宇宙学参数与尺度因子的演化

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宇宙学参数

哈勃参数与减速参数

与宇宙学参数相关的术语很多，这里只介绍其中最基本的几个。膨胀速率由哈勃参数刻画：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.37}\text{)}& H=\frac{\dot{a}}{a}.\end{array}$$

哈勃参数在当前时代的值就是哈勃常数 $H_0$。目前，它的实际数值仍存在很大争议，各项测量结果落在 40 到 90 km/sec/Mpc 的范围内。（“Mpc”代表“兆秒差距”，即 $3\times {10}^{24}$ cm。）请注意，我们必须用 $\dot{a}$ 除以 $a$ 才能得到可测量的量，因为 $a$ 的整体尺度无关紧要。此外还有减速参数：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.38}\text{)}& q=-\frac{a\ddot{a}}{{\dot{a}}^2},\end{array}$$

它衡量膨胀速率的变化快慢。

密度参数与临界密度

另一个有用的量是密度参数：

其中，临界密度定义为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.40}\text{)}& {\rho }_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}=\frac{3H^2}{8\pi G}.\end{array}$$

这个量（一般会随时间变化）之所以称为“临界”密度，是因为弗里德曼方程（8.36）可以写成

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.41}\text{)}& \mathrm{\Omega }-1=\frac{k}{H^2{a}^2}.\end{array}$$

因此，$k$ 的符号取决于 $\mathrm{\Omega }$ 大于、等于还是小于一。我们有

于是，密度参数会告诉我们三种罗伯逊—沃尔克几何中的哪一种描述了我们的宇宙。通过观测确定它，是一个研究极为活跃的领域。

尺度因子的定性演化

大爆炸与宇宙年龄

在若干简单情形下，我们可以精确求解弗里德曼方程；但了解各种可能性的定性行为往往更加有用。现在暂且令 $\mathrm{\Lambda }=0$，并考察由正能量（）且压强非负（$p\ge 0$）的流体充满的宇宙。根据（8.35），此时必有 。我们从对遥远星系的观测得知宇宙正在膨胀（），这意味着宇宙正在“减速”。这也符合我们的预期，因为宇宙中物质的引力吸引会阻碍膨胀。宇宙只能减速这一事实意味着，它在过去一定膨胀得更快；如果沿时间反向追溯其演化，我们必然会在 $a=0$ 处到达一个奇点。请注意，如果 $\ddot{a}$ 恰好为零，$a(t)$ 将是一条直线，宇宙年龄将为 $H_0^{-1}$。由于 $\ddot{a}$ 实际为负，宇宙必定比这个年龄稍小一些。

图 8.1：现今尺度因子曲线的切线向过去延伸，会比真实的尺度因子曲线更早到达 $a=0$；因此，从大爆炸到现在的宇宙年龄小于 $H_0^{-1}$。

$a=0$ 处的这个奇点就是大爆炸。它代表宇宙从一种奇异状态中创生，并非物质向某个预先存在的时空中爆炸。人们也许会希望，正是 FRW 宇宙的完美对称性导致了这个奇点，但事实并非如此；奇点定理预言，任何满足 和 $p\ge 0$ 的宇宙都必定始于一个奇点。当然，当 $a\to 0$ 时，能量密度会变得任意高，而我们并不期望经典广义相对论在这个区域中仍能准确描述自然；希望一种自洽的量子引力理论能够解决这个问题。

开放和平直宇宙

对于不同的 $k$ 值，宇宙未来的演化也不同。在开放和平直两种情形下，$k\le 0$，（8.36）意味着

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.42}\text{)}& {\dot{a}}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho a^2+|k|.\end{array}$$

等式右边严格为正（因为我们假设 ），所以 $\dot{a}$ 永远不会经过零。我们知道今天 ，因此它在所有时刻都必定为正。于是，开放宇宙和平直宇宙会永远膨胀——它们在时间上和空间上都是开放的。（请牢记得出这个结论所依赖的假设——也就是存在非零的正能量密度。能量密度为负的宇宙即使是“开放”的，也不一定永远膨胀。）

这些宇宙会以多快的速度继续膨胀？考虑 $\rho a^3$ 这个量（它在物质主导的宇宙中为常数）。根据能量守恒方程（8.20），我们有

等式右边要么为零，要么为负；因此

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.44}\text{)}& \frac{d}{dt}(\rho a^3)\le 0.\end{array}$$

这进而意味着，$\rho a^2$ 在一个永远膨胀的宇宙中必须趋于零，而在这样的宇宙中 $a\to \mathrm{\infty }$。因此，（8.42）告诉我们

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.45}\text{)}& {\dot{a}}^2\to |k|.\end{array}$$

（请记住，这对 $k\le 0$ 成立。）因此，当 $k=-1$ 时，膨胀会趋近极限值 $\dot{a}\to 1$；当 $k=0$ 时，宇宙会继续膨胀，但速度越来越慢。

