时空间隔与洛伦兹变换

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为什么把空间与时间合为时空

我们将先快速巡览狭义相对论（special relativity，SR）以及平直时空中的物理。这样做有两个目的：一是回顾狭义相对论的核心内容，二是在暂不引入曲率所带来的额外复杂性的情况下，介绍张量及其相关概念；这些工具在后文中至关重要。因此，本节始终讨论平直时空，并且只采用正交归一的、类似笛卡尔坐标的坐标系。当然，你完全可以在任意坐标系中研究狭义相对论；然而，要引入为此所需的工具，我们差不多就已经走到弯曲空间的半途了，所以暂且把这件事留到以后。

人们常说，狭义相对论是一套关于四维时空的理论：三个空间维度和一个时间维度。不过，狭义相对论出现之前的 Newton 力学世界同样有三个空间维度和一个时间参数。尽管如此，人们当时很少想把它们视为同一个四维时空的不同方面。这是为什么？

图 1.1：Newton 物理学把每个固定时刻的三维空间视为绝对切片。

考虑一个普通的二维平面。通常，为平面上的点引入坐标会很方便。例如，我们可以定义相互正交的 $x$ 轴和 $y$ 轴，再按通常的方法把每一点投影到这两条轴上。然而，显然，关于这个平面的大多数有趣几何事实都不依赖于我们对坐标的选择。一个简单的例子是两点之间的距离，它由下式给出：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.1}\text{)}& s^2=(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2.\end{array}$$

在另一个笛卡尔坐标系中，$x^{\prime }$ 轴和 $y^{\prime }$ 轴相对于原坐标轴发生了旋转，而距离公式保持不变：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.2}\text{)}& s^2=(\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }{)}^2+(\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }{)}^2.\end{array}$$

因此，我们说距离在这种坐标变换下具有不变性。

图 1.2：旋转坐标轴会改变坐标分量，但不会改变两点间的距离。

这说明了为什么把平面看成二维对象很有用：虽然我们用两个彼此不同的数来标记每一个点，但这些数本身并非几何的实质，因为我们可以让坐标轴相互旋转，同时保持距离等几何量不变。在 Newton 物理学中，空间和时间之间并不具有这种性质；不存在一种有用的方式，可以把空间与时间相互旋转。相反，“某一时刻的全部空间”这一观念具有独立于坐标的意义。

狭义相对论中的情况不同。考虑时空上的坐标 $(t,x,y,z)$，并按如下方式建立它们。空间坐标 $(x,y,z)$ 构成一个标准笛卡尔坐标系，例如可以把彼此成直角的刚性标尺焊接在一起来构造它。这些标尺必须做无加速的自由运动。时间坐标由一组相对于空间坐标静止的时钟定义。（因为这是一个思想实验，我们设想标尺无限长，而且空间中的每一点都有一只时钟。）这些时钟按如下意义同步：如果你以恒定速度沿直线从空间中的一点前往任意另一点，那么旅程两端时钟的时间差，应当与以相同速度沿相反方向完成同一段路程时的时间差相同。这样构造出来的坐标系称为惯性参考系（inertial frame）。

时空间隔与惯性参考系

一个事件（event）定义为空间与时间中的一个特定瞬间，可由 $(t,x,y,z)$ 唯一刻画。现在先不追问动机，让我们引入两个事件之间的时空间隔（spacetime interval）：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.3}\text{)}& s^2=-(c\mathrm{\Delta }t{)}^2+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2+(\mathrm{\Delta }z{)}^2.\end{array}$$

（请注意，即使两个点并不相同，这个量也可以为正、为负或为零。）这里的 $c$ 是空间与时间之间的某个固定换算因子，也就是一个固定速度。它当然最终会被证明是光速。光子恰好以这个速度传播这一事实并非关键；真正重要的性质在于，存在这样一个 $c$，使时空间隔在坐标变换下保持不变。换言之，我们重复前面的步骤建立一个新的惯性参考系 $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$，并允许新旧标尺的初始位置、方向和速度彼此存在偏移，此时间隔仍然不变：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.4}\text{)}& s^2=-(c\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }{)}^2+(\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }{)}^2+(\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }{)}^2+(\mathrm{\Delta }{z}^{\prime }{)}^2.\end{array}$$

正因如此，把狭义相对论理解为关于四维时空的理论才是合理的；这个四维时空称为Minkowski 空间（Minkowski space）。（它是四维流形的一种特殊情形，我们稍后会详细讨论流形。）我们将看到，前面隐含定义的坐标变换确实会在某种意义上把空间和时间相互“旋转”。“同时发生的事件”没有绝对含义；两件事是否同时发生，取决于所用的坐标。因此，把 Minkowski 空间划分为空间与时间，是我们出于自身目的作出的选择，并非这一情形所固有的结构。

