02｜积分定理：高斯定理与斯托克斯定理

上一篇：矢量微积分 · 返回系列目录 · 下一篇：电磁学的基本量 上一篇定义了散度和旋度，它们描述一个点附近的局部行为。本篇要回答：

怎样把每一点的局部变化，累积成一个有限区域边界上的可测量结果？

答案来自高斯散度定理和斯托克斯定理。这两个听起来高深的名字，其实骨子里都在讲述同一个极其简单的道理——内部细节的抵消。它们都可以追溯到我们中学时代就接触过的一维微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）。

1. 从一维微积分基本定理开始

把区间 $[a,b]$ 分成很多小段：

在很短的小段上，

$$f(x_{i+1})-f(x_i)\approx f^{\prime }(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i.$$

把所有小段相加，左边发生望远镜式消去：

右边在分割无限细时变成积分，所以：

$$\boxed{{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a)}.$$

关键现象是：相邻小区间共享的内部端点互相抵消，最后只剩整个区间的边界 $a,b$。

2. 高斯散度定理

高斯定理把“体积内的散度”转换成“封闭表面的通量”。你可以把它想象成在计算一个大水池里凭空冒出多少水：水池内部无数个微小“泉眼”（散度）咕噜咕噜冒出来的水量总和，一定完全等于最后从水池表面漫出去的宏观总水量（通量）：

$$\boxed{{\iiint }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A})\mathrm{d}V={∯}_{\partial V}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}}.$$

其中：

• $V$ 是三维区域；
• $\partial V$ 是它的封闭边界；
• $\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{n}\mathrm{d}S$，$\mathbf{n}$ 是向外单位法向量。

为什么这个定理成立

根据散度的局部定义，对一个很小的体积 $\mathrm{\Delta }{V}_i$ 有：

$${(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A})}_i\mathrm{\Delta }{V}_i\approx {∯}_{\partial (\mathrm{\Delta }{V}_i)}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

把大区域 $V$ 切成很多小体积并求和：

$$\sum _i{(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A})}_i\mathrm{\Delta }{V}_i\approx \sum _i{∯}_{\partial (\mathrm{\Delta }{V}_i)}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

想象用细密的网格把大水池切成无数个微小的立方体水箱。任意两个相邻小体积共享一个面。对于左边的小水箱来说，水是流出这个面的；但对右边相邻的小水箱来说，同样的水却是流进来的。一进一出，内部接触面上的水流效果完全抵消。因此，共享面上的两份通量为：

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{n}\mathrm{\Delta }S+\mathbf{A}\cdot (-\mathbf{n})\mathrm{\Delta }S=0.$$

所有内部面都成对抵消，最后只剩大区域的外表面。令分割无限细，左边成为体积分：

$${\iiint }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A})\mathrm{d}V,$$

右边成为外边界通量：

$${∯}_{\partial V}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

这就得到高斯散度定理。

直接验证一个例子

取向量场：

$$\mathbf{A}=(x,y,z),$$

区域为单位立方体 $0\le x,y,z\le 1$。散度为：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=3.$$

因此体积分为：

$${\iiint }_{V}3\mathrm{d}V=3.$$

再看表面通量。$x=1$ 面上 $\mathbf{A}\cdot \mathbf{n}=1$，面积为 $1$，通量为 $1$；$x=0$ 面上的通量为 $0$。$y,z$ 两组面也各贡献 $1$。总通量为：

$$1+1+1=3,$$

与体积分完全一致。

3. 斯托克斯定理

斯托克斯定理把“曲面上的旋度通量”转换成“曲面边界上的环流”。打个比方，如果我们把曲面想象成一片布满微小漩涡的水面，内部的每个小漩涡（旋度）都在原地打转。当你把所有小漩涡的旋转效果加起来时，内部相邻漩涡的边缘水流相互摩擦抵消，最后水面上能实际观测到的，就只剩下沿着最外圈边缘的一股宏观大水流（环流）：

$$\boxed{{\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\oint }_{\partial S}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}.$$

曲面法向量和边界方向必须满足右手定则：右手四指沿边界积分方向弯曲时，大拇指指向选定的法向量。

为什么内部边界会消失

根据旋度的局部定义，对一个很小的面元 $\mathrm{\Delta }{S}_i$ 有：

$${(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})}_i\cdot {\mathbf{n}}_i\mathrm{\Delta }{S}_i\approx {\oint }_{\partial (\mathrm{\Delta }{S}_i)}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.$$

