05｜线性代数与指标记号

上一篇：四条麦克斯韦方程 · 返回系列目录 · 下一篇：狭义相对论

三维麦克斯韦方程把时间和空间分开书写。但进入相对论后，时间与空间坐标就像是被揉进同一个面团里，换个观察者去看，时空网格就会发生倾斜和混合。为了在这么复杂的网格里准确追踪电磁场是怎么扭动的，我们需要一种自带“跟踪定位”功能的语言。这个语言就是线性代数、指标记号和张量——你可以把张量想象成一个高级的风向标，不管你怎么转动坐标系，它永远指着物理实体最真实的方向。

本篇的目标是读懂：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }.$$

1. 向量等于几何对象加一组分量

选定一组基底 $\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3\}$ 后，向量可以写成：

$$\mathbf{v}=v^1{\mathbf{e}}_1+v^2{\mathbf{e}}_2+v^3{\mathbf{e}}_3.$$

使用爱因斯坦求和约定，可以缩写为：

$$\boxed{\mathbf{v}=v^i{\mathbf{e}}_i}.$$

同一个指标 $i$ 在一项中出现两次，就表示对它的所有取值求和：

$$v^i{\mathbf{e}}_i\equiv \sum _{i=1}^3{v}^i{\mathbf{e}}_i.$$

向量 $\mathbf{v}$ 本身不依赖坐标，但分量 $v^i$ 会随基底变化。

2. 为什么分量要反向变换

设新基底由旧基底线性组合而成：

$${\mathbf{e}}_i^{\prime }=M^j{}_i{\mathbf{e}}_j.$$

同一个向量在新基底下写成：

$$\mathbf{v}=v^{\prime i}{\mathbf{e}}_i^{\prime }.$$

代入新基底：

$$\mathbf{v}=v^{\prime i}{M}^j{}_i{\mathbf{e}}_j.$$

另一方面：

$$\mathbf{v}=v^j{\mathbf{e}}_j.$$

比较 ${\mathbf{e}}_j$ 的系数：

$$v^j=M^j{}_i{v}^{\prime i}.$$

所以：

$$\boxed{v^{\prime i}={\left(M^{-1}\right)}^i{}_j{v}^j}.$$

基底朝一个方向变化，分量必须用逆矩阵变化，二者结合后才能表示同一个几何向量。打个比方，如果你把量尺上的刻度间距拉长了一倍（基底变大），那同一个物体的测量读数就会缩水成原来的一半（分量变小）。这一进一退的抵消，正好保证了物体本身的实际长度在现实空间中纹丝不动。

3. 对偶向量与上下指标

定义对偶基底 $\{{\mathbf{e}}^1,{\mathbf{e}}^2,{\mathbf{e}}^3\}$，满足：

$${\mathbf{e}}^i({\mathbf{e}}_j)={\delta }^i{}_j,$$

其中克罗内克符号为：

对偶向量又称协向量，可以写成：

$$\omega ={\omega }_i{\mathbf{e}}^i.$$

它作用在向量上得到标量：

$$\omega (\mathbf{v})={\omega }_i{v}^i.$$

这里一个下标与一个上标相同，所以自动求和。

在平坦方正的欧几里得网格里，上下指标就像是在平地上走路，数值看起来完全没有差别。但进入闵可夫斯基时空后，时间方向的度规多了一个负号，这就好比你所在的网格突然有了一些深坑和高山地形，这时候严格区分“指出方向的箭头（上指标）”和“丈量落差的等高线（下指标）”就变得尤为重要了。

4. 度规怎样升降指标

度规张量 $g_{\mu \nu }$ 定义两个向量的内积：

$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=g_{\mu \nu }{u}^{\mu }{v}^{\nu }.$$

它可以把上指标变成下指标：

$$\boxed{v_{\mu }=g_{\mu \nu }{v}^{\nu }}.$$

逆度规满足：

$$g^{\mu \alpha }{g}_{\alpha \nu }={\delta }^{\mu }{}_{\nu },$$

因此可以把指标升回去：

$$\boxed{v^{\mu }=g^{\mu \nu }{v}_{\nu }}.$$

在号差为 $(+,-,-,-)$ 的闵可夫斯基时空中：

$${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1).$$

如果：

$$v^{\mu }=(v^0,v^1,v^2,v^3),$$

那么：

$$v_{\mu }=(v^0,-v^1,-v^2,-v^3).$$

缩并得到洛伦兹标量：

$$v_{\mu }{v}^{\mu }=(v^0{)}^2-(v^1{)}^2-(v^2{)}^2-(v^3{)}^2.$$

5. 张量的含义

坐标做线性变换：

$$x^{\prime \mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{x}^{\nu }.$$

一个四维向量按同样方式变换：

$$V^{\prime \mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{V}^{\nu }.$$

二阶逆变张量有两个上指标，每个指标都要乘一个变换矩阵：

$$\boxed{T^{\prime \mu \nu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }{\mathrm{\Lambda }}^{\nu }{}_{\beta }{T}^{\alpha \beta }}.$$

