等距映射与 Killing 向量

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张量的对称性

本节建立的这套机制还有最后一个用途：研究张量的对称性。若张量 $T$ 在微分同胚 $\varphi$ 下拉回后保持不变，我们就说 $\varphi$ 是 $T$ 的一个对称性（symmetry）：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.39}\text{)}& {\varphi }_{\ast }T=T.\end{array}$$

对称性可以是离散的，但更常见的情形是存在单参数对称族 ${\varphi }_t$。如果这个族由向量场 $V^{\mu }(x)$ 生成，那么 (5.39) 就相当于

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.40}\text{)}& {\text{£}}_{V}T=0.\end{array}$$

由 (5.25) 可知，对称性的一个推论是：如果 $T$ 在某个单参数微分同胚族下对称，我们总能找到一个坐标系，使 $T$ 的全部分量都与其中一个坐标无关（即向量场的积分曲线坐标）。逆命题也成立；如果所有分量都与某个坐标无关，那么与该坐标相伴的偏导向量场就生成张量的一个对称性。

等距映射与 Killing 方程

最重要的对称性是度量的对称性，此时 ${\varphi }_{\ast }{g}_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }$。这种微分同胚称为等距映射（isometry）。如果一个单参数等距映射族由向量场 $V^{\mu }(x)$ 生成，那么 $V^{\mu }$ 称为 Killing 向量场（Killing vector field）。因此，$V^{\mu }$ 成为 Killing 向量的条件是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.41}\text{)}& {\text{£}}_V{g}_{\mu \nu }=0,\end{array}$$

或者根据 (5.33)，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.42}\text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{(\mu }{V}_{\nu )}=0.\end{array}$$

后一种形式就是 Killing 方程（Killing’s equation）。如果一个时空具有 Killing 向量，我们便知道可以找到一个坐标系，使度量与其中一个坐标无关。

自由粒子运动的守恒量

关于 Killing 向量，最有用的事实远远超过其他性质：Killing 向量意味着自由粒子运动具有相应的守恒量。若 $x^{\mu }(\lambda )$ 是一条测地线，其切向量为 $U^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\lambda$，而 $V^{\mu }$ 是 Killing 向量，则

其中第一项因 Killing 方程而消失，第二项则因 $x^{\mu }(\lambda )$ 是测地线而消失。因此，量 $V_{\mu }{U}^{\mu }$ 沿粒子的世界线守恒。这可以从物理上理解：按照定义，度量沿 Killing 向量的方向不发生变化。粗略地说，自由粒子因而不会在这个方向感受到任何“力”，其动量在该方向的分量自然就会守恒。

最大对称空间

很久以前，我们曾提到最大对称空间的概念，却没有给出严格定义。严格地说，最大对称空间（maximally symmetric space）拥有数目尽可能多的 Killing 向量；在 $n$ 维流形上，这个数目是 $n(n+1)/2$。我们不打算证明这一陈述，但从非严格的层面很容易理解它。考虑欧氏空间 ${\mathbf{R}}^n$，它的等距映射为我们所熟知：平移与旋转。一般来说，共有 $n$ 个平移，对应于我们能够移动的每一个方向。另有 $n(n-1)/2$ 个旋转；对于 $n$ 个维度中的每一个，都有 $n-1$ 个方向可以把它转过去，但必须除以二以免重复计数（把 $x$ 旋转到 $y$ 与把 $y$ 旋转到 $x$ 是同一件事的两个版本）。因此，我们共有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.44}\text{)}& n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\end{array}$$

个彼此独立的 Killing 向量。同样的计数论证也适用于带曲率的最大对称空间（例如球面），或具有非欧氏符号差的最大对称空间（例如闵可夫斯基空间），只是细节略有不同。

通过观察寻找 Killing 向量

在任意给定时空中，真正解出 Killing 方程可能简单，也可能并不简单；不过，我们经常可以直接通过观察写出一些 Killing 向量。（当然，“一般的”度量根本没有 Killing 向量，但为了让问题保持简单，我们往往处理具有高度对称性的度量。）例如，在度量为 $d{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2$ 的 ${\mathbf{R}}^2$ 中，度量分量与 $x$ 和 $y$ 无关这一点立刻给出两个 Killing 向量：

它们显然表示两个平移。若使用极坐标，唯一的旋转对应于向量 $R=\partial /\partial \theta$；换到笛卡尔坐标，它成为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{5.46}\text{)}& R^{\mu }=(-y,x).\end{array}$$

你可以亲自检验，它确实满足 Killing 方程。

请注意，在 $n\ge 2$ 维中，Killing 向量的数目可能多于维数。这是因为一组 Killing 向量场可以线性无关，即使在流形的任意一个点处，它们在该点给出的向量是线性相关的。很容易证明（所以你应该自己动手）Killing 向量以常数为系数的线性组合仍是 Killing 向量（在这种情形下，这个线性组合不算一个独立的 Killing 向量）；但若系数随流形上的位置变化，结论未必成立。你还会证明，两个 Killing 向量场的对易子仍然是 Killing 向量场；知道这一点非常有用，不过对易子给出的向量场可能并不线性独立（也可能直接为零）。因此，寻找一个度量的全部 Killing 向量是个颇为棘手的问题，因为有时很难判断究竟应当在什么时候停止寻找。

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