说，你出来时拥有的能量比进去时更多。

天下没有免费的午餐；你获得的能量必有来源，而来源就是黑洞。事实上，Penrose 过程通过减小旋转黑洞的角动量来提取能量：要让这个办法奏效，必须逆着黑洞的旋转方向扔出石头。为了更精确地看清这一点，回忆本章前面提出：稳态时空中的任意事件视界，都是某个 Killing 向量的 Killing 视界。对 Kerr 时空，这个向量是时间平移与旋转 Killing 向量的线性组合：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.100}\text{)}& {\chi }^{\mu }=K^{\mu }+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}{R}^{\mu },\end{array}$$

其中 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}$ 正是式 (6.92) 定义的视界角速度。利用 $K={\partial }_t$ 与 $R={\partial }_{\varphi }$，很容易验证 ${\chi }^{\mu }$ 在外事件视界上变成类光。动量为 $p^{(2)\mu }$ 的粒子“沿时间前进”穿过事件视界，只是说

代入 $E$ 与 $L$ 的定义，可见这个条件等价于

我们已经安排 $E^{(2)}$ 为负，而 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}$ 为正，所以粒子的角动量必须为负——它逆着黑洞的旋转方向运动。当你逃离能层、石头落入事件视界以后，黑洞的质量与角动量等于原来的值再加上石头的负贡献：

其中 $J=Ma$ 是黑洞角动量。于是式 (6.102) 变成角动量可减小多少的限制：

当抛入的石头越来越接近类光、这一极限被严格达到时，就得到“理想”过程，其中 $\delta J=\delta M/{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}$。

现在利用这些想法来验证：虽然可以用 Penrose 过程从黑洞提取能量（从而减小 $M$），但不能——

——违反面积定理：事件视界的面积单调不减。尽管质量减小，角动量也必须随之减小，两者只能按使面积增加的组合发生变化。为看清这一点，先计算外事件视界的面积。它位于

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.105}\text{)}& r_{+}=GM+\sqrt{G^2{M}^2-a^2}.\end{array}$$

令式 (6.70) 中 $r=r_{+}$（于是 $\mathrm{\Delta }=0$）、$\mathrm{d}t=0$、$\mathrm{d}r=0$，即可直接得到视界上的诱导度规 ${\gamma }_{ij}$（其中 $i,j$ 遍历 $\{\theta ,\varphi \}$）：

视界面积就是诱导体积元的积分：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.107}\text{)}& A=\int \sqrt{|\gamma |}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi .\end{array}$$

行列式为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.108}\text{)}& |\gamma |=(r_{+}^2+a^2{)}^2{\sin }^2\theta ,\end{array}$$

所以视界面积就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.109}\text{)}& A=4\pi (r_{+}^2+a^2).\end{array}$$

为了证明面积不会减小，改用黑洞的不可约质量会更方便。它定义为

对它求微分，经过一些运算，可得质量或角动量的变化如何影响 $M_{\mathrm{irr}}$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.111}\text{)}& \delta M_{\mathrm{irr}}=\frac{a}{4G{M}_{\mathrm{irr}}\sqrt{G^2{M}^2-a^2}}({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}^{-1}\delta M-\delta J).\end{array}$$

于是，限制 (6.104) 变成

不可约质量永远无法减小，其名称由此而来。因此，在把黑洞旋转减慢到零以前，可从中提取的最大能量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.113}\text{)}& M-M_{\mathrm{irr}}=M-\frac{1}{\sqrt{2}}{(M^2+\sqrt{M^4-(J/G{)}^2})}^{1/2}.\end{array}$$

完成全部提取以后，结果是一个质量为 $M_{\mathrm{irr}}$ 的 Schwarzschild 黑洞。事实证明，最优做法是从极端 Kerr 黑洞开始；这样可以提取其总能量的大约 $29\mathrm{\%}$。

