均匀性、各向同性与 Robertson-Walker 几何

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哥白尼原理、各向同性与均匀性

当代宇宙学模型建立在这样一种观念之上：宇宙各处大致相同——这种立场有时称为哥白尼原理。乍看之下，这种说法似乎荒谬至极；例如，太阳中心与星际空间荒凉而寒冷的景象几乎毫无相似之处。不过，我们认为哥白尼原理只适用于最宏大的尺度，在这样的尺度上，局部的密度起伏会被平均掉。许多不同的观测都表明它在这类尺度上有效，例如星系的计数以及对弥散 X 射线与 $\gamma$ 射线背景的观测；其中最清楚的证据来自 $3^{\circ }$ 微波背景辐射。尽管我们现在知道微波背景并非完全平滑（而且从来没有人预期它会完全平滑），它偏离规则性的幅度只有 ${10}^{-5}$ 量级或更小，这无疑足以作为在大尺度上近似描述时空的基础。

哥白尼原理与流形可能具备的两种数学上更精确的性质有关：各向同性和均匀性。各向同性是在空间中的某个特定点上定义的，它表示无论朝哪个方向观察，空间看起来都一样。更形式化地说，如果流形 $M$ 具有以下性质，就称它在点 $p$ 周围各向同性：对于任意两个向量 $V$ 和 $W$，只要它们属于 $T_{p}M$，就存在 $M$ 的一个等距映射，使得 $W$ 在该等距映射下的前推与 $V$ 平行（后者不被前推）。微波背景观测所显示的正是各向同性。

均匀性表示度规在整个空间中都相同。换句话说，给定任意两点 $p$ 和 $q$，只要它们属于 $M$，就存在一个把 $p$ 映到 $q$ 的等距映射。要注意，均匀性与各向同性之间没有必然联系；一个流形可以是均匀的，却处处都不具备各向同性（例如采用通常度规的 $\mathbf{R}\times S^2$），也可以只在某一点周围各向同性，却并不均匀（例如圆锥，它在顶点周围各向同性，但显然不均匀）。另一方面，如果一个空间在每一点都各向同性，那么它就是均匀的。（同样，如果它在一个点周围各向同性，同时又是均匀的，那么它会在每一点周围都各向同性。）既然观测已经为各向同性提供了充分证据，而哥白尼原理又促使我们相信自己并不处在宇宙中心，因此其他地方的观测者也应当观测到各向同性，从现在起我们将同时假定均匀性和各向同性。

空间切片与共动坐标

这里有一个需要留意之处。当我们观察遥远星系时，它们看起来正在远离我们；宇宙显然并非静止不变，它会随时间演化。因此，在构造宇宙学模型时，我们从这样一个观念出发：宇宙在空间上均匀且各向同性，在时间上则会变化。在广义相对论中，这意味着可以把宇宙叶分解为空间类切片，并让每一个切片都是均匀且各向同性的。于是我们把时空视为 $\mathbf{R}\times \mathrm{\Sigma }$，其中 $\mathbf{R}$ 代表时间方向，$\mathrm{\Sigma }$ 是均匀且各向同性的三维流形。均匀性和各向同性之所以有用，是因为它们蕴含 $\mathrm{\Sigma }$ 必须是最大对称空间。（可以把各向同性理解为旋转下的不变性，把均匀性理解为平移下的不变性。二者结合起来，便意味着空间拥有可能达到的最大数量的 Killing 向量。）因此，可以把度规写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.1}\text{)}& d{s}^2=-d{t}^2+a^2(t){\gamma }_{ij}(u)\mathrm{d}{u}^i\mathrm{d}{u}^j.\end{array}$$

这里 $t$ 是时间类坐标，$(u^1,u^2,u^3)$ 是 $\mathrm{\Sigma }$ 上的坐标；${\gamma }_{ij}$ 是 $\mathrm{\Sigma }$ 上的最大对称度规。这个公式是 (7.2) 的一个特例；我们曾用 (7.2) 推导 Schwarzschild 度规，只是这里把 $t$ 重新标度为 $g_{tt}=-1$。函数 $a(t)$ 称为尺度因子，它告诉我们空间类切片 $\mathrm{\Sigma }$ 在时刻 $t$“有多大”。这里所用的坐标中，度规不含交叉项 $\mathrm{d}t\mathrm{d}{u}^i$，而空间类分量都正比于同一个 $t$ 的函数；这样的坐标称为共动坐标，保持 $u^i$ 不变的观测者也称为“共动”观测者。只有共动观测者才会认为宇宙看起来各向同性；事实上，地球并非严格共动，因此普通的 Doppler 效应使我们在宇宙微波背景中看到了偶极各向异性。