把大曲面切成很多网格般的小面元，假想每个小面元上都有一个微小的齿轮或漩涡在按同方向旋转。相邻的两个面元会共享一条边，但在交界处，两个相邻漩涡的流动方向恰好是“顶牛”的——一个带动水流向上，另一个就带动水流向下。所以：

$${\int }_{\text{共享边}}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}+{\int }_{\text{反向共享边}}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=0.$$

所有内部边都抵消，最后只剩整个曲面的外边界 $\partial S$。令面元无限小，就得到斯托克斯定理。

直接验证一个例子

取：

$$\mathbf{A}=(-\frac{y}{2},\frac{x}{2},0).$$

它的旋度为：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}=(0,0,1).$$

令 $S$ 为 $xy$ 平面的单位圆盘，法向量为 ${\mathbf{e}}_z$。左边为：

$${\iint }_{S}1\mathrm{d}S=\pi .$$

边界单位圆可参数化为：

$$\mathbf{r}(\theta )=(\cos \theta ,\sin \theta ,0),0\le \theta \le 2\pi .$$

于是：

$$\mathrm{d}\mathbf{l}=(-\sin \theta ,\cos \theta ,0)\mathrm{d}\theta ,$$$$\mathbf{A}=(-\frac{\sin \theta }{2},\frac{\cos \theta }{2},0).$$

边界环流为：

两边再次相等。

4. 把麦克斯韦方程从微分形式变成积分形式

如果说微分形式是用显微镜观察空间里极其微小的一个点，那积分形式就是退后一步，纵览整个宏观的物理系统。积分定理的价值恰好就在于充当了这两种视角间的桥梁：它们能把每一点难以直接体会的局部微观“泉眼”或“漩涡”，完美地转换成整个区域宏观可测量的大尺度物理定律。

电场高斯定律

从微分形式开始：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

对体积 $V$ 积分：

$${\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}\mathrm{d}V=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\iiint }_V\rho \mathrm{d}V.$$

左边使用高斯定理，右边定义为区域内总电荷 $Q_{\mathrm{内}}$：

$$\boxed{{∯}_{\partial V}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_{\mathrm{内}}}{{\epsilon }_0}}.$$

磁场高斯定律

从：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$$

得到：

$$\boxed{{∯}_{\partial V}\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0}.$$

任意封闭表面的净磁通量都为零。

法拉第电磁感应定律

从：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

对一个固定曲面 $S$ 积分：

$${\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=-{\iint }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

左边使用斯托克斯定理；固定曲面允许把时间导数移到积分号外：

$$\boxed{{\oint }_{\partial S}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\iint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}}.$$

定义磁通量

$${\mathrm{\Phi }}_B={\iint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$$

就得到熟悉的形式：

$$\boxed{\mathcal{E}={\oint }_{\partial S}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_B}{\mathrm{d}t}}.$$

安培—麦克斯韦定律

从：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

对曲面积分并使用斯托克斯定理：

定义穿过曲面的电流

$$I_{\mathrm{内}}={\iint }_S\mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

和电通量

$${\mathrm{\Phi }}_E={\iint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$$

得到：

$$\boxed{{\oint }_{\partial S}\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{内}}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E}{\mathrm{d}t}}.$$

5. 积分形式还能推回微分形式吗

可以，但需要积分关系对任意足够小的区域都成立。

以电场高斯定律为例：

$${∯}_{\partial V}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\iiint }_V\rho \mathrm{d}V.$$

用高斯定理改写左边：

$${\iiint }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}-\frac{\rho }{{\epsilon }_0})\mathrm{d}V=0.$$

如果这对任意小体积 $V$ 都成立，并且被积函数连续，那么被积函数只能处处为零：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=0.$$

因此，积分形式与微分形式在通常的光滑条件下携带相同信息。

6. 本篇结论

两个积分定理共享同一种结构：

$$\boxed{\text{区域内部的导数积分}=\text{区域边界上的场积分}}.$$

高斯定理处理中间维度为三维体积、边界为二维封闭曲面；斯托克斯定理处理中间维度为二维曲面、边界为一维闭合曲线。第八篇会看到，它们都是广义斯托克斯定理的具体版本。

上一篇：矢量微积分 · 返回系列目录 · 下一篇：电磁学的基本量