二阶协变张量则使用逆变换：

$$T_{\mu \nu }^{\prime }={\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}^{\alpha }{}_{\mu }{\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}^{\beta }{}_{\nu }{T}_{\alpha \beta }.$$

“张量”这一名称的核心含义其实就藏在它那严格的变换规律里。不管你是站在原地不动，还是坐着火箭以接近光速飞奔，不同观察者测出来的数字分量肯定五花八门。但妙就妙在，这些数字就像拉满弦的弓一样，在背地里严丝合缝地按固定比例此消彼长，拼凑在一起共同维护着那个绝对不变的真实物理对象。

6. 反对称张量为什么有六个独立分量

电磁场张量满足：

$$F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }.$$

令 $\mu =\nu$：

$$F^{\mu \mu }=-F^{\mu \mu },$$

所以：

$$F^{\mu \mu }=0.$$

这意味着矩阵的对角线全军覆没，必须是零。而且上三角区域和下三角区域里的数字就像照镜子一样，大小一样但符号相反。这种“你多我就少，你进我就退”的反对称性质，恰好就像水流转动或者跷跷板一样，因此我们只需要从这里面挑出两种不同指标的无序组合，就能把所有有用的信息抓在手里了。

在 $n$ 维空间中，独立分量数为：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})=\frac{n(n-1)}{2}.$$

四维时：

$$\frac{4(4-1)}{2}=6.$$

一般的四维反对称张量可写成：

这六个位置恰好可以容纳三个电场分量和三个磁场分量。

7. 列维-奇维塔符号

三维列维-奇维塔符号定义为：

叉积可以写成：

$$\boxed{{(\mathbf{a}\times \mathbf{b})}_i={\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k}.$$

以 $i=1$ 为例，只有 $(j,k)=(2,3)$ 和 $(3,2)$ 两项不为零：

旋度也可以写成：

$$\boxed{{(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{A}_k},$$

其中：

$${\partial }_j\equiv \frac{\partial }{\partial x^j}.$$

散度则是：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}={\partial }_i{A}_i}.$$

你看，散度就像是算出水流从某个点往外源源不断涌出的速度，而旋度则是测量水流在某个点打转产生旋涡的力度。在这里，这些大家已经很熟的三维点积、叉积、散度和旋度，全都可以被扒掉原本繁琐的外衣，用这一套干净利落的指标语言统一降维打击。

8. 四维导数与四维电流

取四维坐标：

$$x^{\mu }=(ct,x,y,z).$$

对坐标求偏导得到下指标算符：

$$\boxed{{\partial }_{\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla })}.$$

四维电流定义为：

$$\boxed{J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{J})}.$$

把指标缩并：

这等于是在说，在时空的任意一个角落，既凭空生不出电荷，也凭空消失不了电荷，就像一个蓄水池，水流出去了多少，里面的水位就得老老实实降多少。所以原本直观但也稍长了点的电荷连续性方程，就这样被极其紧凑地压缩成了一个短短的式子：

$$\boxed{{\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0}.$$

9. 怎样阅读 ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }$

在：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }$$

中，$\mu$ 出现两次，是求和指标；$\nu$ 只出现一次，是自由指标。因此：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\partial }_0{F}^{0\nu }+{\partial }_1{F}^{1\nu }+{\partial }_2{F}^{2\nu }+{\partial }_3{F}^{3\nu }.$$

自由指标 $\nu$ 可以分别取 $0,1,2,3$，所以这一行实际上包含四个方程：

$$\{\begin{array}{l}{\partial }_{\mu }{F}^{\mu 0}={\mu }_0{J}^0,\\ {\partial }_{\mu }{F}^{\mu 1}={\mu }_0{J}^1,\\ {\partial }_{\mu }{F}^{\mu 2}={\mu }_0{J}^2,\\ {\partial }_{\mu }{F}^{\mu 3}={\mu }_0{J}^3.\end{array}$$

第七篇会逐项展开它们，看到第一行给出电场高斯定律，后三行共同给出安培—麦克斯韦定律。

10. 本篇结论

进入四维表达前，最重要的规则是：

1. 重复一次的上、下指标要自动求和；
2. 只出现一次的指标是自由指标，代表一组方程；
3. 度规负责升降指标；
4. 每个张量指标都按照对应的坐标变换规律变化；
5. 四维反对称张量有六个独立分量，正好容纳 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$。

上一篇：四条麦克斯韦方程 · 返回系列目录 · 下一篇：狭义相对论