10｜规范势、拉格朗日量与规范对称性

上一篇：几何代数 · 返回系列目录

前面的文章把麦克斯韦方程看作关于 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 的场方程。本篇再向下追一层：

1. 为什么 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 可以由势 $\varphi ,\mathbf{A}$ 表示？
2. 为什么同一个电磁场对应许多组不同的势？
3. 怎样从一个拉格朗日密度推导有源麦克斯韦方程？
4. 规范对称性为什么与电荷守恒联系在一起？

1. 从无源麦克斯韦方程推导电磁势

从磁场高斯定律开始：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0.$$

任意旋度的散度恒为零：

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})=0.$$

想象一下没有源头也没有尽头的封闭水流，在局部单连通区域中，这种散度处处为零的光滑场，总能被直观地看作是另一种“隐藏水流”（即矢势）打漩或旋转产生的结果：

$$\boxed{\mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}}.$$

将它代入法拉第定律：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}).$$

时间偏导与空间旋度可以交换：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}.$$

因此：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t})=0.$$

局部旋度为零的场可以写成标量场的梯度。选取负号定义标势 $\varphi$：

$$\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\varphi .$$

所以：

$$\boxed{\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}}.$$

这两个势表示自动满足无源方程：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})=0,$$

2. 规范变换为什么不改变场

取任意光滑标量函数 $\chi (\mathbf{x},t)$，定义：

$$\boxed{{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\mathrm{\nabla }\chi },$$$$\boxed{{\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t}}.$$

磁场变为：

电场变为：

最后两项抵消。因此，一整族不同的 $(\varphi ,\mathbf{A})$ 会给出同一组 $(\mathbf{E},\mathbf{B})$。这称为规范自由度。

3. 洛伦兹规范怎样选出来

常用的洛伦兹规范条件是：

$$\boxed{\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0}.$$

先定义：

$$G\equiv \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}.$$

规范变换后：

只要选择 $\chi$ 满足：

$$\boxed{({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\chi =-G},$$

就有 $G^{\prime }=0$。因此，洛伦兹规范是利用规范自由度施加的一项便利条件。

4. 推导标势的波动方程

电场高斯定律为：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

代入：

$$\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},$$

得到：

$$-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A})=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

洛伦兹规范给出：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}.$$

代入：

$$-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

两边乘以 $-1$：

$$\boxed{({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\varphi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}}.$$

这下物理图像变得极为清晰：电荷就像是扔进池塘的石头，它是驱动标势产生波纹的“源头”。当电荷分布发生变化时，这种改变不会瞬间传遍宇宙，而是像水波一样，遵循波动方程以有限的速度向外荡漾。

5. 推导矢势的波动方程

安培—麦克斯韦定律为：

$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

代入 $\mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}$：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})={\mu }_0\mathbf{J}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

使用恒等式：

$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A})-{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{A}.$$

同时：

$$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\frac{\partial \varphi }{\partial t}-\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}.$$

代入：

洛伦兹规范给出：

$$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A})=-\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }\frac{\partial \varphi }{\partial t}.$$

两边相同的梯度项抵消：

$$-{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{A}={\mu }_0\mathbf{J}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}.$$

整理：

$$\boxed{({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J}}.$$

就像电荷激起标势的涟漪一样，空间中流淌的电流就像是无形的“风”，它是驱动矢势产生变化的源头。风怎么吹，矢势的波纹就怎么向外传播。

6. 推迟势为什么依赖过去的源

定义波动算符：

$$L\equiv {\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}.$$

洛伦兹规范下：

$$L\varphi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0},L\mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J}.$$

宇宙中没有任何消息能超越光速传递。这就要求我们引入一个“信使”——只允许过去的源来影响现在的状态，这种完美体现因果律的推迟格林函数为：

$$G_{\mathrm{ret}}(\mathbf{x},t;{\mathbf{x}}^{\prime },t^{\prime })=\frac{\delta (t^{\prime }-t+|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|/c)}{4\pi |\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}.$$

它把源的时间固定到：

$$t^{\prime }=t-\frac{|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}{c}.$$

定义：

$$R=|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|,t_{\mathrm{r}}=t-\frac{R}{c}.$$

卷积后得到推迟势：

$$\boxed{\varphi (\mathbf{x},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \frac{\rho ({\mathbf{x}}^{\prime },t_{\mathrm{r}})}{R}{\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }},$$$$\boxed{\mathbf{A}(\mathbf{x},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\iiint \frac{\mathbf{J}({\mathbf{x}}^{\prime },t_{\mathrm{r}})}{R}{\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }}.$$

观察点在时间 $t$ 感受到的是源在更早时间 $t-R/c$ 的状态。源的变化以有限速度 $c$ 传播。

在静态极限下，源不随时间变化，推迟时间可以省略，第一式退化为库仑势：

$$\varphi (\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \frac{\rho ({\mathbf{x}}^{\prime })}{R}{\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }.$$

7. 四维形式与洛伦兹规范

定义：

$$A^{\mu }=(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}),{\partial }_{\mu }=(\frac{1}{c}{\partial }_t,\mathrm{\nabla }).$$

