线性引力与引力波

本篇对应原讲义第六章。完整 Einstein 方程是非线性的；当时空只比 Minkowski 时空轻微弯曲时，可以按小扰动展开。最低非平凡阶把场方程化成波动方程，并显示引力具有两个传播自由度。

完整译文分节

1. 弱场极限与规范自由度
2. 平面波、TT 规范与偏振
3. 源产生的辐射与四极矩公式
4. 引力波携带的能量

下面其余内容是本站为本章编写的导读。

弱场近似

写成

$$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu },|h_{\mu \nu }|\ll 1.$$

只保留 $h$ 的一阶项，舍弃 $h^2$、$h\partial h$ 等高阶项。逆度规由

$$g^{\mu \rho }{g}_{\rho \nu }={\delta }^{\mu }{}_{\nu }$$

给出

$$g^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \nu }-h^{\mu \nu }+O(h^2).$$

线性阶升降 $h$ 的指标时使用背景度规 $\eta$：

$$h^{\mu }{}_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{h}_{\rho \nu }.$$

迹定义为

$$h={\eta }^{\mu \nu }{h}_{\mu \nu }.$$

线性化联络与曲率

Christoffel 符号的一阶部分为

$${\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\eta }^{\rho \sigma }({\partial }_{\mu }{h}_{\sigma \nu }+{\partial }_{\nu }{h}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }{h}_{\mu \nu }).$$

$\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Gamma }$ 已是二阶小量，所以线性 Riemann 张量只保留 $\partial \mathrm{\Gamma }$：

$$R_{\rho \sigma \mu \nu }^{(1)}=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{\partial }_{\sigma }{h}_{\rho \nu }+{\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{h}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\nu }{\partial }_{\sigma }{h}_{\rho \mu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\rho }{h}_{\sigma \nu }).$$

缩并得到

$$R_{\mu \nu }^{(1)}=\frac{1}{2}({\partial }_{\rho }{\partial }_{\mu }{h}^{\rho }{}_{\nu }+{\partial }_{\rho }{\partial }_{\nu }{h}^{\rho }{}_{\mu }-◻h_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }h),$$

其中

$$◻={\eta }^{\rho \sigma }{\partial }_{\rho }{\partial }_{\sigma }=-{\partial }_t^2+{\mathrm{\nabla }}^2.$$

坐标自由在线性理论中的表现

做无穷小坐标变换

$$x^{\prime \mu }=x^{\mu }+{\xi }^{\mu }(x).$$

把同一度规重新写在新坐标下，扰动变化为

$$h_{\mu \nu }^{\prime }=h_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\xi }_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\xi }_{\mu }.$$

因此 $h_{\mu \nu }$ 的十个分量并非十个独立物理场。某些分量只反映坐标选择。

在线性阶，Riemann 张量在这个变换下保持不变。可观测潮汐作用依赖曲率，因此不会被纯坐标扰动伪造。

迹反转扰动

定义

$${\overline{h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }h.$$

四维中再次迹反转会回到原扰动：

$$h_{\mu \nu }={\overline{h}}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }\overline{h},\overline{h}=-h.$$

