04｜四条麦克斯韦方程与电磁波

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在真空的 SI 单位制中，麦克斯韦方程为：

这四行分别回答了四个非常直观的问题：

1. 就像泉眼向外冒水一样，电荷是怎样在周围的空间里建立起电场的；
2. 为什么磁场就像没有尽头的闭合水流，永远找不到孤立的“源头”或“尽头”；
3. 就像搅动水池会带起漩涡一样，随时间变化的磁场是如何“搅”出环形的电场的；
4. 不仅仅是流动的电流，甚至连不断变化的电场，也能像搅拌机一样在周围制造出环形的磁场。

下面逐条得到这些公式。

1. 从库仑定律得到电场高斯定律

点电荷 $q$ 在距离 $r$ 处产生的电场为：

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.$$

先计算球面的电通量

取以点电荷为球心、半径为 $r$ 的球面。电场在整个球面上大小相同，并且与外法向量同向。因此：

这里的 $r^2$ 被球面积中的 $r^2$ 抵消。这说明平方反比定律与“任意同心球面接收到相同总通量”是同一几何事实的两种表达。

为什么任意形状的封闭面也成立

对任意小面元 $\mathrm{d}S$，设它的外法向量与径向夹角为 $\theta$。通量为：

从点电荷看去，这个面元张开的立体角为：

$$\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\frac{\cos \theta \mathrm{d}S}{r^2}.$$

所以：

$$\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }.$$

如果点电荷位于封闭面内部，整个封闭面包围的总立体角为 $4\pi$：

$${\mathrm{\Phi }}_E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\int \mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\frac{q}{{\epsilon }_0}.$$

如果点电荷在封闭面外部，就像你拿一个网兜去接从外面吹来的风，风从一侧吹进去，必然会从另一侧吹出来，进出完全抵消，所以净通量为零。

只要我们把所有电荷产生的这种“风”叠加在一起，就会顺理成章地得到积分形式：

$$\boxed{{∯}_{\partial V}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_{\mathrm{内}}}{{\epsilon }_0}}.$$

再用高斯散度定理：

$${\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}\mathrm{d}V=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\iiint }_V\rho \mathrm{d}V.$$

它对任意体积成立，所以：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}}.$$

点电荷处发生了什么

在 $r\ne 0$ 的位置直接计算，可以得到：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\right)=0.$$

但包围原点的球面通量不为零，说明散度集中在 $r=0$。用三维狄拉克 delta 函数可以写成：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\right)=4\pi {\delta }^{(3)}(\mathbf{r}).$$

这正对应点电荷密度：

$$\rho (\mathbf{r})=q{\delta }^{(3)}(\mathbf{r}).$$

2. 磁场高斯定律

在现实的物理世界中，我们从来没有遇到过孤零零的“磁荷”。拿一块磁铁来说，它总是有南极和北极，如果你把它从中间掰断，断开的两截并没有变成单独的南极和单独的北极，而是各自又生出了一对新的南北极。这就好像磁场的“水流”总是在身体内部循环往复，形成一个个首尾相接的闭合回路，根本没有源头也没有出水口。所以，无论你用什么形状的虚拟网兜去兜这些磁场线，穿进去的“水流”和穿出来的“水流”永远是严丝合缝地相等的：

$$\boxed{{∯}_{\partial V}\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0}.$$

使用高斯散度定理：

$${\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}\mathrm{d}V=0.$$

对任意体积都成立，因此：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0}.$$

这条方程的右边为零是一个经验事实。若未来发现磁单极子，方程右边将出现磁荷密度源项。

3. 从磁通量变化得到法拉第定律

对一条固定闭合回路 $C$，单位电荷沿回路一周时电场所做的功定义为电动势：

$$\mathcal{E}={\oint }_C\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.$$

法拉第实验表明，穿过回路的磁通量发生变化时：

$$\boxed{\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_B}{\mathrm{d}t}},$$

其中：

$${\mathrm{\Phi }}_B={\iint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

这个负号生动地体现了自然界的一种“倔强”——也就是楞次定律：感应出来的效应总是拼命想抵消原本磁通量的变化。你可以把它想象成在推一扇很重的弹簧门，你越是用力往里推（磁通量增大），门面上感应出来的旋涡电场就会产生一股向外顶的磁场力，死死地抗拒你的推动。

对于固定曲面 $S$：

$${\oint }_{\partial S}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=-{\iint }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

左边使用斯托克斯定理：

$${\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=-{\iint }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

因为这对任意曲面成立，所以：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}}.$$

静电场满足 $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=0$，可以完全由标势表示。变化磁场产生的电场具有非零旋度，它的场线可以闭合，因此还需要时间变化的矢势项：

$$\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}.$$

如果导线回路本身也在运动，电动势还会包含磁力项：

$$\mathcal{E}={\oint }_C(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.$$

本篇后续推导采用固定回路。

4. 安培定律为什么需要麦克斯韦修正

稳恒电流产生环形磁场。对于无限长直导线，由对称性可知磁场沿同心圆切向分布，大小只依赖半径 $r$。实验给出：

$$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

沿半径为 $r$ 的圆周积分：

一般的稳恒电流形式为：

$${\oint }_C\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{内}}.$$

通过斯托克斯定理可写成：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}.$$

旧公式与电荷守恒发生冲突

这个时候，物理学家的直觉告诉他们，事情好像有些不太对劲。如果我们给旧的安培定律两边同时做一次散度运算，也就是去测一测这个场向外“发散”的能力：

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B})={\mu }_0\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}.$$

左边恒为零，所以：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=0.$$

连续性方程却要求：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}.$$

旧公式只能处理 $\partial \rho /\partial t=0$ 的稳恒情况。为了让动态电荷也满足守恒，假设修正项与变化的电场成正比：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+\alpha \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

