微分形式与霍奇对偶

完整译文 · 原 PDF 第 8–37 页 · 本章入口 · 全书入口

微分形式与楔积

现在来引入一类特殊的张量，称为微分形式（differential forms，简称“形式”）。微分 $p$-形式是一种完全反对称的 $(0,p)$ 型张量。因此，标量自然就是 0-形式，而对偶向量自然就是 1-形式（这也解释了前面为什么采用这种术语）。我们还见过 2-形式 $F_{\mu \nu }$ 和 4-形式 ${ϵ}_{\mu \nu \rho \sigma }$。所有 $p$-形式构成的空间记作 ${\mathrm{\Lambda }}^p$，所有 $p$-形式场（定义在流形 $M$ 上）构成的空间记作 ${\mathrm{\Lambda }}^p(M)$。做一道稍需推敲、但相当直接的组合计数题便可看出，线性无关的 $p$-形式在 $n$ 维向量空间上共有 $n!/(p!(n-p)!)$ 个。因此，在四维时空的一点上，有一个线性无关的 0-形式、四个 1-形式、六个 2-形式、四个 3-形式以及一个 4-形式。$p$-形式在 时不存在，因为反对称性会使它的所有分量自动为零。

我们为什么要关心微分形式？如果不先多做一些铺垫，这个问题很难回答；但基本想法是：无需借助任何附加的几何结构，形式便既可以被微分，也可以被积分。积分理论留到后面再讲，不过我们很快就会看到怎样对形式求导。

给定一个 $p$-形式 $A$ 和一个 $q$-形式 $B$，把它们的张量积反对称化，就能构造出一个称为楔积（wedge product）的 $(p+q)$-形式 $A\wedge B$：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.79}\text{)}& (A\wedge B{)}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{p+q}}=\frac{(p+q)!}{p!q!}{A}_{[{\mu }_1\cdots {\mu }_p}{B}_{{\mu }_{p+1}\cdots {\mu }_{p+q}]}.\end{array}$$

例如，两个 1-形式的楔积是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.80}\text{)}& (A\wedge B{)}_{\mu \nu }=2A_{[\mu }{B}_{\nu ]}=A_{\mu }{B}_{\nu }-A_{\nu }{B}_{\mu }.\end{array}$$

请注意

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.81}\text{)}& A\wedge B=(-1{)}^{pq}B\wedge A,\end{array}$$

所以，只要谨慎处理符号，就可以改变楔积中各项的次序。

外微分与德拉姆上同调

外微分（exterior derivative）“d”允许我们对 $p$-形式场求导，得到 $(p+1)$-形式场。它被定义为经过适当归一化的反对称偏导数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.82}\text{)}& (\mathrm{d}A{)}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{p+1}}=(p+1){\partial }_{[{\mu }_1}{A}_{{\mu }_2\cdots {\mu }_{p+1}]}.\end{array}$$

最简单的例子是梯度：对一个 0-形式作外微分会得到一个 1-形式，

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.83}\text{)}& (\mathrm{d}\varphi {)}_{\mu }={\partial }_{\mu }\varphi .\end{array}$$

外微分值得特别关注，因为与它的近亲偏导数不同，它本身是一个张量；即便在弯曲时空中也是如此。我们还没有研究弯曲空间，所以现在无法证明这一点，不过，无论度规和坐标如何，(1.82) 定义的都是一个真正的张量。

外微分还有一个有趣的事实：对任意形式 $A$，都有

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.84}\text{)}& \mathrm{d}(\mathrm{d}A)=0,\end{array}$$

通常把它写成 ${\mathrm{d}}^2=0$。这一恒等式来自 $\mathrm{d}$ 的定义以及偏导数可交换这一事实：${\partial }_{\alpha }{\partial }_{\beta }={\partial }_{\beta }{\partial }_{\alpha }$（无论它们作用于什么对象）。这引出下面这段纯粹为了有趣的数学插话。若一个 $p$-形式 $A$ 满足 $\mathrm{d}A=0$，我们称它是闭形式（closed）；若 $A=\mathrm{d}B$ 对某个 $(p-1)$-形式 $B$ 成立，我们称它是恰当形式（exact）。显然，所有恰当形式都是闭形式，反过来却未必成立。在流形 $M$ 上，闭 $p$-形式构成向量空间 $Z^p(M)$，恰当形式构成向量空间 $B^p(M)$。用闭形式空间对恰当形式空间取商，定义一个新的向量空间：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.85}\text{)}& H^p(M)=\frac{Z^p(M)}{B^p(M)}.\end{array}$$