采用 harmonic gauge

$${\partial }^{\mu }{\overline{h}}_{\mu \nu }=0.$$

在线性坐标变换下，总能在适当条件下选择 ${\xi }^{\mu }$ 使该式成立。仍满足

$$◻{\xi }^{\mu }=0$$

的变换保留 harmonic gauge，形成剩余规范自由。

线性化 Einstein 方程

在 harmonic gauge 中，线性 Einstein 张量大幅简化：

$$G_{\mu \nu }^{(1)}=-\frac{1}{2}◻{\overline{h}}_{\mu \nu }.$$

所以场方程成为

$$◻{\overline{h}}_{\mu \nu }=-16\pi G{T}_{\mu \nu }.$$

真空中

$$◻{\overline{h}}_{\mu \nu }=0.$$

这与电磁势在 Lorenz gauge 中的波动方程相似。区别在于电磁扰动是四矢量，引力扰动是对称二阶张量。

平面波解

考虑复数表示

$${\overline{h}}_{\mu \nu }=C_{\mu \nu }{e}^{i{k}_{\rho }{x}^{\rho }},$$

最后取实部。波动方程要求

$$k^{\rho }{k}_{\rho }=0,$$

所以引力扰动沿类光方向传播。harmonic gauge 要求

$$k^{\mu }{C}_{\mu \nu }=0.$$

对称矩阵 $C_{\mu \nu }$ 原有十个分量。四个 harmonic 条件和四个剩余坐标自由最终留下两个物理自由度。

横向无迹规范

对真空平面波，可以进一步选 transverse-traceless gauge，简称 TT gauge：

$$h_{0\mu }^{\mathrm{TT}}=0,$$$${\partial }_i{h}_{ij}^{\mathrm{TT}}=0,$$$${\delta }^{ij}{h}_{ij}^{\mathrm{TT}}=0.$$

若波沿 $z$ 方向传播，空间扰动矩阵为

$h_{+}$ 和 $h_{\times }$ 是两种独立极化，旋转 ${45}^{\circ }$ 后彼此转换。

波怎样移动自由测试粒子

单个自由粒子的坐标轨迹可以通过坐标选择看起来保持不动。真正可测的是邻近粒子间的相对距离，由测地线偏离描述：

$$\frac{D^2{S}^{\mu }}{\mathrm{d}{\tau }^2}=R^{\mu }{}_{\nu \rho \sigma }{U}^{\nu }{U}^{\rho }{S}^{\sigma }.$$

对缓慢测试粒子 $U^{\mu }\approx (1,0,0,0)$，TT gauge 中

$$R_{i00j}^{(1)}=\frac{1}{2}{\ddot{h}}_{ij}^{\mathrm{TT}}.$$

所以

$${\ddot{S}}^i=\frac{1}{2}{\ddot{h}}^i{}_j{}^{\mathrm{TT}}{S}^j.$$

积分到一阶可写成

$$\delta S^i\approx \frac{1}{2}{h}^i{}_j{}^{\mathrm{TT}}{S}_0^j.$$

两种极化的几何图像

在垂直传播方向的平面中放一圈自由粒子：

• $+$ 极化交替拉伸 $x$ 方向、压缩 $y$ 方向，再交换；
• $\times$ 极化完成同样变形，但主轴旋转 ${45}^{\circ }$；
• 沿传播方向的一阶距离不变，所以波是横向的。

局部面积在一阶保持不变，对应扰动无迹。

为什么没有单极和偶极引力辐射

源的总质量是质量单极矩。在孤立系统中总能量守恒，所以单极矩不能周期变化并辐射。

质量偶极矩为

$$D_i=\int \rho x_i{\mathrm{d}}^{3}x.$$

其一阶导数是总动量，总动量守恒使二阶导数为零，因此也没有独立偶极引力辐射。

最低可辐射多极矩是质量四极矩。

延迟解与远区波

线性场方程的延迟解为

$${\overline{h}}_{\mu \nu }(t,\mathit{x})=4G\int \frac{T_{\mu \nu }(t-|\mathit{x}-\mathit{y}|,\mathit{y})}{|\mathit{x}-\mathit{y}|}{\mathrm{d}}^{3}y.$$

若观测距离 $r$ 远大于源尺寸，并且源内部速度较低，可展开分母与延迟时间。空间分量的主导辐射项为

$${\overline{h}}_{ij}(t,\mathit{x})\approx \frac{2G}{r}\frac{{\mathrm{d}}^2{I}_{ij}(t-r)}{\mathrm{d}{t}^2},$$

其中

$$I_{ij}(t)=\int \rho (t,\mathit{y})y_i{y}_j{\mathrm{d}}^{3}y.$$

真正的辐射场要再取横向无迹投影：

$$h_{ij}^{\mathrm{TT}}=\frac{2G}{r}{\ddot{Q}}_{ij}^{\mathrm{TT}}(t-r),$$

无迹四极矩为

$$Q_{ij}=\int \rho (y_i{y}_j-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{\mathit{y}}^2){\mathrm{d}}^{3}y.$$

