Penrose 图、共形无穷与黑洞无毛定理

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闵可夫斯基时空的共形紧化

我们已经看到，Kruskal 坐标系为表示施瓦西几何提供了一种非常有用的方式。在转向其他类型的黑洞之前，我们还要介绍一种思考这一时空的方式，即 Penrose 图（也称 Carter-Penrose 图或共形图）。其思想是作一次共形变换，把整个流形映到一个紧致区域中，从而能够把时空画在一张纸上。

让我们从闵可夫斯基空间开始，看看这种技巧如何运作。极坐标中的度规为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.86}\text{)}& d{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+\mathrm{d}{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2.\end{array}$$

$\theta ,\varphi$ 坐标不会发生任何反常的事情，但我们要仔细追踪另外两个坐标的取值范围。在这里当然有

严格说来，世界线 $r=0$ 代表一个坐标奇性，应该由另一张坐标卡覆盖；不过我们都知道这里究竟是怎么回事，所以姑且把 $r=0$ 当作表现良好。

如果换用零坐标，我们的任务会稍微容易一些：

相应的取值范围是

闵可夫斯基时空的零坐标区域。

这些范围如图所示，其中每一点都代表一个半径为 $r=u-v$ 的二维球面。这组坐标中的度规为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.90}\text{)}& d{s}^2=-2(\mathrm{d}u\mathrm{d}v+\mathrm{d}v\mathrm{d}u)+(u-v{)}^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2.\end{array}$$

现在，我们希望换用一组让“无穷远”具有有限坐标值的坐标。一个很好的选择是

反正切变换把无穷远压缩到有限坐标值。

此时的取值范围为

为了得到度规，使用

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.93}\text{)}& \mathrm{d}U=\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2},\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.94}\text{)}& \cos (\arctan u)=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}},\end{array}$$

对 $v$ 也同样处理。于是得到

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.95}\text{)}& \mathrm{d}u\mathrm{d}v+\mathrm{d}v\mathrm{d}u=\frac{1}{{\cos }^{2}U{\cos }^{2}V}(\mathrm{d}U\mathrm{d}V+\mathrm{d}V\mathrm{d}U).\end{array}$$

与此同时，

因此，这组坐标中的闵可夫斯基度规为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.97}\text{)}& d{s}^2=\frac{1}{{\cos }^{2}U{\cos }^{2}V}[-2(\mathrm{d}U\mathrm{d}V+\mathrm{d}V\mathrm{d}U)+{\sin }^2(U-V)d{\mathrm{\Omega }}^2].\end{array}$$

这个结果颇为赏心悦目，因为度规表现为一个相当简单的表达式乘以一个整体因子。通过以下变换，重新采用一个类时坐标 $\eta$ 和一个类空（径向）坐标 $\chi$，还可以把它写得更好：

它们的取值范围为

现在度规为

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.100}\text{)}& d{s}^2={\omega }^{-2}(-\mathrm{d}{\eta }^2+\mathrm{d}{\chi }^2+{\sin }^2\chi d{\mathrm{\Omega }}^2),\end{array}$$

其中

因此，可以把闵可夫斯基度规视为通过共形变换与下面这个“非物理”度规相关：

它描述流形 $\mathbf{R}\times S^3$，其中三维球面是最大对称且静态的。这个度规中存在曲率，它也不是真空 Einstein 方程的解。这不应使我们困扰，因为它是非物理的；通过共形变换得到的真实物理度规就是平直时空。事实上，这个度规正是“Einstein 静态宇宙”的度规；后者是 Einstein 方程在存在理想流体和宇宙学常数时的一个静态（但不稳定）解。当然，$\mathbf{R}\times S^3$ 上坐标的完整范围通常应为 、$0\le \chi \le \pi$，而闵可夫斯基空间只被映到 (7.99) 所定义的子空间。整个 $\mathbf{R}\times S^3$ 可以画成一个圆柱，其中每个圆都是一个三维球面，如下一页所示。