$M_{\mathrm{irr}}$ 的不可约性立即意味着面积 $A$ 永远不能减小。由式 (6.110) 和 (6.111) 得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.114}\text{)}& \delta A=8\pi G\frac{a}{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}\sqrt{G^2{M}^2-a^2}}(\delta M-{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}\delta J),\end{array}$$

它可以改写为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.115}\text{)}& \delta M=\frac{\kappa }{8\pi G}\delta A+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}\delta J,\end{array}$$

其中引入了

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.116}\text{)}& \kappa =\frac{\sqrt{G^2{M}^2-a^2}}{2GM(GM+\sqrt{G^2{M}^2-a^2})}.\end{array}$$

当然，量 $\kappa$ 正是 Kerr 解的表面引力；把式 (6.100) 代入式 (6.9) 即可验证。

式 (6.115) 这样的方程最初使人们开始思考黑洞与热力学之间的对应。考虑热力学第一定律

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.117}\text{)}& \mathrm{d}E=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V,\end{array}$$

其中 $T$ 是温度，$S$ 是熵，$p$ 是压强，$V$ 是体积，所以 $p\mathrm{d}V$ 项表示我们对系统所做的功。把式 (6.115) 中的 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{H}}\delta J$ 看成我们通过向黑洞扔石头而对黑洞做的功，是很自然的。若把热力学的能量、熵和温度分别同黑洞的质量、面积和表面引力对应起来，这种对应便开始成形：

（请记住，我们采用 $\hslash =c=k=1$ 的单位制。）在经典广义相对论的语境下，这个类比几乎完美：每一条热力学定律都对应一条黑洞力学定律。处于热平衡的系统会趋于稳态，这对应一个稳态黑洞。热力学第零定律说，热平衡时温度在整个系统中保持常数；黑洞的对应说法是，稳态黑洞的表面引力在整个视界上保持常数。至少在那些使事件视界成为 Killing 视界的合理假设下，这个结论成立。正如已经看到的，第一定律 (6.117) 等价于式 (6.115)。熵永不减小的第二定律，直接对应视界面积永不减小的陈述。最后，第三定律通常说，任何物理过程都不可能达到 $T=0$，或者温度趋于零时熵也必须趋于零。对黑洞，这个对应并不完全奏效：事实表明 $\kappa =0$ 对应极端黑洞，而极端黑洞的面积未必为零。不过，热力学第三定律本身也并非处处成立，因为确有普通物理系统会违反它；第三定律适用于某些情形，却不是真正基础性的规律。

提出对应 (6.118) 时，我们稍微“作弊”了一点：把 $T\mathrm{d}S$ 与 $\kappa \mathrm{d}A/(8\pi G)$ 等同，并不能分别确定 $S/A$ 与 $T/\kappa$ 的归一化，只能确定它们的组合。不过，正如第 9 章将讨论的，Hawking 证明，黑洞背景中的量子场使黑洞能够以温度 $T=\kappa /(2\pi )$ 辐射。知道这一点后，便可把 $A/(4G)$ 解释为黑洞真正的熵。Bekenstein 提出了广义第二定律：物质与黑洞的总熵永不减小，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.119}\text{)}& \delta (S+\frac{A}{4G})\ge 0.\end{array}$$

在多种假设下，广义第二定律实际上可以得到证明。不过，我们通常喜欢把一个系统的熵同其可访问量子态数目的对数联系起来。这一概念与无毛定理之间便产生了某种张力：无毛定理表明，对电荷、质量与自旋固定的黑洞，可有的状态非常少（事实上，经典上只有一个）。这种现象很可能揭示了量子力学与引力相互作用的某种深刻性质。

6.8 习题

1. 证明：若 $H(\overrightarrow{x})$ 服从 Laplace 方程

   $$\begin{array}{}\text{(}\text{6.120}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}^{2}H=0,\end{array}$$

