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讲义信息、目录与前言
Sean M. Carroll，《广义相对论讲义》（Lecture Notes on General Relativity），1997 年 12 月，arXiv:gr-qc/9712019v1。
原讲义信息
作者：Sean M. Carroll
作者当时所在机构：加利福尼亚大学圣塔芭芭拉分校理论物理研究所
原稿日期：1997 年 12 月
摘要
这份讲义大致包含一个学期的课程内容，面向刚开始学习广义相对论的物理学研究生。涉及的主题包括流形、黎曼几何、爱因斯坦方程，以及三类应用：引力辐射、黑洞和宇宙学。各章的独立版本以及可能更新过的版本，原先可以从 Carroll 的讲义网页取得。
VitePress 版说明
下面的“目录”和“前言”均为原文完整翻译。本站把原稿连续的八章拆成较短页面，并添加了页面标题和导航；正文次序、公式编号与作者论证保持不变。原图由作者发布的 PostScript 文件直接转成 PNG。
原讲义目录
0. 导言
目录——前言——书目
1. 狭义相对论与平坦时空
时空间隔——度规——Lorentz 变换——时空图——向量——切空间——对偶向量——张量——张量积——Levi-Civita 张量——指标运算——电磁学——微分形式——Hodge 对偶——世界线——固有时——能量动量向量——能量动量张量——理想流体——能量动量守恒
2. 流形
实例——反例——映射——连续性——链式法则——开集——坐标图与图册——流形——坐标图实例——微分——作为导数的向量——坐标基——张量变换律——偏导数并非张量——再次讨论度规——度规的标准形——Riemann 正规坐标——张量密度——体积形式与积分
3. 曲率
协变导数与联络——联络系数——变换性质——Christoffel 联络——流形上的结构——平行移动——平行传播子——测地线——仿射参数——指数映射——Riemann 曲率张量——Riemann 张量的对称性——Bianchi 恒等式——Ricci 张量与 Einstein 张量——Weyl 张量——简单例子——测地线偏离——标架与非坐标基——自旋联络——Maurer–Cartan 结构方程——纤维丛与规范变换
4. 引力
等效原理——引力红移——作为时空曲率的引力——Newton 极限——弯曲时空中的物理学——Einstein 方程——Hilbert 作用量——再论能量动量张量——弱能量条件——替代引力理论——初值问题——规范不变性与调和规范——依赖域——因果性
5. 进一步的几何学
拉回与推前——微分同胚——积分曲线——Lie 导数——再一次讨论能量动量张量——等距映射与 Killing 向量
6. 弱场与引力辐射
弱场极限的定义——规范变换——线性化 Einstein 方程——引力平面波——横向无迹规范——偏振——源产生的引力辐射——能量损失
7. Schwarzschild 解与黑洞
球对称——Schwarzschild 度规——Birkhoff 定理——Schwarzschild 时空中的测地线——Newton 轨道与相对论轨道——近日点进动——事件视界——黑洞——Kruskal 坐标——黑洞的形成——Penrose 图——共形无穷远——无毛定理——带电黑洞——宇宙监督——极端黑洞——旋转黑洞——Killing 张量——Penrose 过程——不可约质量——黑洞热力学
8. 宇宙学
均匀性与各向同性——Robertson–Walker 度规——能量与动量的形式——Friedmann 方程——宇宙学参数——尺度因子的演化——红移——Hubble 定律
前言
这些讲义对应一门研究生入门课程，讨论广义相对论的基础及其应用。它们由我在 1996 年春季于 MIT 讲授研究生广义相对论课程 Physics 8.962 时发给学生的讲义稍加编辑而成。称其为“课程讲义”很恰当，不过内容的细致程度相当高：必要步骤有时全部写出，有时留下读者很容易补齐的空白。尽管如此，这些讲义与教科书仍有若干差别。最重要的一点在于，内容没有组织成可以按不同顺序阅读的短小节，而是预设读者从头到尾依次读下去。我还特意保持了谈话式的语气，希望能够越过孤立的结论，稍微进入这些结论所属的语境。
任何广义相对论入门材料都会首先面对一个问题：数学严谨性应当达到什么程度。这个问题没有唯一正确的答案，因为面对不同的处理方式，不同学生的理解程度和学习热情也会不同。考虑到这一点，我尽量让每类读者都能从中找到有用的内容。这些讲义没有回避细致的形式体系——例如流形部分的介绍——同时也尽量加入具体实例，并对正在讨论的概念作非正式说明。
既然这些材料标明是课程讲义而非原创著作，我有时会毫不羞愧地从现有的相关书籍中取材，尤其是 Schutz、Wald、Weinberg，以及 Misner、Thorne 和 Wheeler 的著作。我的原则从来都不是为了原创而追求原创；不过，有时我觉得自己可以把某个问题讲得比已有材料更清楚，原创内容也就这样悄悄混了进来。这些讲义在实质内容上没有任何新发现；一个读者选择阅读它们，唯一的理由是他觉得这里的解释比别处更容易理解。
实际授课时的时间限制，使我无法用一些主题应得的深度来讲解它们，宇宙学部分便是明显的例子。如果日后时间和动力都具备，我也许会扩充并修订现有讲义；更新版将放在 Carroll 的讲义网页上。当然，如果有人提醒我注意任何排印错误或科学错误，或者提出各种改进建议，我都会非常感激。
许多人极大地促进了我对广义相对论的理解，也直接帮助了这些讲义的形成；人数太多，任何致谢都不可能完整。首先特别感谢 Ted Pyne：他和我一起学习这个主题，教给我很多东西，还与我合作开设了这门课程的前身——我们曾在 Harvard 天文学系把它作为一门讨论课讲授。Nick Warner 在我自己开始授课之前讲授了 MIT 的研究生课程；只要比较一下就会发现，他的讲义对这份材料产生了重要影响。George Field 在我学习这一主题并努力把它教给学生时，给了我许多建议和鼓励。Tamás Hauer 与我一同辛苦工作，担任 8.962 的助教，提供了不可替代的帮助。8.962 的所有学生也都值得感谢：他们容忍了我的个人习惯，并不断推动我把表述做得更加精确。
撰写这些讲义期间，我获得了美国能源部合同 DE-AC02-76ER03069，以及美国国家科学基金会项目 PHY/92-06867 和 PHY/94-07195 的资助。