Einstein 静态宇宙圆柱中的闵可夫斯基时空。

阴影区域表示闵可夫斯基空间。注意，这个圆柱上的每一点 $(\eta ,\chi )$ 都是一个二维球面的一半，另一半对应点 $(\eta ,-\chi )$。可以把阴影区域展开，将闵可夫斯基空间画成一个三角形，如图所示。

闵可夫斯基时空的 Penrose 图。

这就是 Penrose 图。图中的每一点都代表一个二维球面。

共形无穷的结构

实际上，闵可夫斯基空间只对应上图的内部（包括 $\chi =0$）；边界并不属于原来的时空。这些边界合称为共形无穷。Penrose 图的结构使我们可以把共形无穷分成几个不同区域：

（${\mathcal{I}}^{+}$ 与 ${\mathcal{I}}^{-}$ 分别读作“scri-plus”和“scri-minus”。）注意，$i^{+}$、$i^0$ 与 $i^{-}$ 实际上都是点，因为 $\chi =0$ 与 $\chi =\pi$ 分别是 $S^3$ 的北极和南极。与此同时，${\mathcal{I}}^{+}$ 与 ${\mathcal{I}}^{-}$ 实际上是零曲面，其拓扑为 $\mathbf{R}\times S^2$。

闵可夫斯基时空的 Penrose 图有许多重要特征。点 $i^{+}$ 与 $i^{-}$ 可以看成一族法向量为类时的类空曲面的极限；反过来，$i^0$ 可以看成一族法向量为类空的类时曲面的极限。径向零测地线在图中与坐标轴成 $\pm {45}^{\circ }$。所有类时测地线都始于 $i^{-}$、终于 $i^{+}$；所有零测地线都始于 ${\mathcal{I}}^{-}$、终于 ${\mathcal{I}}^{+}$；所有类空测地线的起点与终点都是 $i^0$。另一方面，也可以存在终止于零无穷的非测地类时曲线（如果它们变得“渐近类光”）。

能把整个闵可夫斯基空间画在一小张纸上固然很好，但我们并没有因此学到多少原先不知道的内容。当我们想表示稍微更有趣的时空，例如黑洞时空时，Penrose 图会更有用。Penrose 图最初的用途，是把其他时空“在无穷远处”与闵可夫斯基空间比较——“渐近平直”的严格定义大体上就是：一个时空拥有与闵可夫斯基空间相同的共形无穷。我们不会深入讨论这些问题，而会直接转向施瓦西黑洞 Penrose 图的分析。

施瓦西黑洞的 Penrose 图

我们不会详细推演所需的变换，因为它们与闵可夫斯基情形平行，只是代数复杂得多。第一步可以从 Kruskal 坐标的零坐标版本开始，此时度规具有形式

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.103}\text{)}& d{s}^2=-\frac{16G^3{M}^3}{r}{e}^{-r/2GM}(\mathrm{d}{u}^{\prime }\mathrm{d}{v}^{\prime }+\mathrm{d}{v}^{\prime }\mathrm{d}{u}^{\prime })+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2,\end{array}$$

其中 $r$ 通过下式隐式定义：

$$\begin{array}{}\text{(}\text{7.104}\text{)}& u^{\prime }{v}^{\prime }=(\frac{r}{2GM}-1)e^{r/2GM}.\end{array}$$

接下来，基本上只需采用平直时空中所用的同一种变换，就足以把无穷远带到有限的坐标值：

其取值范围为

度规的 $(u^{″},v^{″})$ 部分（即角坐标保持不变的部分）此时与闵可夫斯基空间共形相关。在新坐标中，$r=0$ 处的奇点是两条直线，从一个渐近区域的类时无穷延伸到另一个渐近区域的类时无穷。因此，最大延拓施瓦西解的 Penrose 图如下：