洛伦兹规范可以写成：

$$\boxed{{\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0}.$$

电磁场张量为：

$$\boxed{F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }}.$$

四维达朗贝尔算符为：

$$◻\equiv {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2.$$

两条势方程可以统一为：

$$\boxed{◻A^{\nu }={\mu }_0{J}^{\nu }}.$$

这与前面的三维形式等价，因为 $◻=-L$。

8. 从拉格朗日密度推导有源麦克斯韦方程

取电磁场拉格朗日密度：

$$\boxed{\mathcal{L}=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }-J_{\mu }{A}^{\mu }}.$$

作用量为：

$$S[A]=\int \mathcal{L}{\mathrm{d}}^{4}x.$$

让势发生任意小变化：

$$A_{\nu }⟶A_{\nu }+\delta A_{\nu }.$$

场强张量的变化为：

$$\delta F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }\delta A_{\nu }-{\partial }_{\nu }\delta A_{\mu }.$$

变分场强平方项

$$\delta \left(F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }\right)=2F^{\mu \nu }\delta F_{\mu \nu }.$$

所以：

利用 $F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$，第二个导数项交换哑指标后与第一个相同：

$$\boxed{\delta \mathcal{L}=-\frac{1}{{\mu }_0}{F}^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\delta A_{\nu }-J^{\nu }\delta A_{\nu }}.$$

分部积分

使用：

$$F^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\delta A_{\nu }={\partial }_{\mu }\left(F^{\mu \nu }\delta A_{\nu }\right)-\left({\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }\right)\delta A_{\nu }.$$

代入作用量变分：

第一项是边界项。令 $\delta A_{\nu }$ 在边界消失，该项为零。作用量驻定要求对任意内部变分都有 $\delta S=0$，因此方括号必须为零：

$$\frac{1}{{\mu }_0}{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }-J^{\nu }=0.$$

最终得到：

$$\boxed{{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }}.$$

有源麦克斯韦方程由作用量原理导出。无源方程则来自 $F=\mathrm{d}A$ 的 Bianchi 恒等式。

9. 规范不变性怎样要求电荷守恒

采用四维规范变换：

$$A_{\mu }⟶A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi .$$

这里的四维协变势为 $A_{\mu }=(\varphi /c,-\mathbf{A})$。把规范函数重新命名为 $-\chi$，就会得到第二节使用的三维写法；两者描述同一组规范变换。

场强张量不变：

因此，场强平方项保持不变。源耦合项的作用量变化为：

$$\delta S_{\mathrm{int}}=-\int J^{\mu }{\partial }_{\mu }\chi {\mathrm{d}}^{4}x.$$

分部积分：

$$\delta S_{\mathrm{int}}=\int \chi {\partial }_{\mu }{J}^{\mu }{\mathrm{d}}^{4}x-\int {\partial }_{\mu }\left(\chi J^{\mu }\right){\mathrm{d}}^{4}x.$$

忽略边界项后，要让任意 $\chi$ 都不改变作用量，必须有：

$$\boxed{{\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0}.$$

这就是电荷连续性方程——也就是说电荷不能凭空消失，也不能无中生有，只能像真实的水流一样四处流淌。你看，大自然非常巧妙地把数学上的“选零点自由”（规范不变性）和物理上的“电荷不灭”（电荷守恒）死死地绑定在了一起。

10. $U(1)$ 局部相位与电磁相互作用

在量子理论中，带电物质场可以做局部相位变换：

$$\boxed{\psi (x)⟶{\psi }^{\prime }(x)=\exp (-\frac{iq}{\hslash }\chi (x))\psi (x)}.$$

普通导数作用后会多出一项：

$${\partial }_{\mu }{\psi }^{\prime }=\exp (-\frac{iq\chi }{\hslash })[{\partial }_{\mu }\psi -\frac{iq}{\hslash }\left({\partial }_{\mu }\chi \right)\psi ].$$

为了抵消这种因位置而异的“刻度漂移”带来的麻烦，我们需要引入一种能像风向标一样随时随地自动修正角度的工具，也就是协变导数：

$$\boxed{D_{\mu }={\partial }_{\mu }+\frac{iq}{\hslash }{A}_{\mu }}.$$

同时令：

$$A_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi .$$

那么额外项恰好抵消：

$$\boxed{D_{\mu }^{\prime }{\psi }^{\prime }=\exp (-\frac{iq\chi }{\hslash })D_{\mu }\psi }.$$

这说明，为了让局部 $U(1)$ 相位变化不影响物理规律，需要引入一个按规范规则变化的场 $A_{\mu }$。它正是电磁势。

协变导数的对易子给出场强：

所以 $F_{\mu \nu }$ 可以理解为规范联络 $A_{\mu }$ 的曲率。

11. 系列总结

十篇文章的逻辑现在闭合了：

另一条深入方向从势开始：

麦克斯韦理论同时是一套局部微分方程、相对论场论、规范理论，也是光的经典理论。

上一篇：几何代数 · 返回系列目录