   则度规 (6.62) 与静电势 (6.67) 可以同时求解耦合的 Einstein–Maxwell 方程。

2. 考虑 Kerr 黑洞赤道面内无质量粒子的轨道，以 $\lambda$ 为仿射参数。

(a) 证明

$$\begin{array}{}\text{(}\text{6.121}\text{)}& {\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda }\right)}^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^2}{{\rho }^4}(E-L{W}_{+}(r))(E-L{W}_{-}(r)),\end{array}$$

其中

$${\mathrm{\Sigma }}^2=(r^2+a^2{)}^2-a^2\mathrm{\Delta }(r){\sin }^2\theta ,$$

$E$ 与 $L$ 是守恒的能量和角动量；你还需要求出 $W_{\pm }(r)$ 的表达式。

(b) 利用上述结果，并假定 ${\mathrm{\Sigma }}^2$ 处处大于零，证明赤道面内的光子轨道在外事件视界 $r_{+}$ 以内不可能有转向点。这意味着入射光线一旦穿过 $r_{+}$ 就无法逃出，所以它的确是事件视界。

3. 在电磁场存在时，电荷为 $e$、质量为 $m$ 的粒子服从

   $$\begin{array}{}\text{(}\text{6.122}\text{)}& \frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\tau }^2}+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\rho \sigma }\frac{\mathrm{d}{x}^{\rho }}{\mathrm{d}\tau }\frac{\mathrm{d}{x}^{\sigma }}{\mathrm{d}\tau }=\frac{e}{m}{F}^{\mu }{}_{\nu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}\tau }.\end{array}$$

   设这样一个粒子在质量为 $M$、按勘误后电荷为 $Q/(4\pi )$ 的 Reissner–Nordström 黑洞场中运动。

   (a) 证明能量

   $$\begin{array}{}\text{(}\text{6.123}\text{)}& E=m[1-\frac{2GM}{r}+\frac{G{\left({\displaystyle \frac{Q}{4\pi }}\right)}^2}{r^2}]\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }+\frac{eQ}{4\pi r}\end{array}$$

   守恒。

   (b) 对带电黑洞，Penrose 型过程能否奏效？对最大的物理过程，黑洞质量的变化 $\delta M$ 是多少？

4. 考虑静态坐标下的 de Sitter 空间：

   $$\mathrm{d}{s}^2=-(1-\frac{\mathrm{\Lambda }}{3}{r}^2)\mathrm{d}{t}^2+\frac{\mathrm{d}{r}^2}{1-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Lambda }}{3}}{r}^2}+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2.$$

   这个空间有一个 Killing 向量 ${\partial }_t$；它在 $r=0$ 附近为类时，在一张 Killing 视界上为类光。求 Killing 视界的径向位置 $r_{\mathrm{K}}$。这张视界的表面引力 $\kappa$ 是多少？作替换 $t\to i\tau$，考虑所得 de Sitter 空间的 Euclidean 号差版本。证明：只要令 $\tau$ 具有周期性，就能作一个坐标变换，使 Euclidean 度规在视界处正则。

5. 一个观测者沿周长为 $2\pi R$ 的圆轨道绕质量为 $M$、按勘误后电荷为 $Q/(4\pi )$ 的 Reissner–Nordström 黑洞运行。这个观测者看到的磁场是什么？

6. 考虑一个 Kerr 黑洞，其赤道面内有一个质量可忽略不计的吸积盘。假定盘中粒子沿测地线运动（即忽略任何压强支撑）。再设盘中含有一些铁原子，它们正被某个辐射源激发。铁原子退激发时会发出辐射；在原子自身静止系中测得的辐射频率为已知的 ${\nu }_0$。假设我们在远离黑洞处探测这种辐射（并且也位于赤道面内）。从盘的两侧边缘以及盘中心发出的光子，其观测频率分别是多少？分别考虑吸积盘与黑洞沿相同方向、相反方向旋转的情形。能否利用这些测量确定黑洞的质量与角动量？

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