狭义相对论与平直时空

本篇对应原讲义第一章。目标是把狭义相对论改写成一套可迁移到弯曲时空的语言：事件、度规、四维向量、张量、微分形式和能量动量张量。

完整译文分节

1. 时空间隔、度规与 Lorentz 变换
2. 向量、对偶向量与张量
3. 微分形式与 Hodge 对偶
4. 世界线、固有时与四动量
5. 能量动量张量与理想流体

下面其余内容是本站为本章编写的导读。

从事件开始

事件（event）是时空中的一个点。惯性观察者为事件指定坐标

$$x^{\mu }=(t,x,y,z).$$

坐标取值依赖观察者，两个邻近事件之间的时空间隔

$$\mathrm{d}{s}^2={\eta }_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }=-\mathrm{d}{t}^2+\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2$$

对所有惯性观察者相同。

这句话包含狭义相对论最重要的结构：观察者可以混合时间坐标与空间坐标，但必须保持 Minkowski 度规 $\eta$。

Lorentz 变换怎样出现

只考虑沿 $x$ 方向以速度 $v$ 相对运动的两个惯性系。线性和时空均匀性要求变换形如

新坐标原点满足 $x^{\prime }=0$，并在旧坐标中沿 $x=vt$ 运动，因此

$$C+Dv=0.$$

再要求间隔不变：

$$-\mathrm{d}{t}^{\prime 2}+\mathrm{d}{x}^{\prime 2}=-\mathrm{d}{t}^2+\mathrm{d}{x}^2.$$

解这些系数并选择 $v=0$ 时连续回到恒等变换，得到

矩阵形式为

$$x^{\prime \mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{x}^{\nu },$$

其中 Lorentz 矩阵满足

$${\mathrm{\Lambda }}^{\rho }{}_{\mu }{\mathrm{\Lambda }}^{\sigma }{}_{\nu }{\eta }_{\rho \sigma }={\eta }_{\mu \nu }.$$

这就是“保持间隔不变”的代数表达。

快速度参数让变换更像旋转

定义快速度（rapidity）$\phi$：

$$v=\tanh \phi ,\gamma =\cosh \phi ,\gamma v=\sinh \phi .$$

boost 可以写成

普通二维旋转使用 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$，Lorentz boost 使用双曲函数。这反映了度规号差中时间方向与空间方向的符号不同。

连续两次同方向 boost 时，快速度直接相加：

$${\phi }_{12}={\phi }_1+{\phi }_2.$$

由 $v=\tanh \phi$ 可得速度合成律

$$v_{12}=\frac{v_1+v_2}{1+v_1{v}_2}.$$

因此有限速度经过合成仍小于 1。

光锥与因果结构

两个事件的分离按间隔分类：

• 类时分离的事件可以由低于光速的物体连接，不同惯性系同意它们的时间先后；
• 类光分离的事件由光线连接；
• 类空分离的事件无法发生因果影响，不同惯性系可以对它们的先后顺序有不同判断。

光锥（light cone）由 $\mathrm{d}{s}^2=0$ 定义。未来光锥包含一个事件可以影响的区域，过去光锥包含能够影响该事件的区域。

固有时间

有质量粒子的世界线是类时曲线。沿世界线定义固有时间

$$\mathrm{d}{\tau }^2=-\mathrm{d}{s}^2.$$

若粒子在某惯性系中的三速度为 $\mathit{v}$，则

$$\mathrm{d}\tau =\mathrm{d}t\sqrt{1-{\mathit{v}}^2}=\frac{\mathrm{d}t}{\gamma }.$$

固有时间是与粒子一起运动的理想钟所记录的时间。它是世界线的几何长度，因此不依赖用哪套惯性坐标计算。

双生子问题的几何解释

两条世界线连接同样的出发和重逢事件时，各自积累的固有时间是

$$\tau =\int \sqrt{1-\mathit{v}(t{)}^2}\mathrm{d}t.$$

在平直时空中，连接两个类时分离事件的惯性直线拥有最大的固有时间。改变运动方向的一方走的是分段曲线，因此积累较少的固有时间。关键差异来自世界线，不需要假设某一方的钟发生机械故障。