闭合宇宙

对于闭合宇宙（$k=+1$），（8.36）变为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.46}\text{)}& {\dot{a}}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho a^2-1.\end{array}$$

$\rho a^2\to 0$ 的论证在 $a\to \mathrm{\infty }$ 时仍然适用；但在这种情况下，（8.46）将变为负数，而这是不可能发生的。因此，宇宙不会无限膨胀；$a$ 存在一个上界 $a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$。当 $a$ 接近 $a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ 时，（8.35）意味着

因此，$\ddot{a}$ 在这一点是有限的负值，所以 $a$ 会到达 $a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$，继而开始减小；随后（因为 ），它将不可避免地继续收缩到零——这就是大挤压。因此，闭合宇宙（同样是在 $\rho$ 为正且 $p$ 非负的假设下）在时间上和空间上都是闭合的。

图 8.2：在正能量密度、非负压强且 $\Lambda=0$ 的假设下，$k=-1$ 的开放宇宙和 $k=0$ 的平直宇宙会永远膨胀，而 $k=+1$ 的闭合宇宙会达到最大尺度后重新收缩，最终发生大挤压。

单一能量成分的精确解

尘埃和辐射

现在列出一些只含一种能量密度时的精确解。对于只含尘埃的宇宙（$p=0$），定义一个发展角 $\varphi (t)$ 会比较方便，我们不用 $t$ 直接作为参数。于是，对于开放宇宙，解为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.48}\text{)}& \{\begin{array}{l}a=\frac{C}{2}(\cosh \varphi -1)\\ t=\frac{C}{2}(\sinh \varphi -\varphi )\end{array}(k=-1),\end{array}$$

对于平直宇宙，解为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.49}\text{)}& a={\left(\frac{9C}{4}\right)}^{1/3}{t}^{2/3}(k=0),\end{array}$$

而对于闭合宇宙，解为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.50}\text{)}& \{\begin{array}{l}a=\frac{C}{2}(1-\cos \varphi )\\ t=\frac{C}{2}(\varphi -\sin \varphi )\end{array}(k=+1),\end{array}$$

其中我们定义了

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.51}\text{)}& C=\frac{8\pi G}{3}\rho a^3=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}.\end{array}$$

对于只由辐射充满的宇宙，$p=\frac{1}{3}\rho$；我们再一次得到开放宇宙

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.52}\text{)}& a=\sqrt{C^{\prime }}{[{(1+\frac{t}{\sqrt{C^{\prime }}})}^2-1]}^{1/2}(k=-1),\end{array}$$

平直宇宙

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.53}\text{)}& a=(4C^{\prime }{)}^{1/4}{t}^{1/2}(k=0),\end{array}$$

以及闭合宇宙

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.54}\text{)}& a=\sqrt{C^{\prime }}{[1-{(1-\frac{t}{\sqrt{C^{\prime }}})}^2]}^{1/2}(k=+1),\end{array}$$

这一次我们定义了

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.55}\text{)}& C^{\prime }=\frac{8\pi G}{3}\rho a^4=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}.\end{array}$$

你们可以自行检验，这些精确解确实具有我们论证过的一般性质。

宇宙学常数、德西特空间与反德西特空间

对于除宇宙学常数外空无一物的宇宙，$\rho$ 或 $p$ 中会有一个为负，从而违反我们先前推导 $a(t)$ 的一般行为时采用的假设。在这种情况下，开放／闭合与永远膨胀／重新坍缩之间的联系便不再成立。我们先考虑 。此时 $\mathrm{\Omega }$ 为负，而根据（8.41），这只能在 $k=-1$ 时发生。这种情况下的解是

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.56}\text{)}& a=\sqrt{\frac{-3}{\mathrm{\Lambda }}}\sin \left(\sqrt{\frac{-\mathrm{\Lambda }}{3}}t\right).\end{array}$$

也存在一个开放的（$k=-1$）解，对应于 ：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.57}\text{)}& a=\sqrt{\frac{3}{\mathrm{\Lambda }}}\sinh \left(\sqrt{\frac{\mathrm{\Lambda }}{3}}t\right).\end{array}$$

真空主导的平直宇宙必须满足 ，其解为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.58}\text{)}& a\propto \exp (\pm \sqrt{\frac{\mathrm{\Lambda }}{3}}t),\end{array}$$

而闭合宇宙也必须满足 ，并且满足

$$\begin{array}{}\text{(}\text{8.59}\text{)}& a=\sqrt{\frac{3}{\mathrm{\Lambda }}}\cosh \left(\sqrt{\frac{\mathrm{\Lambda }}{3}}t\right).\end{array}$$

这些解有一点误导性。事实上， 时的三个解——（8.57）、（8.58）和（8.59）——全都表示同一个时空，只是采用了不同的坐标。这个时空称为德西特空间，实际上作为一个时空，它是最大对称的。（详情参见 Hawking 和 Ellis。） 时的解（8.56）同样是最大对称的，称为反德西特空间。

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