最大延拓施瓦西时空的 Penrose 图。

这幅图唯一真正微妙的地方，是必须理解 $i^{+}$ 和 $i^{-}$ 与 $r=0$ 并不相同（有许多类时路径不会撞上奇点）。还要注意，共形无穷的结构与闵可夫斯基空间完全一样，这与施瓦西时空渐近平直的说法一致。此外，形成黑洞的坍缩恒星，其 Penrose 图也正如你可能预期的那样，见下一页。

恒星坍缩并形成黑洞的 Penrose 图。

这些时空的 Penrose 图再次没有告诉我们原先不知道的内容；等到考察更一般的黑洞时，它们的用途就会显现出来。原则上，黑洞可能具有各种各样的类型，具体取决于它们的形成过程。然而，令人惊讶的是，事实并非如此；无论黑洞如何形成，它都会（相当迅速地）稳定到一种只由质量、电荷和角动量刻画的状态。这个性质必须针对人们设想可能参与构成黑洞的各种场逐一证明，通常概括为**“黑洞无毛”**。例如，可以证明，由初始时不均匀的坍缩形成的黑洞，会通过发射引力辐射“抖落”所有凹凸不平。这就是一个“无毛定理”的例子。因此，如果我们关心黑洞稳定下来之后的形式，只需要考察带电黑洞和旋转黑洞。在这两种情形下，度规都有精确解可供我们仔细研究。

Hawking 辐射与信息丢失问题

不过，我们先短暂绕道看看黑洞蒸发的世界。设想一个黑洞在“蒸发”颇为奇怪，但在真实世界中，黑洞并不真正漆黑——它们会像温度为 $‘T=\hslash /8\pi kGM‘$ 的黑体那样辐射能量，其中 $M$ 是黑洞质量，$k$ 是 Boltzmann 常数。这个效应称为 Hawking 辐射；推导它需要使用弯曲时空中的量子场论，远远超出了我们目前的范围。尽管如此，它背后的非正式想法仍然可以理解。

事件视界附近的粒子对与 Hawking 辐射示意图。

量子场论中存在“真空涨落”——粒子与反粒子对在空无一物的空间里自发产生和湮灭。这些涨落与简谐振子的零点涨落完全类似。通常无法探测这种涨落，因为取平均后它们给出的总能量为零（尽管没人知道为什么；这就是宇宙学常数问题）。然而，在事件视界存在时，虚粒子对中的一个成员偶尔会落入黑洞，而它的伙伴则逃向无穷远。抵达无穷远的粒子必定具有正能量，但总能量守恒；因此，黑洞必须损失质量。（如果愿意，也可以把落进去的粒子想成具有负质量。）我们把逃逸粒子看作 Hawking 辐射。这个效应并不强，而且温度随质量增大而降低，所以对质量与太阳相当的黑洞而言，它完全可以忽略。不过，原则上黑洞可以通过 Hawking 辐射损失全部质量，并在这个过程中收缩到什么都不剩。相应的 Penrose 图可能如下所示：

黑洞完全蒸发的一种候选 Penrose 图。

另一方面，它也可能并非如此。这幅图的问题是“信息丢失”——如果在奇点的过去画出一个类空曲面，并把它向未来演化，其中一部分最终会撞上奇点而被摧毁。结果，辐射本身包含的信息少于最初存在于时空中的信息。（这比黑洞无毛还要糟糕。认为信息被困在事件视界内部是一回事，认为信息已经彻底消失则更加令人担忧。）然而，这种过程违反了广义相对论和量子场论都内含的信息守恒，而正是这两个理论共同导出了上述预言。如今，这个悖论被视为一个重大问题，人们正从许多方向努力理解如何以某种方式取回信息。目前流行的一种解释依赖弦理论，大意是黑洞其实有很多“毛”，其形式是生活在事件视界附近的虚弦态。听说我们不会非常仔细地研究这个问题，希望你不会失望；不过，你应该知道问题是什么，也应知道它如今仍是一个活跃的研究领域。

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