最大对称三维几何与 Robertson-Walker 度规

因此，我们关心的是最大对称的欧氏型三维度规 ${\gamma }_{ij}$。我们知道，最大对称度规满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.2}\text{)}& {}^{(3)}{R}_{ijkl}=k({\gamma }_{ik}{\gamma }_{jl}-{\gamma }_{il}{\gamma }_{jk}),\end{array}$$

其中 $k$ 是某个常数。我们在 Riemann 张量上加上上标 ${}^{(3)}$，用来提醒自己：它对应的是三维度规 ${\gamma }_{ij}$，并非整个时空的度规。于是 Ricci 张量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.3}\text{)}& {}^{(3)}{R}_{jl}=2k{\gamma }_{jl}.\end{array}$$

如果空间是最大对称的，那么它当然也具有球对称性。通过研究 Schwarzschild 解，我们已经了解了一些球对称空间的性质；度规可以写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.4}\text{)}& d{\sigma }^2={\gamma }_{ij}\mathrm{d}{u}^i\mathrm{d}{u}^j=e^{2\beta (r)}\mathrm{d}{r}^2+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2).\end{array}$$

这种度规的 Ricci 张量分量可以从 (7.16)，也就是球对称时空的 Ricci 张量中得到：令 $\alpha =0$ 且 ${\partial }_0\beta =0$，便有

利用 (8.3)，我们令这些分量与度规的相应分量成正比，便可以解出 $\beta (r)$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.6}\text{)}& \beta =-\frac{1}{2}\ln (1-k{r}^2).\end{array}$$

由此得到如下时空度规：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.7}\text{)}& d{s}^2=-d{t}^2+a^2(t)[\frac{\mathrm{d}{r}^2}{1-k{r}^2}+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)].\end{array}$$

这就是 Robertson-Walker 度规。到目前为止，我们还没有使用 Einstein 方程；这些方程将决定尺度因子 $a(t)$ 的行为。

三种空间曲率

注意，下列替换

保持 (8.7) 不变。因此，唯一相关的参数是 $k/|k|$，需要考虑三种情形：$k=-1$、$k=0$ 和 $k=+1$。$k=-1$ 对应 $\mathrm{\Sigma }$ 上恒定的负曲率，称为开放；$k=0$ 对应 $\mathrm{\Sigma }$ 上没有曲率，称为平直；$k=+1$ 对应 $\mathrm{\Sigma }$ 上的正曲率，称为闭合。

平直、闭合与开放空间

让我们逐一考察这些可能性。对于 $k=0$ 的平直情形，$\mathrm{\Sigma }$ 上的度规为

这就是平直的欧几里得空间。从整体上看，它可以描述 ${\mathbf{R}}^3$，也可以描述更复杂的流形，例如三维环面 $S^1\times S^1\times S^1$。对于 $k=+1$ 的闭合情形，我们可以定义 $r=\sin \chi$，把 $\mathrm{\Sigma }$ 上的度规写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.10}\text{)}& d{\sigma }^2=\mathrm{d}{\chi }^2+{\sin }^2\chi d{\mathrm{\Omega }}^2,\end{array}$$

这就是三维球面的度规。在这种情形下，唯一可能的整体结构实际上就是三维球面（不可定向流形 $\mathbf{R}$P${}^3$ 除外）。最后，在 $k=-1$ 的开放情形下，可以令 $r=\sinh \psi$，得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.11}\text{)}& d{\sigma }^2=\mathrm{d}{\psi }^2+{\sinh }^2\psi d{\mathrm{\Omega }}^2.\end{array}$$

这是恒定负曲率三维空间的度规；它很难直观想象，不过可以回想我们在第三节谈过的马鞍面例子。从整体上看，这样的空间可以无限延伸（“开放”一词便由此而来），但它也可以描述一个非单连通的紧致空间（因此，“开放”这个称呼其实并不十分准确）。

联络系数与曲率

有了度规，就可以着手计算联络系数和曲率张量。令 $\dot{a}\equiv da/dt$，Christoffel 符号为

Ricci 张量的非零分量为

于是 Ricci 标量为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.14}\text{)}& R=\frac{6}{a^2}(a\ddot{a}+{\dot{a}}^2+k).\end{array}$$

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