它称为第 $p$ 个德拉姆上同调向量空间，只依赖于流形 $M$ 的拓扑。（闵可夫斯基空间在拓扑上等价于 R${}^4$，其拓扑没有什么复杂之处，因此当 时，所有 $H^p(M)$ 都消失；当 $p=0$ 时，则有 $H^0(M)=\mathbf{R}$。所以在闵可夫斯基空间中，除了 0-形式以外，所有闭形式都是恰当形式；0-形式不可能是恰当形式，因为不存在 $-1$-形式让它们成为该形式的外微分。）这种提取拓扑信息的方法令人惊叹，因为它本质上牵涉的是微分方程的解。空间 $H^p(M)$ 的维数 $b_p$ 称为 $M$ 的第 $p$ 个贝蒂数，而欧拉示性数由下面的交错和给出：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.86}\text{)}& \chi (M)=\sum _{p=0}^n(-1{)}^p{b}_p.\end{array}$$

上同调理论是现代微分拓扑学很大一部分内容的基础。

霍奇对偶

回到正题，我们要介绍的最后一种微分形式运算是霍奇对偶（Hodge duality）。在一个 $n$ 维流形上，我们把“霍奇星算子”定义为从 $p$-形式到 $(n-p)$-形式的映射：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.87}\text{)}& (\ast A{)}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{n-p}}=\frac{1}{p!}{ϵ}^{{\nu }_1\cdots {\nu }_p}{}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_{n-p}}{A}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_p},\end{array}$$

它把 $A$ 映为“$A$ 的对偶”。与前面那些形式运算不同，霍奇对偶确实依赖于流形的度规（这一点应当很明显，因为为了定义 (1.87)，我们必须把 Levi-Civita 张量的一些指标升上去）。连续两次应用霍奇星算子，会得到原形式本身或其相反数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.88}\text{)}& \ast \ast A=(-1{)}^{s+p(n-p)}A,\end{array}$$

其中 $s$ 是度规各特征值中负号的个数（对闵可夫斯基空间而言，$s=1$）。

关于霍奇对偶有两个事实。第一，霍奇意义下的“对偶”与向量和对偶向量之间的关系有所不同，不过两者都可以理解为：相应的对偶空间由从原空间到 R 的线性映射构成。请注意，$(n-p)$-形式空间与 $p$-形式空间的维数相等，所以至少从维数上看，这种说法有成立的可能。对微分形式而言，一个 $(n-p)$-形式作用在一个 $p$-形式上所定义的线性映射，由这两个形式楔积的对偶给出。因此，若时空中某一点处的 $A^{(n-p)}$ 是一个 $(n-p)$-形式，$B^{(p)}$ 是一个 $p$-形式，那么

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.89}\text{)}& \ast (A^{(n-p)}\wedge B^{(p)})\in \mathbf{R}.\end{array}$$

第二个事实涉及三维欧几里得空间中的微分形式。两个 1-形式楔积的霍奇对偶仍是一个 1-形式：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.90}\text{)}& \ast (U\wedge V{)}_i={ϵ}_i{}^{jk}{U}_j{V}_k.\end{array}$$

（所有前置系数都相互抵消了。）由于欧几里得空间中的 1-形式与向量无异，我们由此得到一个把两个向量映到单个向量的映射。你应当说服自己，这恰好就是通常的叉积；Levi-Civita 张量的出现，也解释了叉积为什么会在宇称变换下改变符号（宇称变换可以理解为交换两个坐标，等价地，也可以理解为交换两个基向量）。这就是叉积只存在于三维中的原因——只有在三维中，才存在这样一种有意义的映射，能把两个对偶向量映到第三个对偶向量。如果愿意，你也可以定义一种把 $n-1$ 个 1-形式映到单个 1-形式的映射，不过我不确定它会有什么用处。

