张量密度、体积形式与积分

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Levi-Civita 符号与张量密度

现在把 Levi-Civita 符号定义为前面的 ${\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$ 本身——也就是一个具有 $n$ 个指标，并且在任意坐标系中都取上述分量的对象。它之所以称为“符号”，当然是因为它并非张量；按照定义，它在坐标变换下不会改变。要把它的行为与普通张量联系起来，首先注意：给定某个 $n\times n$ 矩阵 $M^{\mu }{}_{{\mu }^{\prime }}$，其行列式 $|M|$ 满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.39}\text{)}& {\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1^{\prime }{\mu }_2^{\prime }\cdots {\mu }_n^{\prime }}|M|={\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}{M}^{{\mu }_1}{}_{{\mu }_1^{\prime }}{M}^{{\mu }_2}{}_{{\mu }_2^{\prime }}\cdots M^{{\mu }_n}{}_{{\mu }_n^{\prime }}.\end{array}$$

这只是关于行列式的一个真实结论，你可以在一本足够有见识的线性代数教材中找到它。因此，令 $M^{\mu }{}_{{\mu }^{\prime }}=\partial x^{\mu }/\partial x^{{\mu }^{\prime }}$，便有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.40}\text{)}& {\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1^{\prime }{\mu }_2^{\prime }\cdots {\mu }_n^{\prime }}=\left|\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}\right|{\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}\frac{\partial x^{{\mu }_1}}{\partial x^{{\mu }_1^{\prime }}}\frac{\partial x^{{\mu }_2}}{\partial x^{{\mu }_2^{\prime }}}\cdots \frac{\partial x^{{\mu }_n}}{\partial x^{{\mu }_n^{\prime }}}.\end{array}$$

它非常接近张量变换定律，只是最前面多了一个行列式。以这种方式变换的对象称为张量密度（tensor density）。

权重与度量行列式

度量的行列式 $g=|g_{\mu \nu }|$ 是另一个例子。很容易验证，只要对 (2.35) 两边取行列式，就会发现坐标变换下有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.41}\text{)}& g(x^{{\mu }^{\prime }})={\left|\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}\right|}^{-2}g(x^{\mu }).\end{array}$$

因此，$g$ 同样并非张量；它的变换方式与 Levi-Civita 符号相似，只是 Jacobian 被提升到 $-2$ 次幂。Jacobian 的幂次称为张量密度的权重（weight）：Levi-Civita 符号是权重为 $1$ 的密度，而 $g$ 是权重为 $-2$ 的标量密度。

Levi-Civita 张量与可定向性

不过，我们不喜欢张量密度，我们喜欢张量。把一个密度变成真正张量的方法很简单：乘以 $|g{|}^{w/2}$，其中 $w$ 是该密度的权重（之所以加绝对值，是因为对洛伦兹度量有 ）。所得对象将按照张量变换定律变换。因此，例如可以把 Levi-Civita 张量定义为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.42}\text{)}& {ϵ}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}=\sqrt{|g|}{\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}.\end{array}$$

在 Hodge 对偶的定义 (1.87) 中使用的正是这个张量；推广到任意流形后，该定义的其余部分保持不变。由于它是真正的张量，我们可以对它升指标，等等。有时人们还定义带上指标的 Levi-Civita 符号 ${\widetilde{ϵ}}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}$，其分量在数值上与带下指标的符号相等。事实表明，它是权重为 $-1$ 的密度，并且通过下式与带上指标的张量相关：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.43}\text{)}& {ϵ}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(g)\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\widetilde{ϵ}}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_n}.\end{array}$$

说句题外话，我们应当坦白承认，即使加入 $\sqrt{|g|}$ 因子，Levi-Civita 张量在某种意义上仍不算完全真正的张量，因为在某些流形上无法全局定义它。能够全局定义它的流形称为可定向流形（orientable manifold）；本课程只处理可定向流形。Möbius 带是不可定向流形的一个例子；相关讨论可参见 Schutz 的 Geometrical Methods in Mathematical Physics（《数学物理中的几何方法》）或类似教材。