与狭义相对论相关的几乎所有“悖论”，都源于人们顽固地保留了 Newton 式观念，即时间坐标是唯一的，并且存在“某一时刻的空间”。一旦改用完整时空的视角来思考，这些悖论通常就会消失。

四维坐标、自然单位与度规

下面引入一些方便的记号。时空坐标将用带有希腊字母上标指标的量表示，指标取值从 $0$ 到 $3$，其中 $0$ 通常表示时间坐标。因此，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.5}\text{)}& x^{\mu }:\begin{array}{c}{x}^0=ct\\ x^1=x\\ x^2=y\\ x^3=z\end{array}\end{array}$$

（不要把这些上标当成幂。）此外，为了简化表达，我们选取如下单位制：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.6}\text{)}& c=1;\end{array}$$

因此，在后续所有公式中，我们都会省略 $c$ 的因子。经验告诉我们，$c$ 是光速，即每秒 $3\times {10}^8$ 米；所以，我们所用的单位制把 1 秒等同于 $3\times {10}^8$ 米。有时分别指称 $x^{\mu }$ 的空间分量和时间分量会很方便，因此，我们将用拉丁字母上标专门表示空间分量：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.7}\text{)}& x^i:\begin{array}{c}{x}^1=x\\ x^2=y\\ x^3=z\end{array}\end{array}$$

把时空间隔写成更紧凑的形式也很方便。为此，我们引入一个 $4\times 4$ 矩阵，称为度规（metric），并用两个下标来书写它：

（一些参考资料，尤其是场论教材，会采用符号恰好相反的度规，因此要多加留意。）于是可以得到一个简洁的公式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.9}\text{)}& s^2={\eta }_{\mu \nu }\mathrm{\Delta }{x}^{\mu }\mathrm{\Delta }{x}^{\nu }.\end{array}$$

请注意，我们采用了求和约定（summation convention）：凡是同一个指标分别以一次上标和一次下标出现，就要对它求和。因此，式 (1.9) 的内容与式 (1.3) 完全相同。

保持间隔不变的坐标变换

现在，我们可以在比前面更抽象的层次上考察时空中的坐标变换。什么样的变换会让间隔 (1.9) 保持不变？一个简单类别是平移，它只会整体移动坐标：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.10}\text{)}& x^{\mu }\to x^{{\mu }^{\prime }}=x^{\mu }+a^{\mu },\end{array}$$

其中 $a^{\mu }$ 是四个固定的数。（请注意，撇号加在指标上，而没有加在 $x$ 上。）平移不会改变差值 $\mathrm{\Delta }{x}^{\mu }$，所以间隔不变并不令人惊讶。另一类线性变换是用一个不依赖时空位置的矩阵乘以 $x^{\mu }$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.11}\text{)}& x^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\nu }{x}^{\nu },\end{array}$$

或者用更常规的矩阵记号写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.12}\text{)}& x^{\prime }=\mathrm{\Lambda }x.\end{array}$$

这些变换不会保持差值 $\mathrm{\Delta }{x}^{\mu }$ 原封不动，而是也会用矩阵 $\mathrm{\Lambda }$ 乘以这些差值。什么样的矩阵能让间隔保持不变？继续采用矩阵记号，我们希望满足

因而有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.14}\text{)}& \eta ={\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{T}}\eta \mathrm{\Lambda },\end{array}$$

或者写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.15}\text{)}& {\eta }_{\rho \sigma }={\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\rho }{\mathrm{\Lambda }}^{{\nu }^{\prime }}{}_{\sigma }{\eta }_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}.\end{array}$$

我们要找出这样的矩阵 ${\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\nu }$，使矩阵 ${\eta }_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}$ 的各个分量与 ${\eta }_{\rho \sigma }$ 的相应分量相同；这正是间隔在这些变换下保持不变的含义。

Lorentz 群、旋转与 boost

满足 (1.14) 的矩阵称为Lorentz 变换（Lorentz transformations）；它们的集合在矩阵乘法下构成一个群，称为Lorentz 群（Lorentz group）。这个群与三维空间中的旋转群 O(3) 有着密切的类比。旋转群可以看成满足下式的 $3\times 3$ 矩阵 $R$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.16}\text{)}& \mathbf{1}=R^{\mathrm{T}}\mathbf{1}R,\end{array}$$

其中 1 是 $3\times 3$ 单位矩阵。它与 (1.14) 的相似性应当很清楚；唯一差异是度规 $\eta$ 的第一项带有负号，表示类时方向。因此，Lorentz 群经常记作 O(3,1)。（$3\times 3$ 单位矩阵就是普通平直空间的度规。所有特征值均为正的度规称为欧几里得型（Euclidean），而像 (1.8) 这样含有一个负号的度规则称为Lorentz 型（Lorentzian）。）