恢复光速后，振幅前因子为 $2G/(c^{4}r)$。

引力波携带的能量

引力能量无法在任意尺度上由唯一局部张量表示。对波长远短于背景曲率尺度的弱波，可以对多个波长做平均，得到有效能量通量。

在 TT gauge 中，平均能流量级为

$$⟨T_{00}^{\mathrm{GW}}⟩\sim \frac{1}{32\pi G}⟨{\dot{h}}_{ij}^{\mathrm{TT}}{\dot{h}}_{ij}^{\mathrm{TT}}⟩.$$

孤立慢速源的总辐射功率由四极矩公式给出：

$$P=\frac{G}{5}⟨{\stackrel{⃛}{Q}}_{ij}{\stackrel{⃛}{Q}}_{ij}⟩.$$

恢复 SI 单位：

$$P=\frac{G}{5c^5}⟨{\stackrel{⃛}{Q}}_{ij}{\stackrel{⃛}{Q}}_{ij}⟩.$$

$c^{-5}$ 表明普通非相对论系统的引力辐射非常弱；质量大、运动快且四极矩快速变化的致密系统最有效。

圆轨道双体的尺度关系

两个质量组成半径尺度 $a$、角频率 $\mathrm{\Omega }$ 的双体，四极矩量级为

$$Q\sim \mu a^2,$$

其中 $\mu$ 是约化质量。三次时间导数量级

$$\stackrel{⃛}{Q}\sim \mu a^2{\mathrm{\Omega }}^3.$$

因此

$$P\sim \frac{G}{c^5}{\mu }^2{a}^4{\mathrm{\Omega }}^6.$$

利用 Newton 圆轨道关系 ${\mathrm{\Omega }}^2\sim GM/a^3$，可见轨道缩小时功率迅速增加。系统损失轨道能量，频率和振幅随时间上升，形成 inspiral chirp 的基本机制。

近区、辐射区与近似边界

弱场推导同时使用若干条件：

• $|h_{\mu \nu }|\ll 1$；
• 只保留线性项；
• 背景近似为 Minkowski；
• 四极矩公式还要求源内部运动较慢、观测点位于远区；
• 波能量需要在多个波长上平均。

近区场可随 $1/r^2$ 或更快衰减，主要反映瞬时束缚场；辐射区的波振幅按 $1/r$ 衰减，可以把能量输送到无穷远。

强场双体并合阶段需要非线性数值相对论，不能继续依赖简单四极矩公式。

规范量与可观测量

表达式	是否直接规范不变	用途
$h_{\mu \nu }$	否	方便描述弱场扰动
harmonic gauge 条件	坐标选择	简化场方程
TT 分量	对远区自由波具有物理意义	表示两个辐射自由度
线性 Riemann 张量	是	描述潮汐效应
测试质量相对位移	是	对应探测器读数

判断一个波是否真实存在时，应检查曲率或观察者之间的相对运动，不能只看某组坐标中的 $h_{\mu \nu }$ 是否振荡。

常见误区

把 $h_{\mu \nu }$ 的十个分量都当成极化

坐标自由和约束消去八个非物理自由度，四维真空引力波只剩两个传播极化。

认为自由粒子坐标不动就没有波

TT 坐标中粒子坐标可以固定，度规改变使它们之间的固有距离变化。

把线性理论用于任意强场

事件视界附近或并合时 $h$ 未必小，线性叠加和四极矩近似会失效。

忘记源的守恒律

单极和偶极项不辐射与总能量、总动量守恒直接相关。任意手写的时变质量分布若违反守恒，可能产生虚假的低阶辐射。

本篇自检

1. 无穷小坐标变换怎样改变 $h_{\mu \nu }$？
2. 迹反转和 harmonic gauge 怎样把 Einstein 方程化成波动方程？
3. 十个对称扰动分量为什么最终只留下两个物理自由度？
4. 测地线偏离怎样给出引力波的可观测作用？
5. 为什么最低引力辐射多极矩是四极矩？
6. 四极矩公式依赖哪些弱场、慢速和远区假设？

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