电动力学中的微分形式与对偶性

电动力学为微分形式的用途提供了一个格外有说服力的例子。由外微分的定义可以清楚看出，方程 (1.78) 可以简洁地表达为 2-形式 $F_{\mu \nu }$ 的闭合性：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.91}\text{)}& \mathrm{d}F=0.\end{array}$$

这是否意味着 $F$ 也是恰当形式？是的；正如我们已经指出的，闵可夫斯基空间在拓扑上是平凡的，因此所有闭形式都是恰当形式。所以必定存在一个 1-形式 $A_{\mu }$，使得

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.92}\text{)}& F=\mathrm{d}A.\end{array}$$

这个 1-形式就是电磁学中熟悉的向量势（vector potential），其第 $0$ 个分量由标量势给出，即 $A_0=\varphi$。如果从 $A_{\mu }$ 是电磁学基本场的观点出发，那么 (1.91) 会作为一个恒等式成立（而非作为动力学定律，也就是运动方程）。规范不变性体现为：对某个标量（0-形式）$\lambda$，理论在变换 $‘A\to A+\mathrm{d}\lambda ‘$ 下保持不变；这一点也可由关系 (1.92) 立即看出。麦克斯韦方程组的另一条方程 (1.77) 可以表达为两个 3-形式之间的方程：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{1.93}\text{)}& \mathrm{d}(\ast F)=4\pi (\ast J),\end{array}$$

其中，电流 1-形式 $J$ 就是把电流四维向量的指标降低后得到的形式。具体细节留给你补全。

顺带一提，一件颇为耐人寻味的事是：霍奇对偶构成了当代理论物理中一个热门主题的基础。很难不注意到，方程 (1.91) 和 (1.93) 看起来非常相似。事实上，如果令 $J_{\mu }=0$，这些方程在下列“对偶变换”下保持不变：

因此，我们说真空中的麦克斯韦方程具有对偶不变性，而电荷的存在会破坏这种不变性。可以设想，自然界中既存在电单极子，也存在磁单极子；那么，我们可以在 (1.91) 的右边加入磁流项 $4\pi (\ast J_M)$，这些方程就会在对偶变换以及附加的替换 $J\leftrightarrow J_M$ 下保持不变。（当然，(1.91) 的右边一旦非零，就会与 $F=\mathrm{d}A$ 不相容，所以只有在 $A_{\mu }$ 不是基本变量时，这个想法才行得通。）很久以前，Dirac 曾考虑过磁单极子的设想，并证明它们存在的一个必要条件是：基本磁单极电荷与基本电荷成反比。基本电荷是一个小量；电动力学是“弱耦合”的，这也正是微扰理论在量子电动力学（QED）中异常成功的原因。然而，Dirac 对磁荷的条件意味着，对偶变换会把一个弱耦合电荷理论变成一个强耦合磁单极子理论，反过来也一样。遗憾的是，磁单极子并不存在（至少据我们所知如此），所以这些想法无法直接应用于电磁学；但长期以来，人们一直猜想，在某些理论中（例如超对称非阿贝尔规范理论），可能存在某种对偶对称性。如果它确实存在，我们就有机会通过考察弱耦合的对偶版本，分析一个表面上强耦合、因而难以求解的理论。最近，Seiberg、Witten 等人的工作提供了非常有力的证据，表明某些理论中确实会发生这种情况。人们希望，这些技术能让我们探索强耦合量子场论中那些已知存在的种种现象，例如夸克在强子中的禁闭。

到这里，关于如何使用和驾驭张量，我们基本上已经讲完了所有需要知道的内容。下一节将更仔细地考察流形与张量的严格定义，不过基本的运算方法已经介绍得相当完整。在进入更加抽象的数学之前，让我们先回顾一下物理学在闵可夫斯基时空中如何运作。

---

← 向量、对偶向量与张量 · 全书入口 · 世界线、固有时与动量 →