流形上的积分

张量密度最后一次出现，是在流形上的积分中。这里无法充分展开这一主题，但至少有必要粗略看一眼。你大概已经知道，在 ${\mathbf{R}}^n$ 上的普通微积分中，体积元 $d^{n}x$ 会在坐标变换下获得一个 Jacobian 因子：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.44}\text{)}& d^n{x}^{\prime }=\left|\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}\right|d^{n}x.\end{array}$$

从微分形式理解体积元

从微分形式的观点出发，可以对这个公式给出一种非常优美的解释；它源于如下事实：在 $n$ 维流形上，被积对象应当正确地理解为一个 $n$-形式。 朴素体积元 $d^{n}x$ 本身是一个密度，并非 $n$-形式；不过用它构造真正的 $n$-形式并不困难。要看清其中机制，应作如下对应：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.45}\text{)}& d^{n}x\leftrightarrow \mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1}.\end{array}$$

右边的表达式可能具有误导性，因为它看起来像张量（准确地说，是一个 $n$-形式），实际在这里表示的是一个密度。当然，如果 $M$ 上有两个函数 $f$ 和 $g$，那么 $\mathrm{d}f$ 与 $\mathrm{d}g$ 是一形式，而 $\mathrm{d}f\wedge \mathrm{d}g$ 是二形式。但我们希望把 (2.45) 的右边解释为一个依赖坐标的对象：在 $x^{\mu }$ 坐标系中，它的行为如同 $\mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1}$。这听起来有些棘手，不过实际上只是记号上的歧义；在实践中，我们直接使用简写“$d^{n}x$”。

为了说明这一番折腾确有道理，来看 (2.45) 在坐标变换下怎样改变。首先注意，楔积的定义允许我们写出

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.46}\text{)}& \mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1}=\frac{1}{n!}{\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_n},\end{array}$$

因为楔积和 Levi-Civita 符号都是完全反对称的。在坐标变换下，${\widetilde{ϵ}}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}$ 保持不变，而一形式依照 (2.16) 改变，于是

在等式两边乘以 Jacobian，就会重新得到 (2.44)。

不变体积元

朴素体积元 $d^{n}x$ 显然按照密度的方式变换，但只需乘上 $\sqrt{|g|}$，就很容易构造出不变体积元：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.48}\text{)}& \sqrt{|g^{\prime }|}\mathrm{d}{x}^{0^{\prime }}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{(n-1{)}^{\prime }}=\sqrt{|g|}\mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1},\end{array}$$

它当然就是 $(n!{)}^{-1}{ϵ}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_n}$。为简洁起见，我们通常把体积元写成 $\sqrt{|g|}{d}^{n}x$，而不显式写出楔积 $\sqrt{|g|}\mathrm{d}{x}^0\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1}$；只要记住它应当是一个 $n$-形式就足够了。

Stokes 定理

以最后一段题外话结束本节：来看看微分几何中最优美、最有力的定理之一——Stokes 定理。它是微积分基本定理 ${\int }_b^{a}dx=a-b$ 的推广。设有一个带边界 $\partial M$ 的 $n$ 维流形 $M$，以及 $M$ 上的一个 $(n-1)$-形式 $\omega$。（我们还没有讨论带边界流形，不过想法很直观；例如，$M$ 可以是某个 $(n-1)$ 维闭曲面 $\partial M$ 的内部。）于是 $\mathrm{d}\omega$ 是一个 $n$-形式，可以在 $M$ 上积分；$\omega$ 本身则可以在 $\partial M$ 上积分。Stokes 定理就是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{2.49}\text{)}& {\int }_M\mathrm{d}\omega ={\int }_{\partial M}\omega .\end{array}$$

你可以自行确认，这一定理的不同特例不仅包括微积分基本定理，也包括三维向量分析中熟悉的 Green、Gauss 和 Stokes 定理。

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