Lorentz 变换可以分为若干类别。首先是常规的旋转，例如 $x$-$y$ 平面内的旋转：

旋转角 $\theta$ 是一个以 $2\pi$ 为周期的周期变量。此外还有 boost，可以把它想成“空间方向与时间方向之间的旋转”。一个例子是

与旋转角不同，boost 参数 $\varphi$ 的取值范围是 $-\mathrm{\infty }$ 到 $\mathrm{\infty }$。此外还有一些离散变换，它们会反转时间方向或反转一个乃至多个空间方向。（排除这些变换后，得到的就是正 Lorentz 群 SO(3,1)。）一般的变换可以通过把这些单独的变换相乘得到；完整写出这个含六个参数的矩阵——三个 boost 参数和三个旋转参数——既不美观，也没有足够用途，所以不必费力写下它。一般来说，Lorentz 变换彼此不可交换，因而 Lorentz 群是非阿贝尔群。由全部平移和 Lorentz 变换共同组成的集合，是一个含十个参数的非阿贝尔群，称为 Poincaré 群（Poincaré group）。

boost 与匀速运动参考系

得知 boost 对应于切换到一个以恒定速度运动的参考系，你应该不会感到意外；不过，我们还是更明确地看一下。对于 (1.18) 给出的变换，变换后的坐标 $t^{\prime }$ 和 $x^{\prime }$ 为

由此可见，满足 $x^{\prime }=0$ 的点正在运动；它的速度是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.20}\text{)}& v=\frac{x}{t}=\frac{\sinh \varphi }{\cosh \varphi }=\tanh \varphi .\end{array}$$

若要换成熟悉一些的记号，可以用 $\varphi ={\tanh }^{-1}v$ 代换，从而得到

其中 $\gamma =1/\sqrt{1-v^2}$。由此可见，我们的抽象方法确实重新得到了 Lorentz 变换的常见表达式。应用这些公式便会导出时间膨胀、长度收缩等结果。

时空图与光锥

时空图（spacetime diagram）是一项极为有用的工具，下面就从这个角度考察 Minkowski 空间。我们可以先把原来的 $t$ 轴和 $x$ 轴画成（按照通常观念）彼此成直角，并略去 $y$ 轴和 $z$ 轴。根据 (1.19)，在 $x$-$t$ 平面内进行 boost 后，$x^{\prime }$ 轴（$t^{\prime }=0$）由 $t=x\tanh \varphi$ 给出，而 $t^{\prime }$ 轴（$x^{\prime }=0$）由 $t=x/\tanh \varphi$ 给出。因此可以看到，空间轴和时间轴会相互旋转，但它们会像剪刀合拢一样靠近，并不会保持传统 Euclid 意义下的正交。（我们将会看到，这些轴在 Lorentz 意义下其实仍然正交。）这一点不应令人惊讶：倘若时空的行为完全就像空间的四维版本，世界将会变得大不相同。

图 1.3：boost 使空间轴和时间轴彼此靠拢，而光线 x = ±t 保持不变。

考察以速度 $c=1$ 运动所对应的路径也很有启发。这些路径在原坐标系中由 $x=\pm t$ 给出。在新坐标系中，稍加思考便会发现，由 $x^{\prime }=\pm t^{\prime }$ 定义的路径恰好与 $x=\pm t$ 定义的路径相同；这些轨迹在 Lorentz 变换下保持不变。我们当然知道光以这个速度传播；由此已经得到，光速在任何惯性参考系中都相同。所有能够通过以光速运动的直线与某个事件相连的点，组成这个事件的一个光锥（light cone）；整个点集在 Lorentz 变换下保持不变。光锥自然分为未来光锥和过去光锥。对于一点 $p$，位于其未来光锥或过去光锥内部的所有点都称为与 $p$ 类时分离（timelike separated）；光锥外部的点则与该点类空分离（spacelike separated）；光锥上的点则与 $p$ 类光分离（lightlike separated）或零分离（null separated）。回看 (1.3) 可知，类时分离的点之间间隔为负，类空分离的点之间间隔为正，零分离的点之间间隔为零。（这里把间隔定义为 $s^2$，并没有取这个量的平方根。）请注意，这与 Newton 世界中的情形有明显区别：对于一个与 $p$ 类空分离的点，我们无法以坐标无关的方式断言它位于 $p$ 的未来、位于 $p$ 的过去，或与之“同时”。

要进一步探究 Minkowski 空间的结构，就有必要引入向量与张量的概念。我们先从大家应当熟悉的向量开始。当然，时空中的向量是四维的，通常称为四维向量（four-vector）。这一点会造成相当重要的差异；例如，两个四维向量之间不存在叉积。

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