两边取散度：

$$0={\mu }_0\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}+\alpha \frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}).$$

代入连续性方程和电场高斯定律：

$$0=-{\mu }_0\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\alpha }{{\epsilon }_0}\frac{\partial \rho }{\partial t}.$$

要让任意变化的 $\rho$ 都满足该式，系数必须为：

$$\alpha ={\mu }_0{\epsilon }_0.$$

于是得到安培—麦克斯韦定律：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}.$$

充电电容说明了什么

电流 $I=\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t$ 沿导线流入电容极板，但两块极板之间没有传导电流。若选择同一条边界回路：

• 一个曲面穿过导线，包围电流 $I$；
• 另一个曲面鼓入极板间隙，包围的传导电流为零。

只用旧安培定律会得到两个互相冲突的磁场环流。

忽略边缘效应，平行板电容器内：

$$E=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}A}.$$

电通量为：

$${\mathrm{\Phi }}_E=EA=\frac{Q}{{\epsilon }_0}.$$

定义位移电流：

$$I_{\mathrm{d}}\equiv {\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E}{\mathrm{d}t}.$$

代入电通量：

$$I_{\mathrm{d}}={\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{Q}{{\epsilon }_0}\right)=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=I.$$

所以穿过极板间隙的位移电流恰好等于导线中的传导电流。积分形式为：

$$\boxed{{\oint }_C\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}={\mu }_0(I_{\mathrm{内}}+{\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E}{\mathrm{d}t})}.$$

5. 四条方程怎样自动保证电荷守恒

从安培—麦克斯韦方程出发：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

取散度：

$$0={\mu }_0\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}).$$

代入 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\rho /{\epsilon }_0$：

$$0={\mu }_0(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho }{\partial t}).$$

因此：

$$\boxed{\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}=0}.$$

麦克斯韦正是通过这神来之笔的“位移电流”，把电路中原本断开的“真空缺口”给巧妙地缝合了，完美地保证了电荷在任何角落里都严格守恒，滴水不漏。

6. 从麦克斯韦方程推导电磁波

现在进入没有自由电荷和电流的真空区域：

$$\rho =0,\mathbf{J}=0.$$

四条方程简化为：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=0,\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0,$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

推导电场波动方程

对法拉第定律两边取旋度：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}).$$

右边代入安培—麦克斯韦定律：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

使用向量恒等式：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E})-{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}.$$

真空中 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=0$，所以：

$$-{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

整理得：

$$\boxed{{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0}.$$

推导磁场波动方程

对安培—麦克斯韦定律取旋度：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B})={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}).$$

代入法拉第定律：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}.$$

再使用 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$：

$$\boxed{{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{B}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0}.$$

标准波动方程的形式是：

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{u}-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{u}}{\partial t^2}=0.$$

比较系数得到电磁波速度：

$$\boxed{v=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}}.$$

实验数值恰好等于光速，因此：

$$\boxed{c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}}.$$

光由传播中的电场和磁场组成。

7. 平面波中 $\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$ 与传播方向的关系

考虑沿 $+z$ 方向传播、电场沿 $x$ 方向的平面波：

$$\mathbf{E}=E_0\cos (kz-\omega t){\mathbf{e}}_x.$$

波动方程要求：

$$\omega =ck.$$

设磁场沿 $y$ 方向：

$$\mathbf{B}=B_0\cos (kz-\omega t){\mathbf{e}}_y.$$

计算电场旋度的 $y$ 分量：

$${(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})}_y=\frac{\partial E_x}{\partial z}=-k{E}_0\sin (kz-\omega t).$$

法拉第定律右边为：

$$-\frac{\partial B_y}{\partial t}=-\omega B_0\sin (kz-\omega t).$$

比较系数：

$$k{E}_0=\omega B_0.$$

使用 $\omega =ck$：

$$\boxed{B_0=\frac{E_0}{c}}.$$

三个方向互相垂直：

$$\mathbf{E}⟂\mathbf{B},\mathbf{E}⟂\mathbf{k},\mathbf{B}⟂\mathbf{k}.$$

传播方向由右手关系给出：

$$\mathbf{k}\parallel \mathbf{E}\times \mathbf{B}.$$

8. 从麦克斯韦方程推导能量守恒

安培—麦克斯韦方程点乘 $\mathbf{E}/{\mu }_0$：

$$\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B})=\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}+{\epsilon }_0\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

法拉第定律点乘 $\mathbf{B}/{\mu }_0$：

$$\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{B}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})=-\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{B}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

使用向量恒等式：

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathbf{E}\times \mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})-\mathbf{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}),$$

将前两式组合：

$$\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\cdot (\mathbf{E}\times \mathbf{B})=-\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}-{\epsilon }_0\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}-\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{B}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

注意：

$$\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial E^2}{\partial t},$$$$\mathbf{B}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial B^2}{\partial t}.$$

定义电磁能量密度：

$$\boxed{u=\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}+\frac{B^2}{2{\mu }_0}}$$

和坡印廷向量：

$$\boxed{\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}}.$$

便得到坡印廷定理：

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{S}=-\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}}.$$

它表示：

• $\partial u/\partial t$ 是局部电磁能量的变化率；
• $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{S}$ 是电磁能量的净流出率；
• $\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}$ 是电场单位时间对物质所做的功。

就这样，麦克斯韦方程组不仅描绘了电磁场的“骨架”（来源和传播），还生动地刻画了电磁能量在空间中如同流水一般涌动和消耗的“血液”流动。

9. 本篇结论

四条方程之间存在紧密联系：

两个旋度方程让 $\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$ 相互激发，两个散度方程约束它们的源。无源真空中，这套耦合系统自然产生以光速传播的横波。

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