向量、协向量与张量

逆变向量

向量分量按坐标本身的 Jacobian 变换：

$$V^{\prime \mu }=\frac{\partial x^{\prime \mu }}{\partial x^{\nu }}{V}^{\nu }.$$

在 Lorentz 变换中就是

$$V^{\prime \mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{V}^{\nu }.$$

协变向量

协向量是把向量映射为标量的线性函数。其分量按逆 Jacobian 变换：

$${\omega }_{\mu }^{\prime }=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}{\omega }_{\nu }.$$

梯度是最常见的协向量：

$$\mathrm{d}f={\partial }_{\mu }f\mathrm{d}{x}^{\mu }.$$

张量

一个 $(k,l)$ 型张量接受 $k$ 个协向量和 $l$ 个向量，并给出一个标量。分量带 $k$ 个上指标和 $l$ 个下指标：

$$T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_k}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_l}.$$

张量积、缩并、指标置换以及同型张量的线性组合仍然得到张量。偏导数一般无法直接作用在张量上并保持张量变换律，这个问题会在弯曲时空中引出协变导数。

度规的四项工作

Minkowski 度规 ${\eta }_{\mu \nu }$ 同时完成四件事：

1. 计算长度和内积；
2. 区分类时、类光和类空方向；
3. 在向量与协向量之间建立对应；
4. 定义与观察者相关的时间方向和空间超平面。

升降指标为

$$V_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{V}^{\nu }.$$

在 mostly-plus 号差下，若 $V^{\mu }=(V^0,V^1,V^2,V^3)$，则

$$V_{\mu }=(-V^0,V^1,V^2,V^3).$$

时间分量降指标时会改变符号。

Levi-Civita 张量与微分形式

完全反对称符号由

$${ϵ}_{0123}=+1$$

以及交换任意两个指标变号来定义。它允许把反对称张量转换成对偶对象。

一个 $p$-形式是完全反对称的 $(0,p)$ 型张量：

$$\omega =\frac{1}{p!}{\omega }_{{\mu }_1\cdots {\mu }_p}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_p}.$$

外积满足

$$\alpha \wedge \beta =(-1{)}^{pq}\beta \wedge \alpha$$

其中 $\alpha$ 是 $p$-形式，$\beta$ 是 $q$-形式。

外微分把 $p$-形式变成 $(p+1)$-形式：

$$(\mathrm{d}\omega {)}_{{\mu }_0\cdots {\mu }_p}=(p+1){\partial }_{[{\mu }_0}{\omega }_{{\mu }_1\cdots {\mu }_p]}.$$

