麦克斯韦方程：从四条定律到一条统一方程

这一系列把麦克斯韦方程拆成十篇文章。每篇都从问题出发，给出关键公式的推导过程，并说明推导中使用的假设。建议顺序阅读；已经熟悉矢量微积分的读者可以从第四篇开始。

全系列默认使用真空中的 SI 单位制，并采用右手坐标系。核心目标是理解下面三层表达为何等价：

十篇文章

1. 矢量微积分：场、梯度、散度与旋度

   从小位移、小立方体和小回路出发，推导梯度、散度、旋度与拉普拉斯算符。

2. 积分定理：高斯定理与斯托克斯定理

   解释内部边界如何相消，并把麦克斯韦方程的微分形式逐条变成积分形式。

3. 电磁学的基本量：电荷、电流、场、通量与势

   推导 $Q=\int \rho \mathrm{d}V$、$I=\int \mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$、连续性方程以及电磁势。

4. 四条麦克斯韦方程与电磁波

   从库仑定律、法拉第实验和充电电容出发得到四条方程，再逐步推导光速为 $c$ 的波动方程。

5. 线性代数与指标记号

   推导爱因斯坦求和、升降指标、反对称张量的六个独立分量及列维-奇维塔符号。

6. 狭义相对论：为什么电场和磁场会混合

   从光速不变推导洛伦兹变换，并说明 $\rho$ 与 $\mathbf{J}$、$\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$ 如何组成四维对象。

7. 电磁场张量：四条方程如何变成两条

   展开 $F^{\mu \nu }$ 和它的对偶张量，逐分量还原四条麦克斯韦方程。

8. 微分形式：用 dF = 0 表示无源方程

   从外积、外微分和广义斯托克斯定理出发，推导 $\mathrm{d}F=0$ 与 $\mathrm{d}\star F={\mu }_0\star J$。

9. 几何代数：四条方程如何写成一条

   直接展开几何积，验证一条多重向量方程如何按标量、向量、二重向量和三重向量分级还原四条方程。

10. 规范势、拉格朗日量与规范对称性

    推导 $\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$ 的势表示、势的波动方程，并通过作用量变分得到有源麦克斯韦方程。

先记住主线

真空中的四条麦克斯韦方程是：

在四维时空中，它们可以写成：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0.$$

在时空几何代数中，它们还可以进一步写成：

$$\partial F={\mu }_{0}J.$$

最后一行看起来很短，但其中包含不同等级的几何对象。第九篇会把它完全展开，从而看清这项压缩没有丢失任何方程。