它满足

$${\mathrm{d}}^2=0.$$

Hodge 对偶则依赖度规，把四维中的 $p$-形式映射为 $(4-p)$-形式。

电磁场是二形式

电磁四势为一形式

$$A=A_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }.$$

场强二形式定义为

$$F=\mathrm{d}A,$$

所以

$$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }.$$

由 ${\mathrm{d}}^2=0$ 自动得到齐次 Maxwell 方程

$$\mathrm{d}F=0$$

或分量形式

$${\partial }_{[\lambda }{F}_{\mu \nu ]}=0.$$

有源方程可以写成

$${\partial }_{\mu }{F}^{\nu \mu }=J^{\nu }.$$

对它再取 ${\partial }_{\nu }$，利用 $F^{\nu \mu }$ 的反对称性，得到

$${\partial }_{\nu }{J}^{\nu }=0.$$

这就是电荷守恒。形式语言把“场强来自势”和“齐次方程自动成立”压缩进 $F=\mathrm{d}A$。

四速度与四动量

四速度定义为

$$U^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }.$$

若三速度为 $\mathit{v}$，则

$$U^{\mu }=\gamma (1,\mathit{v}),U^{\mu }{U}_{\mu }=-1.$$

四动量为

$$p^{\mu }=m{U}^{\mu }=(E,\mathit{p}).$$

由归一化条件得到

$$p^{\mu }{p}_{\mu }=-m^2,$$

也就是

$$E^2={\mathit{p}}^2+m^2.$$

对于无质量粒子，$p^{\mu }{p}_{\mu }=0$，因此 $E=|\mathit{p}|$。

观察者怎样测量能量

四速度为 $U^{\mu }$ 的观察者测得粒子四动量 $p^{\mu }$ 的能量为

$$E_{(U)}=-p_{\mu }{U}^{\mu }.$$

这是一个标量，但它依赖观察者 $U$。这两点可以同时成立：测量结果在同一观察者的不同坐标描述下不变，不同运动状态的观察者仍可能测得不同能量。

对光子也有同样关系：

$$\omega =-k_{\mu }{U}^{\mu }.$$

引力红移和宇宙学红移最终都会使用这条观察者测量公式。

能量动量张量

$T^{\mu \nu }$ 把物质的能量、动量和应力统一起来。在观察者的局部惯性系中：

分量	含义
$T^{00}$	能量密度
$T^{0i}$	第 $i$ 方向的能量流，也对应动量密度
$T^{i0}$	第 $i$ 方向的动量密度
$T^{ij}$	第 $j$ 面上第 $i$ 方向的动量通量，即应力

无相互作用的尘埃（dust）由静质量密度 $\rho$ 和四速度 $U^{\mu }$ 描述：

$$T^{\mu \nu }=\rho U^{\mu }{U}^{\nu }.$$

各向同性完美流体还包含压力：

$$T^{\mu \nu }=(\rho +p)U^{\mu }{U}^{\nu }+p{\eta }^{\mu \nu }.$$

在流体静止系 $U^{\mu }=(1,0,0,0)$ 中，

$$T^{\mu \nu }=\mathrm{diag}(\rho ,p,p,p).$$

压力会进入空间对角分量。在广义相对论中，它也参与产生曲率。

局部守恒

平直时空中的能量动量守恒写成

$${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.$$

取 $\nu =0$ 得到能量连续性方程，取 $\nu =i$ 得到三个动量守恒方程。

把方程在一个空间区域积分，并使用 Gauss 定理，可以得到：区域内某种能量或动量的变化率，等于穿过边界的相应通量。张量方程因此统一了连续介质力学中的多条守恒定律。

一个计算例子：四动量的 Lorentz 变换

设粒子在某惯性系中的四动量为

$$p^{\mu }=(E,p_x,p_y,p_z).$$

沿 $x$ 方向做速度为 $v$ 的 boost：

直接计算可验证

$$-E^{\prime 2}+{\mathit{p}}^{\prime 2}=-E^2+{\mathit{p}}^2=-m^2.$$

能量和三动量各自依赖观察者，四动量的 Minkowski 范数保持不变。

常见误区

把坐标分量当成几何对象

四个数字 $V^{\mu }$ 只有连同基向量 ${\partial }_{\mu }$ 才定义一个向量。换坐标后分量变化不表示物理向量本身发生了变化。

认为时间膨胀只是一种视觉现象

固有时间是钟沿世界线积累的实际读数。重逢后比较两只钟，可以直接检验差异。

把 Lorentz 不变量理解为所有观察者测量值都相同

能量、频率和三速度会随观察者改变。不变量是按张量规则组成的标量，例如 $p^{\mu }{p}_{\mu }$。

忽略号差

使用 $(-,+,+,+)$ 时，有质量粒子的四速度平方是 $-1$。换成 $(+,-,-,-)$ 会同时改变多处符号。

本篇自检

1. 从间隔不变条件怎样得到 Lorentz 矩阵满足的方程？
2. 为什么快速度比普通速度更适合组合 boost？
3. 为什么类空分离事件不能建立因果关系？
4. 怎样从 $U^{\mu }{U}_{\mu }=-1$ 推出 $E^2={\mathit{p}}^2+m^2$？
5. 为什么完美流体的压力出现在 $T^{ij}$ 中？
6. $F=\mathrm{d}A$ 怎样自动保证齐次 Maxwell 方程？

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